一、选择题 · 平面向量
已知向量 满足 , 且 , 则 与 夹角为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：向量夹角
解题过程
由点积求向量夹角
使用点积的几何定义并在标准角范围内反解
(1)
代入点积夹角公式
设非零向量 的夹角为 。
详细展开：点积的几何公式为 。代入已知数据，得到 ，所以 。
(2)
在夹角范围内确定角度
向量夹角规定在 0 到 π 之间。
详细展开：在 上，满足 的角唯一为 ，因此选择 C。点积为正也与锐角结论一致，可作为符号复核。
返回特征解读
2006 年高考数学（全国卷 1文科）
exams_raw/普通高考/2006/2006全国1文(河南,河北,山西,海南,广西).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
22 题24 个小问/题组
一、选择题 · 集合与不等式
设集合 , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：集合的交集与并集
解题过程
求集合并判断包含关系
把描述法集合化为区间，完成交、并运算
(1)
分别解两个不等式
先把集合中的条件化为数轴上的区间。
详细展开：对 ，因式分解得 。二次函数开口向上，所以乘积小于零时 位于两个零点 之间，即 。对 ，绝对值不等式 等价于 ，故 。
(2)
由包含关系确定选项
比较两个区间的端点，确定小集合与大集合。
详细展开：区间 完全落在 内，所以 。小集合与大集合求交仍为小集合，即 ；求并则为大集合 。因此只有选项 B 正确。
一、选择题 · 函数
已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称, 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：反函数与对数运算
解题过程
利用反函数求解析式
由关于 y=x 对称确定 f，再计算 f(2x)
(1)
确定 f 是指数函数的反函数
关于直线 对称意味着横、纵坐标互换。
详细展开：从 出发，两边取自然对数得 。交换 后得到 ，因此 ，定义域为 。
(2)
代入 2x 并检查定义域
把整个 看作对数函数的自变量。
详细展开：由 ，令 ，得 。利用 ，可写成 。同时真数要求 ，即 ，故选 D。
一、选择题 · 圆锥曲线
双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则 ( ) (A) (B) (C) 4 (D)
答案：A
题目标签：双曲线轴长关系
解题过程
由轴长关系求双曲线参数
化为标准方程后读取实、虚半轴
(1)
判断 m 的符号并标准化
方程要表示双曲线，两个平方项系数必须异号。
详细展开： 的系数为正，因此必须有 。令 ，原式成为 ，即 。所以实半轴 ，虚半轴 。
(2)
把轴长倍数转成方程
虚轴长是 ，实轴长是 。
详细展开：题设给出 ，也就是 。于是 ，平方得 ，所以 ，选 A。
一、选择题 · 数列
设 是等差数列 的前 项和, 若 , 则 ( ) (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
答案：D
题目标签：等差数列前七项和
解题过程
由奇数项前缀和求中间项
利用等差数列首尾对称性质
(1)
把前七项配成对称项
等差数列中下标和相同的两项之和相等。
详细展开：有 、、。因此前七项可写成三对对称项再加中间项 ，总和为 。
(2)
由平均数求 a4
前七项平均数等于中间项。
详细展开：由 和 ，得到 ，所以选 D。
一、选择题 · 三角函数
函数 的单调增区间为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：正切函数的单调区间
解题过程
求平移后正切函数的增区间
从基本正切函数的连续分支反解 x
(1)
写出基本正切函数的增区间
在每个连续分支上严格递增。
详细展开：正切函数在 处无定义，相邻渐近线之间构成一个连续分支。因此增区间为 ，其中 。
(2)
代入内部角并平移区间
令 ，对双边不等式同时减去 。
详细展开：由 ，得到 。这正是选项 C。
一、选择题 · 圆与直线
从圆 外一点 向这个圆作两条切线, 则两切线夹角的余弦值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 0
答案：B
题目标签：圆外一点的两切线夹角
解题过程
求圆外一点两切线夹角余弦
在对称直角三角形中先求半角，再使用二倍角公式
(1)
确定圆心、半径和点心距
