一、选择题 · 复数
在复平面内，复数 对应的点位于 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
答案：D
题目标签：复数除法与象限
解题过程
化简复数并判断象限
把除以 i 改写成乘以 -i
(1)
化简复数
利用 ，或分子分母同乘 。
详细展开：。也可验证 ，说明商确实是 。
(2)
读取对应点象限
复数 在复平面对应点 。
详细展开： 的实部为 1、虚部为 -1，对应点 。横坐标正、纵坐标负，位于第四象限，所以选择 D。
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2006 年高考数学（北京卷理科）
exams_raw/普通高考/2006/2006北京理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
20 题28 个小问/题组
一、选择题 · 平面向量
若 与 都是非零向量，则“”是“”的 ( ) (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
答案：C
题目标签：向量垂直的充要条件
解题过程
判断向量命题的充要关系
把点积等式移项并使用垂直判定
(1)
将点积等式合并
点积对向量加减满足分配律。
详细展开：条件 两边相减，得到 ，即 。这一变形可以反向恢复原等式。
(2)
应用非零向量垂直判定
题目明确 a 与 都是非零向量。
详细展开：两个非零向量的点积为零当且仅当它们垂直，因此上一步的等式与 完全等价，前者既充分又必要，选择 C。非零条件保证夹角有定义。
一、选择题 · 排列组合
在 1, 2, 3, 4, 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ( ) (A) 36 个 (B) 24 个 (C) 18 个 (D) 6 个
答案：B
题目标签：奇偶性排列计数
解题过程
统计数字和为奇数的三位数
先选奇偶组成，再排列数字
(1)
分类选择三个数字
数字和为奇数，等价于所选三个数字中奇数个数为奇数。
详细展开：奇数 共 3 个，偶数 共 2 个。可选 1 个奇数和 2 个偶数，共 组；也可选 3 个奇数，共 组，合计 4 组无序数字。
(2)
排列成三位数
题中没有数字 0，每组选出的三个数字任意排列都合法。
详细展开：每组 3 个互不相同数字有 种排列，所以总数是 。组合负责选数字，排列负责放到百、十、个位，二者分工不同，故选择 B。
一、选择题 · 立体几何
平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是 ( ) (A) 一条直线 (B) 一个圆 (C) 一个椭圆 (D) 双曲线的一支
答案：A
题目标签：空间动点轨迹
解题过程
求动点 C 的轨迹
把垂直条件写成两个平面的交线
(1)
确定 C 所在的固定平面
动直线 l 经过固定点 A 且始终垂直固定直线 AB。
详细展开：所有经过 A 且垂直 AB 的直线都位于过 A、以 AB 为法向量的固定平面 内；反过来， 内过 A 的任一直线都垂直 AB。因此动点 C 必须同时属于 和原平面 。
C\in\alpha\cap\beta,\qquad \beta\perp AB
(2)
判断两平面交集
AB 是平面 α 的斜线，所以 AB 不垂直 α。
详细展开：若 与 平行，则 AB 作为 的法线也会垂直 ，与“斜线”矛盾。因此两平面相交，其交集是一条固定直线，C 的轨迹就是这条直线，选择 A。
一、选择题 · 函数
已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：分段函数全局递减
解题过程
求分段函数全局递减的参数
检查两段斜率、对数底数和分界顺序
(1)
分别要求两段递减
左段是一次函数，右段是对数函数。
详细展开：左段斜率 必须小于 0，得到 。右段 递减要求 。因此目前有 。
(2)
检查分界处不倒置
全局递减要求所有 的左段值大于等于 。
详细展开：左段递减，其在 上的下确界是左极限 。实际点不取 1，所以允许下确界等于 0，要求 ，即 。综合得 ，选择 C。
一、选择题 · 函数
在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 上的任意 ()， 恒成立”的只有 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：函数严格压缩性质
解题过程
判断严格压缩性质
逐项比较函数值差与自变量差
(1)
验证 f(x)=1/x
在区间 上，两个自变量均为正且乘积大于 1。
详细展开：。因为 ，所以该值严格小于 ，选项 A 对任意不同两点都满足题意。
(2)
排除其余三个函数
给出一个反例或利用导数即可否定全称命题。
详细展开：在 上 ，故差值恰等于 ，不满足严格小于。 的导数为 ，在 x 接近 2 时大于 1； 的导数 。由拉格朗日中值定理，后二者都存在差商大于 1，故唯一正确是 A。
一、选择题 · 数列
设 ()，则 等于 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：等比幂和
解题过程
求等比幂和
识别首项、公比和项数
(1)
确定指数序列和项数
各项指数为 ，公差为 3。
详细展开：写成 ，令 得 。因此 k 从 0 到 n+3，共有 n+4 项；每项 。
(2)
使用等比求和公式
公比 8 不等于 1，可直接求和。
详细展开：，与选项 D 一致。用 n=0 检查时原式有 4 项，也验证指数 n+4 正确。
一、选择题 · 方程与应用
如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段 的机动车辆数 (假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 的大小关系是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：交通环岛流量守恒
解题过程
比较环岛三段车流量
在三个路口应用流入等于流出
(1)
建立流量守恒方程
按图中箭头，内部车流沿 流动。
详细展开：A 口守恒给 ，所以 ；B 口给 ，所以 ；C 口给 ，即 。
(2)
由差值排序
题目只问相对大小，不需要确定绝对车流量。
详细展开：由 、 得 ，第三个方程也正好给出 ，与排序一致，选择 C。
二、填空题 · 极限
的值等于______.
