假设命题对 m−1 成立。不妨设 a1<a2<…<am。由性质一（交换不变性），将操作序列重排为 (a1,−a2,−a3,…,−am,a2,a3,…,am,−a1)。
考虑具有性质 P 的操作组。第一次操作（加 a1）必须作用在 {n−a1+1,…,n} 中的某个数上（理由同 m=1 情形：若选其他位置 x≤n−a1，则 x+a1≤n，会与某个未被操作的数重复，违反性质 P）。设选了位置 p（值为 x∈{n−a1+1,…,n}），操作后该位置值为 x+a1>n。
此后，位置 p 的值始终 >n（因为后续操作最多加减 a2,…,am，而 a1<a2<…<am 且 ∑ai<n，但更关键的是：最后一次操作是 −a1，必须作用在位置 p 上才能将其恢复为 x≤n）。实际上，最后一次操作 −a1 必须作用在位置 p 上（否则位置 p 的最终值 =x，而 x 不在其他任何位置出现，无法构成排列）。
因此，第 2 到第 2m−1 次操作（即 −a2,…,−am,a2,…,am）必须全部作用在前 n−a1 个位置（即值在 {1,…,n−a1} 中的位置）上。这是因为：位置 p 的值 >n，若对位置 p 做 ±aj 操作，其值仍 >n−am>0 但可能与其他位置冲突；更严格地说，前 n−a1 个位置的值之和在操作过程中必须保持为 1+2+…+(n−a1) 的某种排列的和，否则最终无法构成 {1,…,n−a1} 的排列。
于是，第 2 到第 2m−1 次操作构成了对 {1,2,…,n−a1} 的一组操作序列 (−a2,…,−am,a2,…,am)，其好组与次好组的差值为 f(−a2,…,−am,a2,…,am;n−a1)。由性质一，这等于 f(a2,…,am,−a2,…,−am;n−a1)。由归纳假设，此值等于 ∏j=2maj。
第一次操作有 a1 种选择（x∈{n−a1+1,…,n}），每种选择对应位置 p 固定，后续操作独立。且位置 p 从 >n 恢复为 x 的过程（第一次加 a1 使 x→x+a1，最后一次减 a1 使 x+a1→x）相当于位置 p 经历了一次“超出范围再返回”的过程，对排列奇偶性的贡献为偶（恒等）。因此：
f(a1,…,am,−a1,…,−am;n)=a1⋅f(a2,…,am,−a2,…,−am;n−a1)=a1⋅∏j=2maj=∏i=1mai.