exams_raw/普通高考/2006/2006北京文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：A
题目标签：集合交集
先解一次不等式，再取区间公共部分
把 化为关于 x 的标准不等式。
详细展开：两边同时减去 1，得 ；再除以正数 2，不等号方向不变，得到 ，所以 。每一步都是等价变形，没有引入或漏掉端点。
交集中的数必须同时满足 与 。
详细展开：合并限制时，下界来自 ，上界取 与 中更严格的 ，所以 。两个端点均由严格不等式给出，不能取，故选择 A。
一、选择题 · 三角函数
答案：B
题目标签：余弦函数对称性
验证偶函数并对应几何对称
函数 的定义域关于原点对称。
详细展开：余弦是偶函数，所以 。因此 f 是偶函数，其图象关于 y 轴对称；常数 1 的竖直平移不会破坏这种左右对称。
由偶函数的几何意义应选择 y 轴对称。
详细展开：图象不关于 x 轴对称，因为函数图象通常不能在同一 x 对应两个相反值；也不关于原点对称，因为 。关于 对称也不成立，唯一正确选项为 B。
一、选择题 · 平面向量
答案：C
题目标签：向量垂直的充要条件
把点积等式移项并使用垂直判定
点积对向量加减满足分配律。
详细展开：条件 两边相减，得到 ，即 。这一变形可以反向恢复原等式。
题目明确 a 与 都是非零向量。
详细展开：两个非零向量的点积为零当且仅当它们垂直，因此上一步的等式与 完全等价，前者既充分又必要，选择 C。非零条件保证夹角有定义。
一、选择题 · 排列组合
答案：B
题目标签：奇偶性排列计数
先选奇偶组成，再排列数字
数字和为奇数，等价于所选三个数字中奇数个数为奇数。
详细展开：奇数 共 3 个，偶数 共 2 个。可选 1 个奇数和 2 个偶数，共 组；也可选 3 个奇数，共 组，合计 4 组无序数字。
题中没有数字 0，每组选出的三个数字任意排列都合法。
详细展开：每组 3 个互不相同数字有 种排列，所以总数是 。组合负责选数字，排列负责放到百、十、个位，二者分工不同，故选择 B。
一、选择题 · 函数
答案：D
题目标签：分段函数全局递增
控制两段单调性和分界处次序
左段是一次函数，右段是对数函数。
详细展开：左段斜率 必须为正，得 。右段 要递增，必须有 ；这一条件同时满足对数底数 的定义要求。
还要保证任意 的左段值不超过右段在 1 处的值。
详细展开：，左段在 时的上确界为 ，要求 ，即 。与 合并后仍为 ，选择 D。
一、选择题 · 数列
答案：B
题目标签：等比数列对称项
用公比表示并利用 q4=9
设公比为 q，第五项等于第一项乘 。
详细展开：由 得 ，于是实数公比满足 。虽然 q 可为正或负，但本题所求中项和对称项乘积只依赖 。
五项依次为 。
详细展开：中项 ；又 ，所以 。两种公比符号都给出同样结果，正确选项是 B。
一、选择题 · 立体几何
答案：C
题目标签：空间四点关系辨析
用四点共面和垂直平分面判断
两条直线共面时，它们各自的两个端点都在同一平面。
详细展开：若 AC 与 BD 共面，则 A、B、C、D 全在该平面，AD 与 BC 也共面，A 正确。若 AD 与 BC 共面，同理四点共面并推出 AC 与 BD 共面；其逆否命题说明 AC、BD 异面时 AD、BC 必异面，所以 B 正确。
与 表明 A、D 都到 B、C 等距。
详细展开：到 B、C 等距的点构成 BC 的垂直平分面，A、D 都在此平面，故直线 AD 位于该平面并垂直其法向方向 BC，所以 D 正确。但 AD 长度没有被这些条件固定，不必等于 BC，故错误项是 C。
一、选择题 · 方程与应用
答案：C
题目标签：交通环岛流量守恒
