exams_raw/普通高考/2006/2006全国1理(河南,河北,山西,海南,广西).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合与不等式
答案：B
题目标签：集合的交集与并集
把描述法集合化为区间，完成交、并运算
先把集合中的条件化为数轴上的区间。
详细展开：对 ，因式分解得 。二次函数开口向上，所以乘积小于零时 位于两个零点 之间，即 。对 ，绝对值不等式 等价于 ，故 。
比较两个区间的端点，确定小集合与大集合。
详细展开：区间 完全落在 内，所以 。小集合与大集合求交仍为小集合，即 ；求并则为大集合 。因此只有选项 B 正确。
一、选择题 · 函数
答案：D
题目标签：反函数与对数运算
由关于 y=x 对称确定 f，再计算 f(2x)
关于直线 对称意味着横、纵坐标互换。
详细展开：从 出发，两边取自然对数得 。交换 后得到 ，因此 ，定义域为 。
把整个 看作对数函数的自变量。
详细展开：由 ，令 ，得 。利用 ，可写成 。同时真数要求 ，即 ，故选 D。
一、选择题 · 圆锥曲线
答案：A
题目标签：双曲线轴长关系
化为标准方程后读取实、虚半轴
方程要表示双曲线，两个平方项系数必须异号。
详细展开： 的系数为正，因此必须有 。令 ，原式成为 ，即 。所以实半轴 ，虚半轴 。
虚轴长是 ，实轴长是 。
详细展开：题设给出 ，也就是 。于是 ，平方得 ，所以 ，选 A。
一、选择题 · 复数
答案：B
题目标签：复数为实数的条件
展开复数乘积并解三次方程
复数是否为实数要在 形式下判断。
详细展开：按分配律展开：，，，。合并实部与虚部，得到 。
实数的虚部必须等于零。
详细展开：由 ，利用立方和公式 。其中 ，所以唯一实根是 ，选 B。
一、选择题 · 三角函数
答案：C
题目标签：正切函数的单调区间
从基本正切函数的连续分支反解 x
在每个连续分支上严格递增。
详细展开：正切函数在 处无定义，相邻渐近线之间构成一个连续分支。因此增区间为 ，其中 。
令 ，对双边不等式同时减去 。
详细展开：由 ，得到 。这正是选项 C。
一、选择题 · 解三角形
答案：B
题目标签：等比边长与余弦定理
先得到边长关系，再使用余弦定理
三个正数依次成等比数列时，中项平方等于两端乘积。
详细展开：三角形边长均为正，故由 成等比数列得到 。再代入 ，得 。这里无需直接取 ，因为余弦定理本身使用边长平方。
角 B 的邻边是 a、c，对边是 b。
详细展开：余弦定理为 ，所以 。代入 、，分子为 ，分母为 ，结果为 ，选 B。
一、选择题 · 立体几何
答案：C
题目标签：正四棱柱的外接球
由体积确定底边，再用空间对角线求球半径
正四棱柱的底面是正方形，体积等于底面积乘高。
详细展开：设底面边长为 。由 得 ，故 。因此这个棱柱的三条相互垂直的棱长为 。
长方体外接球的球心是体对角线中点，直径等于体对角线。
详细展开：空间对角线平方为 ，所以直径为 ，半径 。球表面积为 ，选 C。
一、选择题 · 解析几何
答案：A
题目标签：抛物线上的点到直线距离
参数化抛物线并将距离化为二次函数
设抛物线上任意点为 。
详细展开：点到直线 的距离为 。由于 的判别式 且二次项系数为正，它恒正，所以绝对值内的相反数恒负，距离可写成 。
开口向上的二次函数在顶点处取得最小值。
详细展开：配方得 。因此 ，当 时等号成立，选 A。
一、选择题 · 平面向量
答案：D
题目标签：向量的旋转与线性关系
把旋转与伸缩视为公共线性变换
每个 都先顺时针旋转 ，再将长度放大 2 倍。
详细展开：记这个固定的“旋转后放大”线性变换为 。题设的方向和长度条件说明 。关键在于三个下标使用的是完全相同的变换，而不是三个不同的比例系数。
线性变换满足 。
详细展开：由 ，两边施加 ，得到 ，即 ，选 D。
一、选择题 · 数列
答案：B
题目标签：等差数列连续项
利用连续三项关于中项对称
连续三个等差数可写成 。
详细展开：因为 ，所以 。设公差为 ，则三项为 。乘积条件给出 ，从而 。结合公差为正，取 ，故 。
由首项与公差得到任意一项。
