1996 年全国高中数学联赛（学生版）

books/national_high_school_league_students/papers/competition-national-league-1996.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware

16 题0 个小问/题组

一试 · 第一试（10月13日上午8：00-9：20）一、选择题（本题满分 36 分，每题 6 分） · 平面几何

把圆 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{x}^{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{+}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{(}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{y}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{-}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{1}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{)}^{\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{2}}\htmlData{tutor-start=15,tutor-end=16}{=}\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{1}$ 与椭圆 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{9}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{x}^{\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{2}}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{+}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{(}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{y}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{+}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{1}\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{)}^{\htmlData{tutor-start=14,tutor-end=15}{2}}\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{=}\htmlData{tutor-start=17,tutor-end=18}{9}$ 的公共点，用线段连接起来所得到的图形为（） (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形

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题目标签：FIRST-CHOICE-P1

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一试 · 第一试（10月13日上午8：00-9：20）一、选择题（本题满分 36 分，每题 6 分） · 代数

等比数列 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=2}{\{}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{a}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{n}}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=9}{\}}$ 的首项 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{a}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{=}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{1}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{5}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{3}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{6}$ ，公比 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{q}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{=}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{-}\frac{\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{1}}{\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{2}}$ ，用 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=3}{\pi}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{n}}$ 表示它的前 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}$ 项之积。则 $\pi_{n} (n \in \mathbb{N}^*)$ 最大的是（） (A) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=3}{\pi}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{9}}$ (B) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=3}{\pi}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{1}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{1}}$ (C) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=3}{\pi}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{1}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{2}}$ (D) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=3}{\pi}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{1}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{3}}$

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题目标签：FIRST-CHOICE-P2

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一试 · 第一试（10月13日上午8：00-9：20）一、选择题（本题满分 36 分，每题 6 分） · 数论

存在整数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}$ ，使 $\sqrt{\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{p}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{+}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{p}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{n}}\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{+}\sqrt{\htmlData{tutor-start=18,tutor-end=19}{n}}$ 是整数的质数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{p}$ （） (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D) 有无穷多个

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题目标签：FIRST-CHOICE-P3

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一试 · 第一试（10月13日上午8：00-9：20）一、选择题（本题满分 36 分，每题 6 分） · 数学竞赛/待细分

设 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{x} \htmlData{tutor-start=2,tutor-end=6}{\in }\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{(}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{-}\frac{\htmlData{tutor-start=14,tutor-end=15}{1}}{\htmlData{tutor-start=17,tutor-end=18}{2}}\htmlData{tutor-start=19,tutor-end=20}{,} \htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{0}\htmlData{tutor-start=22,tutor-end=23}{)}$ ，以下三个数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{1}}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{=}\cos\htmlData{tutor-start=15,tutor-end=16}{(}\sin \htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{x} \htmlData{tutor-start=23,tutor-end=26}{\pi}\htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{)}$ ， $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{2}}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{=}\sin\htmlData{tutor-start=15,tutor-end=16}{(}\cos \htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{x} \htmlData{tutor-start=23,tutor-end=26}{\pi}\htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{)}$ ， $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{3}}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{=}\cos\htmlData{tutor-start=15,tutor-end=16}{(}\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{x}\htmlData{tutor-start=17,tutor-end=18}{+}\htmlData{tutor-start=18,tutor-end=19}{1}\htmlData{tutor-start=19,tutor-end=20}{)}\htmlData{tutor-start=20,tutor-end=23}{\pi}$ 的大小关系是（） (A) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{3}} \htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{<} \htmlData{tutor-start=13,tutor-end=19}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{2}} \htmlData{tutor-start=24,tutor-end=25}{<} \htmlData{tutor-start=26,tutor-end=32}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=34,tutor-end=35}{1}}$ (B) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{1}} \htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{<} \htmlData{tutor-start=13,tutor-end=19}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{3}} \htmlData{tutor-start=24,tutor-end=25}{<} \htmlData{tutor-start=26,tutor-end=32}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=34,tutor-end=35}{2}}$ (C) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{3}} \htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{<} \htmlData{tutor-start=13,tutor-end=19}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{1}} \htmlData{tutor-start=24,tutor-end=25}{<} \htmlData{tutor-start=26,tutor-end=32}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=34,tutor-end=35}{2}}$ (D) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=6}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{2}} \htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{<} \htmlData{tutor-start=13,tutor-end=19}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{3}} \htmlData{tutor-start=24,tutor-end=25}{<} \htmlData{tutor-start=26,tutor-end=32}{\sigma}_{\htmlData{tutor-start=34,tutor-end=35}{1}}$

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题目标签：FIRST-CHOICE-P4

解题过程

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一试 · 第一试（10月13日上午8：00-9：20）一、选择题（本题满分 36 分，每题 6 分） · 代数

