详细展开：已知向量等式为 2a+yb=xa−3b，目标是求出实数 x 与 y。观察到等式左右两边都是向量 a 与 b 的线性组合，因此可以把右边整体移到左边，使等式一边为 0。具体地，等式两边同时加上 −xa+3b，左边变为 2a+yb−xa+3b，右边变为 xa−3b−xa+3b=0。再按 a 与 b 分别合并同类项：a 的系数合并为 2−x，b 的系数合并为 y+3，于是得到 (2−x)a+(y+3)b=0。这一步把原等式化为以 a,b 为基底的线性组合等于零向量的标准形式，为下一步利用基底不共线的性质比较系数做好准备。
详细展开：至此，集合 A 的三个元素全部算出：A={−21,21,1}。题面已给出 B={−23,−21,1}。求交集 A∩B，即找出同时属于 A 和 B 的元素。逐一对照：−21 在 A 中也在 B 中，保留；21 在 A 中但不在 B 中，舍去；1 在 A 中也在 B 中，保留；−23 在 B 中但不在 A 中，舍去。因此 A∩B={−21,1}。
详细展开：设六个配对和中最小的一个为 t，由于它们构成公差为 d 的等差数列，所以六个和依次为 t,t+d,t+2d,t+3d,t+4d,t+5d。根据等差数列求和公式，前 n 项和 Sn=na1+2n(n−1)d，这里 n=6，a1=t，所以六个和的总和为 6t+26×5d=6t+15d。由第一步知总和为 108，因此 6t+15d=108。等式两边同除以 3，得到 2t+5d=36。这就是 t 与 d 必须满足的必要条件。
6t+15d=108⟺2t+5d=36
(3)
利用奇偶性和正性筛选选项
原来的 12 个数全为奇数，所以每个配对和 t+jd 都是偶数，特别是 t 为偶数。代入选项：d=2,6 时 t 为奇数；d=8 时 t=−2 不可能；只有 d=4 时 t=8 合法。
在一个含 64 个点的等可能离散样本空间中，去掉点 P 后随机取一点，并按题设定义随机变量 X，求 E(X)。
答案：A；E(X)=-1/21
题目标签：离散样本空间排除点后的期望
解题过程
用对称性计算删点后的均值
求 63 个等可能点上 X 的平均值
(1)
计算完整样本空间中的坐标总和
在 U 中固定任一坐标，该坐标的四个可能值各出现 42=16 次，而 −2−1+1+2=0。因此三项坐标和随机变量 X 在 64 个点上的总和为 0。
详细展开：完整样本空间 U 由所有三元组 (x,y,z) 组成，其中 x,y,z∈{−2,−1,1,2}，共 43=64 个点。随机变量 X(A)=x+y+z 表示点 A 的三项坐标之和。我们固定 x 这一坐标，它在 U 中取 −2,−1,1,2 各一次时，y,z 各有 4 种选择，因此 x 的每个值出现 4×4=16 次。于是 U 中所有点的 x 坐标之和为 16×(−2−1+1+2)。由于 −2−1+1+2=0，所以 x 坐标的总和为 16×0=0。由对称性，y 坐标与 z 坐标的总和也各为 0。因此 U 上 X 的总和为三项坐标总和之和：∑A∈UX(A)=3×16(−2−1+1+2)=3×16×0=0。
A∈U∑X(A)=3×16(−2−1+1+2)=0
(2)
扣除被删除点的贡献
被删去的点为 P(1,1,1)，其 X(P)=3。所以余下 63 个点上 X 的总和为 0−3=−3。
详细展开：题目要求去掉点 P 后在余下 63 个点上求 X 的平均值。已知被删去的点为 P(1,1,1)，代入 X 的定义得 X(P)=1+1+1=3。由上一步知完整空间 U 上 X 的总和为 ∑A∈UX(A)=0。余下 63 个点组成的集合 Ω=U∖{P}，其上 X 的总和等于 U 上的总和减去 P 点的贡献：∑A∈ΩX(A)=∑A∈UX(A)−X(P)=0−3=−3。
A∈Ω∑X(A)=−3
(3)
按等可能性求数学期望