详细展开：通项为 。于是 、、，三项和为 。也可直接用连续三项和等于 3 倍中项，写成 ，选 B。
一、选择题 · 三角形与最值
答案：B
题目标签：木棒组三角形的最大面积
用海伦公式证明最优边长并验证可拼成
五根木棒全部用于三边，所以周长固定为 20。
详细展开：设三边为 ，半周长 。海伦公式给出 。令 、、，三角形成立时 为正整数，且 。因此只需让正整数乘积 最大。若两数相差至少 2，把较大者减 1、较小者加 1 会使乘积增大，所以最均衡的分配是 ，最大乘积为 36。
对应边长 。
详细展开：现有木棒可以分为 、、 三组，恰好组成边长 的三角形，因此理论上界能够达到。面积平方为 ，故最大面积为 ，选 B。
二、填空题 · 排列组合
答案：B
题目标签：有序子集对计数
按并集大小选择元素，再确定上下分界
条件 表示 A 的所有元素都排在 B 的所有元素之前。
详细展开：先固定并集 ，设它有 个元素，按从小到大记为 。为了满足条件，只能在某个相邻位置切开：，，其中 。所以每个 k 元并集恰有 种合法切法。反过来每个合法 也唯一确定其并集和切口，因此不会重复或遗漏。
从 5 个元素中先选出 k 个作为并集。
详细展开：当 时，并集选择数分别为 ，每个并集分别有 个切口。总数为 ，选 B。
二、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：正四棱锥的二面角
计算高和底面中心到边的距离，在垂直截面中求角
设底面正方形边长为 、棱锥高为 。
详细展开：正方形对角线满足 ，故 ，底面积 。由棱锥体积 ，得到 ，所以 。
取底面中心 O 和一条底边中点 M，连接顶点 S 与 M。
详细展开：在正四棱锥中， 底面， 所取底边；等腰侧面中 也垂直该底边。因此 就是侧面与底面的二面角。，，在直角三角形 中，，故二面角为 。
二、填空题 · 不等式与线性规划
答案：
题目标签：线性规划求最大值
求边界交点并逐点比较
线性目标函数的最值在多边形可行域的顶点取得。
详细展开：约束可写为 、、。三条边界两两相交： 与 得 ； 与 得 ； 与 联立得 。三点均满足全部不等式，构成可行域顶点。
把顶点代入 。
详细展开：在 处 ；在 处 ；在 处 。比较可知最大值为 11，并在 处取得。
二、填空题 · 排列组合
答案：
题目标签：受限值班排列
先安排受限制人员，再排列其余人员
甲、乙都不能排在前两天，因此只能从后五天选择。
详细展开：甲、乙是不同的人，日期也有先后区别。先给甲选一个允许日期有 5 种，再给乙从剩下 4 个允许日期中选择，有 种。
甲、乙占好两天后，恰有五个日期留给五名不同工作人员。
详细展开：其余五人可在剩余五天任意全排列，共有 种。前后两阶段独立连续完成，所以总数为 。
二、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：三角函数奇偶性求参
求导、合并同频三角式并消去偶函数分量
令 ，先准确处理复合函数求导。
详细展开：，所以 。由 ，可写成 。
展开 ，其中 。
详细展开：。第一项是偶函数，第二项是奇函数。整体为奇函数当且仅当偶函数项消失，即 ，故 。于是 。由 ，只有 合法，所以 。
三、解答题 · 三角函数
答案：A=\frac\pi3，最大值为\frac32
题目标签：三角函数式的最大值
用内角和降元，再配方确定等号条件
三角形内角和可消去 B、C。
详细展开：因为 ，所以 。原式化为 。再令 。由于 ，有 ，且 。
对关于 t 的二次式配方。
详细展开：。当且仅当 时取等号。因 ， 唯一给出 ，即 。
三、解答题 · 概率统计
答案：(1)\frac49；(2)\xi\sim B(3,\frac49)，E\xi=\frac43
题目标签：二项分布与数学期望
建立两个二项分布并枚举严格大于的情形
设服用 A、B 后有效的小白鼠只数分别为 。
详细展开：同组中两只服 A 的小白鼠独立且单只有效率为 ，故 ：、、。同理 ：概率依次为 。两组小白鼠相互独立，所以 X、Y 独立。
甲类组要求 A 的有效只数严格多于 B。
详细展开：合法组合只有 。利用独立性，概率为 。也可合并后两项为 ，再加 。