先把圆的一般方程配方。
详细展开： 化为 ，所以圆心 、半径 。对外点 ，有 。
(2)
利用切线对称性求整角余弦
设两个切点为 A、B，令 。
详细展开：半径垂直切线，所以三角形 在 A 处直角，且 。两条切线关于 OP 对称，故 。于是 ，选 B。
一、选择题 · 解三角形
的内角 的对边分别为 , 若 成等比数列, 且 , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：等比边长与余弦定理
解题过程
由等比边长求角的余弦
先得到边长关系，再使用余弦定理
(1)
把等比条件化为平方关系
三个正数依次成等比数列时，中项平方等于两端乘积。
详细展开：三角形边长均为正，故由 成等比数列得到 。再代入 ，得 。这里无需直接取 ，因为余弦定理本身使用边长平方。
(2)
用余弦定理计算 cos B
角 B 的邻边是 a、c，对边是 b。
详细展开：余弦定理为 ，所以 。代入 、，分子为 ，分母为 ，结果为 ，选 B。
一、选择题 · 立体几何
已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4, 体积为 16, 则这个球的表面积是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：正四棱柱的外接球
解题过程
求正四棱柱外接球表面积
由体积确定底边，再用空间对角线求球半径
(1)
求底面边长
正四棱柱的底面是正方形，体积等于底面积乘高。
详细展开：设底面边长为 。由 得 ，故 。因此这个棱柱的三条相互垂直的棱长为 。
(2)
由空间对角线确定球半径
长方体外接球的球心是体对角线中点，直径等于体对角线。
详细展开：空间对角线平方为 ，所以直径为 ，半径 。球表面积为 ，选 C。
一、选择题 · 二项式定理
在 的展开式中, 的系数为 ( ) (A) (B) 120 (C) (D) 15
答案：C
题目标签：二项式指定项系数
解题过程
求二项展开式指定幂的系数
写通项、匹配指数并计算组合系数
(1)
写出含 k 个第二项的通项
从 10 个因子中选 k 个 ，其余选 x。
详细展开：对应项为 。指数之所以每选择一次第二项减少 2，是因为把一个 替换成了 。
(2)
令指数等于 4 并求系数
解指数方程确定 k。
详细展开：由 得 。因此系数为 ，选择 C。
一、选择题 · 解析几何
抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3
答案：A
题目标签：抛物线上的点到直线距离
解题过程
求抛物线上的点到直线的最短距离
参数化抛物线并将距离化为二次函数
(1)
写出任意点的距离公式
设抛物线上任意点为 。
详细展开：点到直线 的距离为 。由于 的判别式 且二次项系数为正，它恒正，所以绝对值内的相反数恒负，距离可写成 。
(2)
配方求二次函数最小值
开口向上的二次函数在顶点处取得最小值。
详细展开：配方得 。因此 ，当 时等号成立，选 A。
一、选择题 · 三角形与最值
用长度分别为 2, 3, 4, 5, 6 (单位: cm) 的 5 根细木棒围成一个三角形 (允许连接, 但不允许折断), 能够得到的三角形的最大面积为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：木棒组三角形的最大面积
解题过程
确定木棒分组并最大化三角形面积
用海伦公式证明最优边长并验证可拼成
(1)
把面积最大化转成整数乘积最大化
五根木棒全部用于三边，所以周长固定为 20。
详细展开：设三边为 ，半周长 。海伦公式给出 。令 、、，三角形成立时 为正整数，且 。因此只需让正整数乘积 最大。若两数相差至少 2，把较大者减 1、较小者加 1 会使乘积增大，所以最均衡的分配是 ，最大乘积为 36。
(2)
验证最优边长可由木棒拼成
对应边长 。
详细展开：现有木棒可以分为 、、 三组，恰好组成边长 的三角形，因此理论上界能够达到。面积平方为 ，故最大面积为 ，选 B。
二、填空题 · 函数奇偶性
已知函数 , 若 为奇函数, 则 ______.
答案：
题目标签：奇函数求参数
解题过程
由奇函数恒等式求常数
计算 f(x)+f(-x) 并令其恒为零
(1)
化简互为倒数的两个分式
奇函数满足 。
详细展开：。令 ，则 ，而 。两分式之和恒等于 1。
(2)
令 f(x)+f(-x)=0
将互补和代入奇函数条件。
详细展开：。要对所有 x 都等于 0，必须且只需 ，故 。
二、填空题 · 立体几何
已知正四棱锥的体积为 12, 底面对角线长为 , 则侧面与底面所成的二面角等于______.