在三个路口应用流入等于流出
按图中箭头，内部车流沿 流动。
详细展开：A 口守恒给 ，所以 ；B 口给 ，所以 ；C 口给 ，即 。
题目只问相对大小，不需要确定绝对车流量。
详细展开：由 、 得 ，第三个方程也正好给出 ，与排序一致，选择 C。
二、填空题 · 直线
答案：
题目标签：三点共线与截距
写两点直线并代入参数点
点 A(2,2)、C(0,4) 确定直线。
详细展开：斜率为 ，过 C 写成 ，即 。代入 A 得 ，可验证方程无误。
B 是直线与 x 轴的交点。
详细展开：点 B 的纵坐标为 0，因此把 代入 ，得到 。移项可得 ，这也正是该直线与 x 轴交点的横坐标，即直线的横截距。
二、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项式指定幂系数
写通项并匹配指数
从 7 个因子中选 k 个 。
详细展开：对应项为 。指数要同时计入少选的 k 个 x 和 ，所以是 。
令 ，得到 。
详细展开：系数为 。因为选择第二项两次，负号平方后变为正号；旧数据中的 -84 是符号错误。
二、填空题 · 函数
答案：
题目标签：反函数图象点
交换坐标回到原函数
函数与反函数图象关于 对称。
详细展开：反函数经过 ，所以原函数经过交换坐标后的点 ，即 。不能直接把 -1 当成原函数自变量。
代入原函数得到关于 a 的二次方程。
详细展开：，移项得 ，所以 。指数函数底数要求 且 ，数值 2 合法。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：等长向量的和与差
利用等模向量的和差点积
单位圆坐标形式立即给出两个向量的模。
详细展开：，同理 。因此二者都是单位向量，可直接用平方差简化和差点积。
利用分配律展开 。
详细展开：交叉项互相抵消，得到 。题设 保证和、差向量均非零，夹角有定义，所以它们垂直，夹角为 。
二、填空题 · 解三角形
答案：5:7:8，\frac\pi3
题目标签：正弦定理与余弦定理
使用正弦定理与余弦定理
三角形中边长与对角正弦成比例。
详细展开：由 ，正弦比 直接给出 。可设三边为 ，共同尺度 t 不影响角度。
角 B 的对边是 b，邻边是 a、c。
详细展开：。由于 B 是三角形内角，故 。
二、填空题 · 线性规划
答案：\sqrt2，\sqrt{10}
题目标签：线性约束下的距离最值
求三角形顶点并比较距离平方
边界直线为 。
详细展开：两两求交得到 ，三点均满足全部不等式，因此可行域是以这三点为顶点的闭三角形。
在区域中 ，最近点是左下顶点 。
详细展开：最小距离为 。最大距离可比较三个顶点的距离平方 2、10、8，最大值在 取得，所以最大距离为 。
三、解答题 · 三角函数
答案：D_f=\mathbb R\setminus\{\frac\pi2+k\pi\}；f(\alpha)=\frac{49}{15}
题目标签：三角分式的定义域与求值
排除余弦分母的全部零点
分子中的正弦对所有实数有定义，限制只来自分母。
详细展开：必须有 。余弦的全部零点为 ，其中 ，这些点都要从实数中删去。即使后续化简出现可约因子，也不能补回原式禁点。
将允许的所有实数统一表示。
详细展开：定义域是 。零点相邻间隔为 π，这一表达已经完整排除所有分母为零的位置。
由正切和象限求正弦余弦
给出 3-4-5 边比，第四象限决定符号。
详细展开：第四象限中 ，所以 。
先计算分子，再除以 。
详细展开：，所以 。旧数据的 7/5 与原式直接代值不符。
三、解答题 · 导数
答案：x_0=1；a=2,b=-9,c=12
题目标签：导函数图象与三次函数系数
读取导数符号变化