从 Ω 的 63 个点中等可能取一点，数学期望就是 63 个函数值的算术平均数，故选 A。
详细展开：新样本空间 Ω 由 63 个点组成，每个点被取到的可能性相同。对于有限等可能样本空间，随机变量 X 的数学期望等于所有函数值的算术平均数。由上一步知 Ω 上 X 的总和为 ∑A∈ΩX(A)=−3，点数为 ∣Ω∣=63。因此 E(X)=∣Ω∣∑A∈ΩX(A)=63−3。将分数约分：分子分母同除以 3，得 63÷3−3÷3=21−1，即 E(X)=−211。
E(X)=63−3=−211
9
多选题 · 复数
已知复数满足题设条件，判断关于共轭、模、平方以及商为实数的四个命题，选出所有正确选项。
答案：A、C、D
题目标签：复数共轭、模、平方与商为实数
解题过程
逐项检验复数命题
分别计算共轭、模、平方和复数商
(1)
检验共轭复数
共轭复数只改变虚部的符号，所以 z=3+2i 的共轭为 3−2i，A 正确。
详细展开：题目给出复数 z=3+2i，需要判断其共轭复数是否正确。根据共轭复数的定义：对任意复数 z=a+bi（其中 a,b∈R），其共轭复数记为 z，定义为 z=a−bi，即保持实部不变，将虚部的符号取反。将 a=3，b=2 代入定义式，得到 z=3−2i。这与选项 A 所给出的结果完全一致，因此选项 A 是正确的。
z=3−2i
(2)
检验复数的模
复数 a+bi 的模为 a2+b2，不是实部与虚部绝对值之和，因此 B 错误。
详细展开：接下来检验复数 z=3+2i 的模。根据复数模的定义：对 z=a+bi，其模为 ∣z∣=a2+b2，它表示复平面上点 (a,b) 到原点的距离。将 a=3，b=2 代入，先计算平方和 32+22=9+4=13，再开方得 ∣z∣=13。由于 13≈3.606，而选项 B 声称 ∣z∣=5（即 25），两者不相等，因此选项 B 是错误的。注意模不是实部与虚部绝对值之和 ∣a∣+∣b∣。
∣z∣=32+22=13=5
(3)
展开复数的平方
利用 i2=−1 展开，实部为 9−4=5，虚部为 12，故 C 正确。
详细展开：现在计算 z2。根据复数乘法法则和完全平方公式，(a+bi)2=a2+2abi+(bi)2=a2+2abi+b2i2。将 z=3+2i 代入，先展开 (3+2i)2=32+2⋅3⋅2i+(2i)2=9+12i+4i2。再利用 i2=−1，将 4i2 化为 4×(−1)=−4。合并实部 9+(−4)=5，虚部保持 12i，最终得 z2=5+12i。这与选项 C 一致，故 C 正确。
详细展开：最后计算复数商 z−iz+3。先分别计算分子和分母：z+3=(3+2i)+3=6+2i，z−i=(3+2i)−i=3+i。于是原式化为 3+i6+2i。观察分子可提取公因数 2：6+2i=2(3+i)。因此 3+i6+2i=3+i2(3+i)=2，这是一个实数。也可用分母有理化验证：分子分母同乘 3−i，得 (3+i)(3−i)(6+2i)(3−i)=9+118−6i+6i−2i2=1018+2=2。故 D 正确。
z−iz+3=3+i6+2i=2∈R
10
多选题 · 立体几何
在题给空间几何构型中，判断点到直线距离、线面垂直和二面角相关命题，选出所有正确选项。
答案：B、C
题目标签：空间点到直线距离与二面角
解题过程
建立二面角坐标系逐项判断
把点到棱的距离与二面角转成坐标条件
(1)
沿二面角的棱建立坐标系
令直线 AB 为 x 轴，把平面 ABC 取为 z=0。点 C 到 AB 的距离为 2，可设 C=(c,2,0)。二面角为 60∘，点 D 到 AB 的距离为 1，可在垂直于 AB 的截面内取 D=(e,21,23)。