答案：
题目标签：正四棱锥的二面角
解题过程
求正四棱锥侧面与底面的二面角
计算高和底面中心到边的距离，在垂直截面中求角
(1)
由对角线和体积求棱锥高
设底面正方形边长为 、棱锥高为 。
详细展开：正方形对角线满足 ，故 ，底面积 。由棱锥体积 ，得到 ，所以 。
(2)
在垂直于底边的截面内求二面角
取底面中心 O 和一条底边中点 M，连接顶点 S 与 M。
详细展开：在正四棱锥中， 底面， 所取底边；等腰侧面中 也垂直该底边。因此 就是侧面与底面的二面角。，，在直角三角形 中，，故二面角为 。
二、填空题 · 不等式与线性规划
设 , 式中变量 满足下列条件: 则 的最大值为______.
答案：
题目标签：线性规划求最大值
解题过程
在线性可行域上求目标函数最大值
求边界交点并逐点比较
(1)
改写约束并求可行域顶点
线性目标函数的最值在多边形可行域的顶点取得。
详细展开：约束可写为 、、。三条边界两两相交： 与 得 ； 与 得 ； 与 联立得 。三点均满足全部不等式，构成可行域顶点。
(2)
计算三个顶点的 z 值
把顶点代入 。
详细展开：在 处 ；在 处 ；在 处 。比较可知最大值为 11，并在 处取得。
二、填空题 · 排列组合
安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班, 每人值班一天, 其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日, 不同的安排方法共有______种. (用数字作答)
答案：
题目标签：受限值班排列
解题过程
计算受限值班排列数
先安排受限制人员，再排列其余人员
(1)
安排甲、乙到允许日期
甲、乙都不能排在前两天，因此只能从后五天选择。
详细展开：甲、乙是不同的人，日期也有先后区别。先给甲选一个允许日期有 5 种，再给乙从剩下 4 个允许日期中选择，有 种。
(2)
排列其余五人并使用乘法原理
甲、乙占好两天后，恰有五个日期留给五名不同工作人员。
详细展开：其余五人可在剩余五天任意全排列，共有 种。前后两阶段独立连续完成，所以总数为 。
三、解答题 · 数列
已知 为等比数列, , 求 的通项公式.
答案：两种通项
题目标签：等比数列通项
解题过程
求等比数列的两种通项
以第三项为基准建立关于公比的方程
(1)
用公比表示相邻项
设等比数列公比为 。因 ，所以 。
详细展开：以第三项为基准，，。代入 ，得到 。乘以 后为 ，即 。
(2)
解公比并分别写通项
二次方程可能给出两个合法公比，都要保留。
详细展开：分解 ，得 或 。以 写通项最简洁：。因此有两种数列，分别为 与 。
三、解答题 · 三角函数
的三个内角为 , 求当 为何值时, 取得最大值, 并求出这个最大值.
答案：A=\frac\pi3，最大值为\frac32
题目标签：三角函数式的最大值
解题过程
求三角形内角表达式的最大值
用内角和降元，再配方确定等号条件
(1)
利用 B+C=π-A 化为单变量
三角形内角和可消去 B、C。
详细展开：因为 ，所以 。原式化为 。再令 。由于 ，有 ，且 。
(2)
配方并还原 A
对关于 t 的二次式配方。
详细展开：。当且仅当 时取等号。因 ， 唯一给出 ，即 。
三、解答题 · 概率统计
是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由 4 只小白鼠组成, 其中 2 只服用 , 另 2 只服用 , 然后观察疗效. 若在一个试验组中, 服用 有效的小白鼠的只数比服用 有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 有效的概率为 , 服用 有效的概率为 . (1) 求一个试验组为甲类组的概率; (2) 观察 3 个试验组, 求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率.