如果在区间 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{[}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{1}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{,} \htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{2}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{]}$ 上函数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{f}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{(}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{x}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{)}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{=}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{x}^{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{2}}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{+}\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{p}\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{x}\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{+}\htmlData{tutor-start=14,tutor-end=15}{q}$ 与 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{g}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{(}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{x}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{)}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{=}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{x}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{+}\frac{\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{1}}{\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{x}^{\htmlData{tutor-start=19,tutor-end=20}{2}}}$ 在同一点取相同的最小值，那么 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{f}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{(}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{x}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{)}$ 在该区间上的最大值是（） (A) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{4}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{+}\frac{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{1}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{1}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{3}}{\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{2}}\sqrt[\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{3}]{\htmlData{tutor-start=24,tutor-end=25}{2}}\htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{+}\sqrt[\htmlData{tutor-start=33,tutor-end=34}{3}]{\htmlData{tutor-start=36,tutor-end=37}{4}}$ (B) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{4}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{-}\frac{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{5}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{3}}{\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{2}}\sqrt[\htmlData{tutor-start=20,tutor-end=21}{3}]{\htmlData{tutor-start=23,tutor-end=24}{2}}\htmlData{tutor-start=25,tutor-end=26}{+}\sqrt[\htmlData{tutor-start=32,tutor-end=33}{3}]{\htmlData{tutor-start=35,tutor-end=36}{4}}$ (C) $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{1}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{-}\frac{\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{1}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{3}}{\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{2}}\sqrt[\htmlData{tutor-start=20,tutor-end=21}{3}]{\htmlData{tutor-start=23,tutor-end=24}{2}}\htmlData{tutor-start=25,tutor-end=26}{+}\sqrt[\htmlData{tutor-start=32,tutor-end=33}{3}]{\htmlData{tutor-start=35,tutor-end=36}{4}}$ (D) 以上答案都不对

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题目标签：FIRST-CHOICE-P5

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一试 · 第一试（10月13日上午8：00-9：20）一、选择题（本题满分 36 分，每题 6 分） · 平面几何

高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}$ ，球心 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}$ 在圆台的轴上，球 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}$ 与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为 3 的球 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}$ ，使得球 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}$ 与球 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}$ 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}$ ，圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

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题目标签：FIRST-CHOICE-P6

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一试 · 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） · 组合数学

集合 $\{x \mid -1 \leqslant \log_{\frac{1}{x}} 10 < -\frac{1}{2}, x \in \mathbb{N}^*\}$ 的真子集的个数是 \_\_\_\_\_\_。

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题目标签：FIRST-FILL-P1

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一试 · 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） · 平面几何

复平面上，非零复数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{z}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{,} \htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{z}_{\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{2}}$ 在以 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{i}$ 为圆心，1 为半径的圆上， $\overline{\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{z}_{\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{1}}} \htmlData{tutor-start=17,tutor-end=23}{\cdot }\htmlData{tutor-start=23,tutor-end=24}{z}_{\htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{2}}$ 的实部为零， $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{z}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}$ 的辐角主值为 $\frac{\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=9}{\pi}}{\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{6}}$ ，则 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{z}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{=}$ ______.

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题目标签：FIRST-FILL-P2

解题过程

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一试 · 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） · 数学竞赛/待细分

曲线 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{C}$ 的极坐标方程是 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=4}{\rho}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{=}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{1}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{+}\cos\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=17}{\theta}$ ，点 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{A}$ 的极坐标是 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{(}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{2}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{,}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{0}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{)}$ ，曲线 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{C}$ 在它所在的平面内绕 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{A}$ 旋转一周，则它扫过的图形的面积是______.

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题目标签：FIRST-FILL-P3

解题过程

该题已完成题面、原题号、PDF 来源锚定和题目级特征标注；答案、证明步骤与教材关联尚未录入。

一试 · 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） · 组合数学

已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为 2，则最远的两顶点间的距离是______.

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题目标签：FIRST-FILL-P4

解题过程

该题已完成题面、原题号、PDF 来源锚定和题目级特征标注；答案、证明步骤与教材关联尚未录入。

一试 · 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） · 组合数学

从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有______种。（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。）

题解状态：标准答案与规范题解待补充

题目标签：FIRST-FILL-P5

解题过程

该题已完成题面、原题号、PDF 来源锚定和题目级特征标注；答案、证明步骤与教材关联尚未录入。

一试 · 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） · 平面几何

在直角坐标平面，以 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{(}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{1}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{9}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{9}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{,}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{0}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{)}$ 为圆心，199 为半径的圆周上整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为______.