详细展开：我们沿二面角的棱建立空间直角坐标系。令直线 AB 为 x 轴，并取平面 ABC 为 z=0 的平面。由题设，点 C 到棱 AB 的距离为 2，因此在平面 ABC 内可设 C=(c,2,0)，其中 c 为 C 在 x 轴上的投影坐标。二面角为 60∘，点 D 到 AB 的距离为 1，在过 D 且垂直于 AB 的截面内，D 到 AB 的垂线段与 z=0 平面成 60∘ 角。将该垂线段（长度为 1）分解为 y 方向分量 1⋅cos60∘=21 和 z 方向分量 1⋅sin60∘=23，因此可设 D=(e,21,23)，其中 e 为 D 在 x 轴上的投影坐标。这样 C 和 D 的坐标均已用参数 c,e 表示。
详细展开：由第（1）问知 AC=3，且 cosA=31。为把后续平行、垂直条件坐标化，以 A 为原点、AC 所在直线为 x 轴正方向建立平面直角坐标系。则 A=(0,0),C=(3,0)。设 B=(u,v)，由 AB=3 得 u2+v2=9。又 cosA=31，而 A 是 AB 与 AC 的夹角，AC=(3,0) 沿 x 轴正向，故 u=ABcosA=3⋅31=1。代入 u2+v2=9 得 1+v2=9，即 v2=8。按图取 B 在 x 轴上方，v>0，故 v=22。因此 B=(1,22)。
A(0,0),C(3,0),B(1,22)
(2)
参数表示 D、E
D 在射线 BA 越过 A 的延长线上，故设 D=(−λ,−22λ)，λ>0。又 AE⊥AC，所以 E 在过 A 的竖直线上，设 E=(0,t)。
详细展开：由题意，D 在射线 BA 越过 A 的延长线上，即 D 在从 B 经 A 向外的射线上。BA=A−B=(−1,−22)，故 D 可设为 A+λ(−BA) 的相反方向，即 D=A+λ⋅(−1,−22)=(−λ,−22λ)，其中 λ>0 保证 D 在 A 的外侧。又 AE⊥AC，而 AC 沿 x 轴，故 AE 沿 y 轴方向，E 在过 A 的竖直线上，设 E=(0,t)，t 待定。
当 k≤N−1 时，练习在第 k 次后仍未停止，当且仅当前 k 次都没有投中。若其中任一次投中，练习会立即停止。
详细展开：首先观察随机变量 X 的定义：它表示首次成功时的试验次数，但如果前 N 次都未成功，则在第 N 次强制停止。我们要分析事件 {X>k} 的含义。当 k<N 时，如果 X>k，意味着直到第 k 次试验结束，我们都没有观察到“首次成功”这一事件发生，也没有触发“第 N 次强制停止”的条件（因为 k<N）。因此，X>k 等价于前 k 次试验的结果全部为“失败”。如果前 k 次中任何一次成功，X 的值就会小于或等于该次序号，从而不满足 X>k。所以，我们将概率事件转化为具体的试验结果序列：{X>k}={前k次均未中}。这一步是后续计算的基础，必须严格限定在 k≤N−1 的范围内讨论，因为若 k≥N，则 X 最大只能取 N，此时 P(X>k)=0，但本问考察的是未截断部分的尾概率性质。
{X>k}={前k次均未中}
(2)
利用独立性相乘
每次未投中的概率为 1−p，各次相互独立，所以联合概率等于各概率的乘积。k=0 时公式也给出 1。
详细展开：基于上一步的结论，我们需要计算事件“前 k 次均未中”的概率。记第 i 次试验未中为事件 Ai。由题意知，每次试验成功的概率为 p，因此每次试验未中（失败）的概率为 1−p。由于各次试验是相互独立的，根据独立事件的概率乘法公式，多个独立事件同时发生的概率等于它们各自概率的乘积。因此，P(前k次均未中)=P(A1∩A2∩…∩Ak)=P(A1)⋅P(A2)⋅…⋅P(Ak)。将 P(Ai)=1−p 代入，得到 (1−p)⋅(1−p)⋅…⋅(1−p)，共 k 个因子相乘，即 (1−p)k。此公式适用于 0≤k≤N−1。特别地，当 k=0 时，(1−p)0=1，符合 P(X>0)=1 的事实（因为试验次数至少为 1）。
P(X>k)=(1−p)k,0≤k≤N−1
（3）第（2）（ii）问：证明无记忆性
用条件概率定义化简
