令 mk=∣n+1−2k∣。当 k 从 1 到 n 变化时，n+1−2k 从 n−1 递减到 −(n−1)，步长为 2。
情形一：n 为奇数。设 n=2m+1（m≥1）。则 n+1−2k=2m+2−2k=2(m+1−k)。当 k=1,…,m 时，mk=2(m+1−k) 取值为 2m,2(m−1),…,2；当 k=m+1 时，mk=0；当 k=m+2,…,2m+1 时，mk 取值为 2,4,…,2m。故：
∑k=1nmk3=2∑i=1m(2i)3=16∑i=1mi3=16⋅4m2(m+1)2=4m2(m+1)2.
代入 m=2n−1，得 4⋅4(n−1)2⋅4(n+1)2=4(n2−1)2。
情形二：n 为偶数。设 n=2m（m≥2）。则 n+1−2k=2m+1−2k。当 k=1,…,m 时，mk=2m+1−2k 取值为 2m−1,2m−3,…,1；当 k=m+1,…,2m 时，mk 取值为 1,3,…,2m−1。故：
∑k=1nmk3=2∑i=1m(2i−1)3.
利用 ∑i=1m(2i−1)3=∑j=12mj3−∑i=1m(2i)3=4(2m)2(2m+1)2−8⋅4m2(m+1)2=m2(2m+1)2−2m2(m+1)2=m2[(2m+1)2−2(m+1)2]=m2(4m2+4m+1−2m2−4m−2)=m2(2m2−1)。
代入 m=2n，得 2⋅4n2⋅(2⋅4n2−1)=2n2⋅2n2−2=4n2(n2−2)。
综合两种情形：
∑k=1n∣ak∣3≥81⋅4(n2−1)2=32(n2−1)2(n 为奇数),
∑k=1n∣ak∣3≥81⋅4n2(n2−2)=32n2(n2−2)(n 为偶数).