答案：
题目标签：有理函数极限
解题过程
计算 0/0 型有理极限
因式分解约去趋零公因子
(1)
因式分解分子分母
直接代入 x=-1 得到 0/0，需先化简。
详细展开：，。当 x 接近但不等于 -1 时，可以约去公共因子 。
(2)
代入化简后的连续函数
约分后的函数在 x=-1 处分母不为零。
详细展开：函数 在 x=-1 处连续，因此极限可以直接代入：分子为 ，分母为 ，所以商为 。
二、填空题 · 二项式定理
在 的展开式中， 的系数为______. (用数字作答)
答案：
题目标签：含根式二项展开
解题过程
求含根式二项展开的 x2 系数
写通项并匹配半整数指数
(1)
写通项指数
从 7 个因子中选 k 个 。
详细展开：通项为 。
(2)
匹配指数并求系数
令 ，解得 k=1。
详细展开：选择一个第二项时，系数为 。k 为奇数，所以负号保留，结果为 -14。
二、填空题 · 直线
若三点 () 共线，则 的值等于______.
答案：
题目标签：直线截距式
解题过程
由截距式求倒数和
写共线直线的截距方程
(1)
写直线 BC 的截距式
B(a,0)、C(0,b) 是非零横纵截距。
详细展开：因为 ，直线 BC 可写成 。三点共线意味着 A(2,2) 也满足这一方程。
(2)
代入 A 点
将共线点 A(2,2) 代入直线的截距方程。
详细展开：代入 得 。等式两边同时除以 2，便得到 。题目只要求这一组合值，一个方程已经足够，无需也不能唯一求出 a、b 各自的值。
二、填空题 · 解三角形
在 中，若 ，则 的大小是______.
答案：
题目标签：正弦比与角 B
解题过程
由正弦比求边比和角 B
使用正弦定理与余弦定理
(1)
求边长比
三角形中边长与对角正弦成比例。
详细展开：由 ，正弦比 直接给出 。可设三边为 ，共同尺度 t 不影响角度。
(2)
用余弦定理求 B
角 B 的对边是 b，邻边是 a、c。
详细展开：。由于 B 是三角形内角，故 。
二、填空题 · 线性规划
已知点 的坐标满足条件 点 为坐标原点，那么 的最小值等于______，最大值等于______.
答案：\sqrt2，\sqrt{10}
题目标签：线性约束下距离最值
解题过程
求可行域内距离最值
求三角形顶点并比较距离平方
(1)
确定可行域顶点
边界直线为 。
详细展开：两两求交得到 ，三点均满足全部不等式，因此可行域是以这三点为顶点的闭三角形。
(2)
比较最小与最大距离
在区域中 ，最近点是左下顶点 。
详细展开：最小距离为 。最大距离可比较三个顶点的距离平方 2、10、8，最大值在 取得，所以最大距离为 。
二、填空题 · 立体几何
已知 三点在球心为 ，半径为 的球面上，，且 ，那么 两点的球面距离为______，球心到平面 的距离为______.
答案：\frac{\pi R}{3}，\frac{\sqrt3R}{2}
题目标签：球面距离与截面
解题过程
求球面距离与球心到截面距离
先求圆心角，再研究平面截圆
(1)
由弦长求球面距离
球面上 A、B 的最短球面距离是过球心大圆上的劣弧长。
详细展开：设圆心角为 ，弦长 ，所以 。取劣弧对应 ，得 ，弧长为 。
(2)
求球心到平面 ABC 的距离
，所以三角形 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形。
详细展开：其外接圆直径为 AB=R，半径 。平面 ABC 截球所得圆正是这个外接圆，若球心到平面的距离为 d，则 ，故 。
三、解答题 · 三角函数
已知函数 . (1) 求 的定义域; (2) 设 是第四象限的角，且 ，求 的值.