(1)
写出条件概率
由于 k+m≤N−1，两个尾概率都适用第（i）问公式；并且事件 {X>k+m}⊆{X>k}。
详细展开：首先观察题目要求证明的无记忆性结论，其核心是计算在已知前 k 次试验未成功的条件下，再经过 m 次仍未成功的条件概率。根据条件概率的定义公式 P(A∣B)=P(B)P(AB)，我们需要确定事件 A 和 B。这里设事件 B 为 {X>k}，即前 k 次均失败；事件 A 为 {X>k+m}，即前 k+m 次均失败。由于若前 k+m 次都失败，则必然包含前 k 次失败，因此事件 {X>k+m} 是事件 {X>k} 的子集，即 {X>k+m}⊆{X>k}。这意味着两个事件的交集 {X>k+m}∩{X>k} 就等于 {X>k+m} 本身。因此，分子上的联合概率 P(X>k+m且X>k) 可以直接简化为 P(X>k+m)。这一步将复杂的条件概率定义转化为两个尾概率的比值，为后续代入具体公式做好了准备。
18．已知椭圆 C:a2x2+b2y2=1(a>b>0) 的左焦点为 F(−1,0)，离心率为 21。
（1）求 C 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P,Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R。
（i）若 △PQR 的面积是 △PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程；
（ii）求 tan∠PQR 的最小值。
答案：(1) x²/4+y²/3=1；(2i) y=(√5/2)(x+1)；(2ii) min tan∠PQR=4√3
详细展开：椭圆关于原点中心对称：若 P(xP,yP) 在椭圆上，则 (−xP,−yP) 也在椭圆上。这个对称点又位于直线 PO 上，且不同于 P，所以它就是题目定义的另一交点 R。因此 O 是线段 PR 的中点。
R=−P
(2)
把面积比化成线段比
P,Q,F 共线。以 PQ,PF 为底比较面积，利用 O 是 PR 中点可得高之比为 2:1，从而推出 PF=2FQ。
详细展开：点 P 在直线 l 上，而 O 是 PR 中点，所以点到直线 l 的有向距离沿线段 PR 线性变化，R 到 l 的距离是 O 到 l 距离的 2 倍。因此 S△PFOS△PQR=PF⋅hPQ⋅2h=PF2PQ=3。由 Q 在第三象限且直线斜率为正可知 F 位于弦 PQ 内部，故 PQ=PF+FQ，代入即得 PF=2FQ。
答案：(1) D(-1)=(0,3/2)；(2) 证明 D(x2)⊆D(x1)；(3i) f(0)≥1；(3ii) f 在 (0,+∞) 单调递增
题目标签：函数诱导集合 D(x) 与抽象单调性证明
解题过程
（1）第（1）问：求 D(-1)
按自变量落入的分段区间解不等式
(1)
写出定义并计算基准函数值
由定义，d∈D(−1) 当且仅当 f(−1+d)>f(−1)。因为 −1<0，所以 f(−1)=2−1=21。令 t=−1+d，按 t 的符号讨论。
详细展开：首先，我们需要根据题目给出的集合 D(x) 的定义来明确解题目标。定义指出 d∈D(x) 当且仅当 f(x+d)>f(x)。本题要求求解 D(−1)，因此我们将 x=−1 代入定义式，得到条件：d∈D(−1)⟺f(−1+d)>f(−1)。接下来计算基准值 f(−1)。由于自变量 −1<0，根据分段函数的定义，应使用指数分支 f(x)=2x 进行计算，即 f(−1)=2−1=21。为了简化后续讨论，我们引入中间变量 t=−1+d。此时，原不等式转化为关于 t 的不等式 f(t)>21，而 d 与 t 的关系为 d=t+1。这一步将问题从直接处理 d 转化为先确定满足函数值条件的 t 的范围，再反推 d 的范围。