把三个独立试验组视为三次伯努利试验
每个试验组成为甲类组的概率均为 。
详细展开：三个试验组相互独立， 统计其中甲类组的个数，因此 。对 ，有 。
逐个代入二项分布公式。
详细展开：四个概率依次为 、、、，其和为 1。二项分布期望为 。
三、解答题 · 立体几何
答案：(1)见证明；(2)\frac{\sqrt6}{3}
题目标签：异面直线与线面角
利用公垂线和异面直线建立正交坐标系
设公共长度 ，以 M 为原点。
详细展开：取 为 x 轴，则可设 、。取 为 y 轴正方向，故 。因为 是 的公垂线且 ， 同时垂直 x、y 方向，可取为过 N 且平行 z 轴的直线，于是设 ，其中 。
分别写出 AC 与 NB 的方向向量。
详细展开：，。点积为 。两向量均非零，因此对应直线垂直，即 。
先由 60° 条件求参数，再用法向量计算线面角
在点 C 处使用向量 、。
详细展开：，。二者点积为 ，长度都为 。由夹角余弦等于 ，有 ，解得 。
设 NB 与平面 ABC 所成锐角为 。
详细展开：平面 ABC 内有 、，可取法向量 。方向向量 。于是 。代入 得 ，故 。
解答题 · 圆锥曲线
答案：(1)\frac1{X^2}+\frac4{Y^2}=1；(2)3
题目标签：椭圆切线截距轨迹
确定椭圆、切线截距并消去切点坐标
焦点在 y 轴上，先由焦距和离心率求长、短半轴。
详细展开：半焦距 ，离心率 ，故长半轴 。椭圆满足 ，且长轴沿 y 轴，所以方程为 。设第一象限切点为 ，则 。
椭圆在 处的切线为 。
详细展开：令 得 x 轴截距 ；令 得 y 轴截距 。由 ，向量坐标对应相加，所以 。
设 M 的坐标为 ，反解 。
详细展开：由 、，得 、。代回椭圆方程，得到 。又因第一象限椭圆弧满足 、，所以 。反过来满足该方程与范围的点也对应唯一第一象限切点，故这就是完整轨迹。
用柯西不等式结合轨迹约束求下界并验证等号
。
详细展开：由柯西不等式，。轨迹条件使第二个因子等于 1，所以 ，即 。
柯西等号要求两个向量成比例。
详细展开：等号条件给出 ，即 。与 联立，得 ，所以 。取第一象限的 ，满足 ，因此下界可达，最小值为 3。
解答题 · 导数
答案：(1)见分类讨论；(2)a\le2
题目标签：含参数函数单调性与恒成立
求导并按参数 a 与 2 的关系分类
函数定义域为 。
详细展开：设 ，则 。用乘积法则得到 。通分后为 。指数因子和平方分母恒正，所以导数符号只由 决定。
当 时， 对所有 x 成立。
详细展开：因此 ，函数分别在 、 上严格递增。当 时，，只在 处为零；导数除孤立点外为正，所以函数在上述两个定义域区间仍严格递增。
令 ，则 。
详细展开：此时 ，在 时为正，在 时为负。结合断点 ，函数在 、、 上递增，在 上递减。
取对数转成基本不等式，并用极限证明必要性
在 上，各因子为正，可以安全取自然对数。
详细展开： 等价于 。先令 ，则 ，且 。所以对 有 ，即 。若 ，则该对数更大于等于 ，且第一处为严格不等式，故 。
考察 x 趋近 0 时对数比值的极限。
详细展开：若对所有 都有 ，则必须有 。而用洛必达法则或导数定义可得 。若 ，由极限定义可取充分小的正 x，使该比值小于 a，与必要不等式矛盾。因此必须 。结合充分性，范围为 。
解答题 · 数列
答案：(1)a_1=2，a_n=4^n-2^n；(2)见证明
题目标签：前 n 项和关系与裂项求和
先代 n=1，再由相邻前 n 项和相减建立递推
前 1 项和就是首项，即 。
详细展开：把 代入题设：。移项得 。这一步不能直接套后面由 得到的递推，因为 未在题中给出。
对 ，使用 。
详细展开：将题设在 n 与 n-1 时的等式相减，得到 。因括号中的幂差为 ，整理得 ，即 。
递推的齐次倍数是 4，令 。
详细展开：两边除以 ，得 ，且 。于是 。乘回 ，得到 ；代入 n=1 也给出 2，与首项一致。
因式分解 S_n，把 T_n 写成裂项差
把通项代回题给的 S_n 关系。
详细展开：由 ，得 。令 ，分子为 ，所以 。
由定义 。
详细展开：代入上式得 。注意 ，故 。从 1 到 n 求和后中间项全部抵消，得到 。