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题目标签：FIRST-FILL-P6

解题过程

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二试/加试 · 第二试 · 代数

（本题满分 25 分）设数列 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=2}{\{}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{a}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{n}}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=9}{\}}$ 的前 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}$ 项和 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{S}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{n}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{=}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{2}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{a}_{\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{n}}\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{-}\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{1}$ ( $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{=}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{1}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{,} \htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{2}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{,} \cdots$ )，数列 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=2}{\{}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{b}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{n}}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=9}{\}}$ 满足 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{b}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{=}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{3}$ ， $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{b}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{k}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{+}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{1}}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{=}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{a}_{\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{k}}\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{+}\htmlData{tutor-start=14,tutor-end=15}{b}_{\htmlData{tutor-start=17,tutor-end=18}{k}} \htmlData{tutor-start=20,tutor-end=21}{(}\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=22}{k}\htmlData{tutor-start=22,tutor-end=23}{=}\htmlData{tutor-start=23,tutor-end=24}{1}\htmlData{tutor-start=24,tutor-end=25}{,} \htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{2}\htmlData{tutor-start=27,tutor-end=28}{,} \cdots\htmlData{tutor-start=35,tutor-end=36}{)}$ 。求数列 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=2}{\{}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{b}_{\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{n}}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=9}{\}}$ 的前 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}$ 项和。

题解状态：标准答案与规范题解待补充

题目标签：SECOND-GENERAL-PROBLEM-P一

解题过程

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二试/加试 · 第二试 · 数学竞赛/待细分

（本题满分 25 分）求实数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{a}$ 的取值范围，使得对任意实数 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{x}$ 和任意 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=7}{\theta }\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=11}{\in }\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{[}\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{0}\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{,} \frac{\htmlData{tutor-start=21,tutor-end=24}{\pi}}{\htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{2}}\htmlData{tutor-start=28,tutor-end=29}{]}$ ，恒有 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{(}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{x}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{+}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{3}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{+}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{2}\sin\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=16}{\theta}\cos\htmlData{tutor-start=20,tutor-end=26}{\theta}\htmlData{tutor-start=26,tutor-end=27}{)}^{\htmlData{tutor-start=29,tutor-end=30}{2}}\htmlData{tutor-start=31,tutor-end=32}{+}\htmlData{tutor-start=32,tutor-end=33}{(}\htmlData{tutor-start=33,tutor-end=34}{x}\htmlData{tutor-start=34,tutor-end=35}{+}\htmlData{tutor-start=35,tutor-end=36}{a}\sin\htmlData{tutor-start=40,tutor-end=46}{\theta}\htmlData{tutor-start=46,tutor-end=47}{+}\htmlData{tutor-start=47,tutor-end=48}{a}\cos\htmlData{tutor-start=52,tutor-end=58}{\theta}\htmlData{tutor-start=58,tutor-end=59}{)}^{\htmlData{tutor-start=61,tutor-end=62}{2}} \htmlData{tutor-start=64,tutor-end=74}{\geqslant }\frac{\htmlData{tutor-start=80,tutor-end=81}{1}}{\htmlData{tutor-start=83,tutor-end=84}{8}}$ .

题解状态：标准答案与规范题解待补充

题目标签：SECOND-GENERAL-PROBLEM-P二

解题过程

该题已完成题面、原题号、PDF 来源锚定和题目级特征标注；答案、证明步骤与教材关联尚未录入。

二试/加试 · 第二试 · 平面几何

（本题满分 35 分）如图，圆 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{1}}$ 和圆 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{O}_{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}$ 与 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=10}{\triangle }\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{A}\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{B}\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{C}$ 的三边所在的三条直线都相切， $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{E}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{,} \htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{F}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{,} \htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{G}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{,} \htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{H}$ 为切点，并且 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{E}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{G}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{,} \htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{F}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{H}$ 的延长线交于 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{P}$ 点。求证直线 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{P}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{A}$ 与 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{B}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{C}$ 垂直。

**原卷图示 1**原卷第 3 页 · qwen3.7-plus_layout_detection · 需复核

题解状态：标准答案与规范题解待补充

题目标签：SECOND-GENERAL-PROBLEM-P三

解题过程

该题已完成题面、原题号、PDF 来源锚定和题目级特征标注；答案、证明步骤与教材关联尚未录入。

二试/加试 · 第二试 · 数学竞赛/待细分

（本题满分 35 分）有 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{(}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{n} \htmlData{tutor-start=4,tutor-end=14}{\geqslant }\htmlData{tutor-start=14,tutor-end=15}{6}\htmlData{tutor-start=15,tutor-end=16}{)}$ 个人聚会，已知：（1）每人至少同其中 $\left[ \frac{\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{n}}{\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{2}} \right]$ 个人互相认识；（2）对于其中任意 $\left[ \frac{\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{n}}{\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{2}} \right]$ 个人，或者其中有 2 人相识，或者余下的人中有 2 人相识。证明：这 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}$ 个人中必有三人两两认识。

题解状态：标准答案与规范题解待补充

题目标签：SECOND-GENERAL-PROBLEM-P四

解题过程

该题已完成题面、原题号、PDF 来源锚定和题目级特征标注；答案、证明步骤与教材关联尚未录入。