图象是开口向上的抛物线，零点为 1、2。
详细展开：因此 位于两根外侧， 位于两根之间。原函数在 增、在 减、在 再增。
极大值要求原函数由增转减。
详细展开：在 x=1 左侧导数为正、右侧导数为负，所以 f 先递增后递减，确实在 x=1 处取得极大值；在 x=2 处导数由负变正，只能得到极小值。因此题设中的极大值点为 。
利用导函数根式和极大值定尺度
的根为 1、2，且开口向上。
详细展开：写成 。与原式比较得 ，且开口向上说明 。
极大值点为 1，函数值为 5。
详细展开：，所以 ，继而 。此时 与图象开口和零点完全一致。
三、解答题 · 立体几何
答案：(1)见证明；(2)\arccos\frac{\sqrt5}{5}
题目标签：正四棱柱的垂直与异面角
证明 BD 垂直平面内两条相交线
正四棱柱底面 ABCD 是正方形。
详细展开：正方形两条对角线 AC、BD 互相垂直，所以 。直线 AC 位于目标平面 内。
BD\perp AC
正四棱柱侧棱垂直底面。
详细展开： 平面 ABCD，而 BD 位于底面，故 。AC 与 在 A 相交且都在平面 中，所以 该平面。
由二面角求高宽比，再算向量夹角
设正方形边长为 s、侧棱高为 h，O 为对角线交点。
详细展开：， 也在平面 内垂直 BD，所以 。直角三角形中 ，故 ，得到 。
取 。
详细展开：、，点积为 。两模之积为 ，故余弦为 ，所求锐角为 。
解答题 · 概率
答案：0.75，0.43
题目标签：独立考试方案概率
枚举恰好两门和三门及格
三门及格概率为 0.5、0.6、0.9，且相互独立。
详细展开：三种恰好两门及格概率分别为 、、，合计 0.48。
至少两门包括恰好两门和三门全及格。
详细展开：全及格概率为 ，所以方案一通过概率为 。旧数据 0.63 漏算或错算了分支。
对三种等可能课程对加权
随机选两门共有三种等可能课程对。
详细展开：选 1、2 门时通过概率 0.30，选 1、3 门时为 0.45，选 2、3 门时为 0.54；每一对被抽到的概率均为 1/3。
将三种条件概率按相同权重求平均。
详细展开：。不能直接相加，因为三种课程对并非同时考试。
解答题 · 圆锥曲线
答案：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1；8x-9y+25=0
题目标签：椭圆与中点弦
由焦点和与直角关系求参数
椭圆上点到两焦点距离之和恒为 。
详细展开：，所以 。焦点在 x 轴上，方程应写成 。
构成直角三角形。
详细展开：焦距 ，故 ，得 。再由 ，得到椭圆方程。
设端点为中点加减方向向量
先由圆方程配方求 M。
详细展开：，所以 。A、B 关于 M 对称，可设 ，其中 是弦方向。
A、B 都满足 。
详细展开：代入 并将两式相减，得 ，所以斜率 。过 M 写成 ，整理得 。
解答题 · 数列
答案：(1) an=22-2n；(2) 整数参数族见解析
题目标签：整数等差数列参数
联立首项与公差
等差数列满足 与标准求和公式。
详细展开： 给出 ； 给出 ，即 。
由第一式 代入第二式。
详细展开：，所以 ，通项 。回代可得 。
把三个下界转成 a1、d 的整数约束
题面原卷确实给出三个下界，且 都为整数。
详细展开： 保留； 因为是整数，等价于 ； 等价于 。
对固定整数 ，后两式都是公差 d 的下界。
详细展开：分别有 、。d 为整数，所以必须大于等于两者上取整中的较大值。由于题中没有任何上界，答案是无限参数族而不是有限列表。
把任意满足约束的整数对代入等差数列通项。
详细展开：全部数列为 ，其中 且满足上述条件。正向变形证明必要性，反向代回直接保证原三个不等式，因此这一参数化既不遗漏也不多收。