答案：D_f见解析；f(\alpha)=\frac{14}{5}
题目标签：移相三角分式
解题过程
（1）求函数定义域
从原式分母排除余弦零点
(1)
确定限制条件
分子中的正弦对所有实数有定义，只有分母会造成禁点。
详细展开：必须要求 。余弦全部零点为 ，，所以这些点必须从定义域中删去。后续即使能约去 cosx，也不能补回原式无定义点。
(2)
写集合答案
把所有允许值写成实数集去掉离散点集。
详细展开：定义域为 。整数参数 k 遍历后，恰好覆盖全部余弦零点。
（2）化简函数并代入特殊角
先用二倍角将分子提取 cosx
(1)
化简分子
先展开移相正弦，再使用二倍角公式。
详细展开：，所以分子为 。
(2)
由第四象限正切代值
且 α 在第四象限。
详细展开：由 3-4-5 边比得 。代入化简式，。
三、解答题 · 导数
已知函数 在点 处取得极大值 5，其导函数 的图象经过点 ，如图所示，求： (1) 的值; (2) 的值.
答案：x_0=1；a=2,b=-9,c=12
题目标签：导函数图象与三次函数系数
解题过程
（1）由导函数图象确定极大值点
读取导数符号变化
(1)
读出导数符号
图象是开口向上的抛物线，零点为 1、2。
详细展开：因此 位于两根外侧， 位于两根之间。原函数在 增、在 减、在 再增。
(2)
确定 x0
极大值要求原函数由增转减。
详细展开：在 x=1 左侧导数为正、右侧导数为负，所以 f 先递增后递减，确实在 x=1 处取得极大值；在 x=2 处导数由负变正，只能得到极小值。因此题设中的极大值点为 。
（2）求三次函数系数
利用导函数根式和极大值定尺度
(1)
分解导函数并比较系数
的根为 1、2，且开口向上。
详细展开：写成 。与原式比较得 ，且开口向上说明 。
(2)
使用 f(1)=5
极大值点为 1，函数值为 5。
详细展开：，所以 ，继而 。此时 与图象开口和零点完全一致。
三、解答题 · 立体几何
如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， 平面 ，且 ，点 是 的中点. (1) 求证：; (2) 求证： 平面 ; (3) 求二面角 的大小.
答案：(1)(2)见证明；(3)135^\circ
题目标签：四棱锥垂直平行与二面角
解题过程
（1）证明 AC 垂直 PB
由两条相交线建立线面垂直
(1)
证明 AC 同时垂直 AB、PA
题设直接给出 。
详细展开： 平面 ABCD，而 AC 位于底面，所以 。直线 AB、PA 在 A 点相交并同处平面 PAB，故 AC 同时垂直平面内两条相交线。
AC\perp AB,\qquad AC\perp PA
(2)
推出 AC⊥PB
由线面垂直判定， 平面 PAB。
详细展开：PB 位于平面 PAB 内，所以 AC 垂直 PB。这里 PB 不必经过 A；一条直线垂直平面后，就垂直该平面内所有方向。
（2）证明 PB 平行平面 AEC
连接 AC 中点构造平行线
(1)
构造 AC 中点 F
令 F 为 AC 的中点，F 显然位于平面 AEC。
详细展开：用向量表示，取 A 为原点，设 ，则 C 的位置向量为 ，E 为 PD 中点，位置向量为 ，F 的位置向量为 。
(2)
证明 EF∥PB 并应用判定
比较 EF 与 PB 的方向向量。
详细展开：，所以 。EF 在平面 AEC 内，而 PB 不在该平面内，因此根据线面平行判定， 平面 AEC。
（3）求二面角 E-AC-B
在 AC 中点处作两面的垂线
(1)
确定二面角平面角的两条射线
仍令 F 为 AC 中点。上一问有 ，第一问有 ，故 。
详细展开：在底面内，过 F 作 并令射线 FG 指向 B 所在半平面，则因 有 。所以 就是二面角 的平面角。
FE\perp AC,\qquad FG\perp AC
(2)
由等腰直角三角形判断角度
，而 ，但射线方向要仔细对应。
详细展开：三角形 PAB 在 A 处直角，且 ，所以 。射线 与 同向，而 FG 与 同向；AB 与 BA 方向相反，因此两射线夹角为 。
三、解答题 · 概率
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1) 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； (2) 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. (说明理由)
答案：P_1=ab+ac+bc-2abc；P_2=\frac{ab+ac+bc}{3}；P_1\ge P_2
题目标签：两种考试方案概率比较
解题过程
（1）求两种方案通过概率
分别枚举至少两门及格与随机课程对
(1)
求方案一概率
方案一至少两门及格，可分为恰好两门和三门全及格。
详细展开：直接合并四个互斥事件，。展开同类项后得到 。
(2)
求方案二概率
随机选两门共有三种等可能课程对。
详细展开：选中前两门并均及格的条件概率为 ab，另外两对分别为 ac、bc。按全概率公式，各乘 1/3 后相加，得到 。
（2）比较两方案概率
把差写成非负项之和
(1)
计算 P1-P2
将两式通分并提取公因子。
详细展开：。为直接判断符号，将括号改写成三个明显非负项。
(2)
证明差非负并说明等号
概率满足 。
详细展开：，因此 ，方案一不劣于方案二。等号在三项同时为零时成立，例如三门全必过，或至多一门有正及格概率。
三、解答题 · 圆锥曲线
已知点 ，动点 满足条件 . 记动点 的轨迹为 . (1) 求 的方程； (2) 若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.