答案：(1)\frac49；(2)\frac{604}{729}
题目标签：独立重复试验概率
解题过程
（1）求一个试验组为甲类组的概率
建立两个二项分布并枚举严格大于的情形
(1)
写出两种药有效只数的分布
设服用 A、B 后有效的小白鼠只数分别为 。
详细展开：同组中两只服 A 的小白鼠独立且单只有效率为 ，故 ：、、。同理 ：概率依次为 。两组小白鼠相互独立，所以 X、Y 独立。
(2)
枚举 X>Y 的全部情形
甲类组要求 A 的有效只数严格多于 B。
详细展开：合法组合只有 。利用独立性，概率为 。也可合并后两项为 ，再加 。
（2）求三个试验组中至少有一个甲类组的概率
使用对立事件计算至少一次成功
(1)
确定单组非甲类概率
由第 (1) 问，单组为甲类组的概率为 4/9。
详细展开：单组不是甲类组的概率为 。三个试验组独立，因此“三组都不是甲类组”的概率是三个 的乘积。
(2)
用 1 减去对立事件概率
总概率减去三组都不是甲类组的概率。
详细展开：所求概率为 。该值包含恰有 1、2、3 个甲类组的全部情况，且互不遗漏。
三、解答题 · 立体几何
如图， 是互相垂直的异面直线， 是它们的公垂线段. 点 在 上， 在 上，. (1) 证明：; (2) 若 ，求 与平面 所成角的余弦值.
答案：(1)见证明；(2)\frac{\sqrt6}{3}
题目标签：异面直线与线面角
解题过程
（1）证明 AC 垂直 NB
利用公垂线和异面直线建立正交坐标系
(1)
建立与几何关系一致的坐标
设公共长度 ，以 M 为原点。
详细展开：取 为 x 轴，则可设 、。取 为 y 轴正方向，故 。因为 是 的公垂线且 ， 同时垂直 x、y 方向，可取为过 N 且平行 z 轴的直线，于是设 ，其中 。
(2)
计算方向向量点积
分别写出 AC 与 NB 的方向向量。
详细展开：，。点积为 。两向量均非零，因此对应直线垂直，即 。
（2）求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦
先由 60° 条件求参数，再用法向量计算线面角
(1)
由角 ACB=60° 求 t 与 d 的关系
在点 C 处使用向量 、。
详细展开：，。二者点积为 ，长度都为 。由夹角余弦等于 ，有 ，解得 。
(2)
用平面法向量求线面角
设 NB 与平面 ABC 所成锐角为 。
详细展开：平面 ABC 内有 、，可取法向量 。方向向量 。于是 。代入 得 ，故 。
三、解答题 · 圆锥曲线
设 是椭圆 短轴的一个端点， 为椭圆上一个动点，求 的最大值.
答案：分段最大值
题目标签：椭圆上的距离最大值
解题过程
求椭圆上一点到短轴端点的最大距离
参数化椭圆，将距离平方化为区间上的二次函数
(1)
参数化动点并写距离平方
不妨取短轴上端点 ，另一端情形由对称性相同。
详细展开：设椭圆上 ，令 。则 。最大化距离等价于最大化这个平方。
(2)
判断二次函数顶点是否落在区间内
因 ，二次项系数 ，函数开口向下。
详细展开：顶点横坐标为 。当 时，，区间最大值在 处，，故 。当 时，，顶点在区间内，代入得 ，故 。 时两式都给 2。
三、解答题 · 导数
设 为实数，函数 在 和 都是增函数，求 的取值范围.
答案：a\le-\sqrt{\frac32}\text{ 或 }a\ge1
题目标签：函数增性求参数
解题过程
由两个区间上的增性求参数范围
分析导数二次函数在负半轴上的非负条件
(1)
求导并转化为导数非负
多项式在开区间上递增，要求导数在该区间内不为负。
详细展开：，记为 。若 q 在某点小于 0，由连续性可知附近函数递减，与题设矛盾；反之 q 在区间内非负且只可能孤立取零，则 f 严格递增。因此需同时满足 对所有 和所有 。
(2)
处理负半轴上的条件
的顶点横坐标为 ，顶点值为 。
详细展开：若 ，顶点不在 内，q 在负半轴上越靠近 0 越小，故需 ，结合 得 。若 ，顶点位于负半轴，需顶点值 ，即 ；结合 得 。
(3)
检查正区间条件并取交集
还需验证 不会带来额外限制。
详细展开：若 ，顶点 ，q 在 上递增，其下确界为 。若 ，顶点在 内，但顶点值 。所以该区间对任意实数 a 都满足要求。最终范围就是负半轴给出的范围。边界参数时导数只在孤立点为零，函数仍严格递增。