由上一步，不妨设 a1,a2,a3 单调。则
(a1−a2)2+(a2−a3)2≤(a1−a3)2.
这是因为：若 a1≤a2≤a3，则 (a1−a2)2+(a2−a3)2=(a2−a1)2+(a3−a2)2，而 (a1−a3)2=(a3−a1)2=((a3−a2)+(a2−a1))2=(a3−a2)2+(a2−a1)2+2(a3−a2)(a2−a1)≥(a3−a2)2+(a2−a1)2（因为 (a3−a2)(a2−a1)≥0）。单调递减情形同理。
因此
∑i=12k+1(ai−ai+1)2=(a1−a2)2+(a2−a3)2+∑i=32k+1(ai−ai+1)2≤(a1−a3)2+∑i=32k+1(ai−ai+1)2.
右侧是 2k 个差的平方和（把 a1,a3,a4,…,a2k+1 看作 2k 个数的循环序列）。由偶数情形的结论，
(a1−a3)2+∑i=32k+1(ai−ai+1)2≤2k(M−m)2.
因此
∑i=12k+1(ai−ai+1)2≤2k(M−m)2,
即
∑i=12k+1ai2−∑i=12k+1aiai+1≤k(M−m)2=⌊22k+1⌋(M−m)2.
等号成立条件：当 n=2k+1 时，取 a1=a3=M，a2=m，a4=a6=⋯=a2k=M，a5=a7=⋯=a2k+1=m（或类似构造），可使等号成立。