答案：W:\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1,x>0；最小值2
题目标签：双曲线分支与向量点积
解题过程
（1）求动点轨迹方程
由有向焦距差确定双曲线参数和分支
(1)
识别双曲线并求 a、c
M(-2,0)、N(2,0) 是两个固定焦点。
详细展开：距离差绝对值对应双曲线，题给有向差 。因此 ，得 ；焦点半距 ，所以 。
(2)
求 b 并确定分支
双曲线满足 。
详细展开：，所以完整双曲线为 。由于 ，点更靠近右焦点 N，轨迹只取右支，即 。
（2）求两位置向量点积最小值
使用双曲参数将点积化为双曲余弦
(1)
参数化右支两点
右支 可用双曲函数参数化。
详细展开：设 、。任意实数 u、v 都给出右支点，且反过来覆盖整条右支。
(2)
化简点积并取最小
位置向量点积使用同号相加。
详细展开：。当 且 时，A、B 关于 x 轴对称且互不相同，等号可达，所以最小值为 2。
三、解答题 · 数列
在数列 中，若 是正整数，且 ，则称 为“绝对差数列”. (1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2) 若“绝对差数列” 中，，数列 满足 ，分别判断当 时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； (3) 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
答案：示例见解析；an 无极限；bn 极限6；零项无穷多
题目标签：绝对差数列
解题过程
（1）构造绝对差数列示例
选择首两项并逐项递推
(1)
选择首项并计算前五项
取简单正整数 。
详细展开：按递推式计算 ，，，所以前五项 全部非零，满足构造要求。
(2)
继续写到第十项
从第五项继续使用同一递推规则。
详细展开：。因此一个合格答案是 。
（2）判断 an 与 bn 的极限
由已知相邻项推出周期尾部
(1)
推出 an 的周期尾部
从 开始递推。
详细展开：，此后相邻状态重新出现并循环，所以尾部按 周期重复。它含无穷多个 0 和 3，两条子列极限不同，因此 无极限。
(2)
求 bn 的极限
是连续三个 a 项之和。
详细展开：从 n=20 起，无论三项窗口从周期的哪个位置开始，内容都是 0、3、3 的一个循环排列，和恒为 6。因此 对所有 成立，最终恒定，极限存在且等于 6。
（3）证明零项有无穷多个
用相邻项最大值下降证明必达零，再说明零会周期再现
(1)
证明至少会出现一个零
考察相邻正整数对 的最大值。
详细展开：下一对为 ，其最大值不超过 。若 x>y，最大值立即严格下降；若 y>x，下一对是 ，再下一步以 y 为第一项且第二项小于 y，最大值严格下降；若 x=y，则下一项直接为 0。因此只要尚未出现零，每至多两步最大正整数就严格下降。
(2)
利用整数良序性结束下降
若永远没有零，前一步会迫使正整数最大值无限次严格下降。
详细展开：正整数不可能形成无限严格下降链，因此假设矛盾，序列必在有限步内出现某个零项。这个论证本质上与辗转相减的欧几里得算法终止性相同。
(3)
证明零项会无穷次出现
设首次或任一次出现 。
详细展开：若相邻项也为 0，则后续全为 0；否则设相邻正项为 c，不论局部状态是 还是 ，递推都会进入周期 。于是每隔三项再次出现 0，所以零项不只有一个，而是无穷多个。