exams_raw/普通高考/2006/2006全国2文(黑龙江,吉林,贵州,新疆,内蒙古,青海,云南,西藏,宁夏,甘肃).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 平面向量
答案：B
题目标签：平面向量平行
把平行条件写成坐标行列式为零
二维非零向量平行时，对应坐标成比例，也可写成交叉乘积为零。
详细展开：对 、，若直接写比例就是 ；为避免 时比例式无意义，统一使用行列式条件 。向量 a 显然非零，所以该条件正好刻画两向量平行。
平行条件已经化为只含 x 的一次方程。
详细展开：由 得 ，所以 。代回得到 ，确实与 a 同方向，故选择 B。代回检验同时排除了交叉相乘中的计算错误。
一、选择题 · 集合
答案：D
题目标签：集合与对数不等式
先解对数不等式，再与区间相交
底数 2 大于 1，对数函数严格递增。
详细展开： 先要求 ，再由单调性等价为 ，故 。
。
详细展开：交集中的数必须同时属于两个集合，因此既要满足 ，又要满足 ，合并为 。两个不等式都是严格不等式，端点 2、3 均不能取，所以 ，选 D。
一、选择题 · 三角函数
答案：D
题目标签：三角函数周期
用二倍角积化成单一正弦
乘积 可由 化简。
详细展开：取 ，有 。系数 只改变振幅，不改变周期。
的最小正周期为 。
详细展开：这里 ，所以 ，选 D。
一、选择题 · 函数
答案：D
题目标签：函数图象的中心对称
跟踪一般点的横纵坐标并消去参数
先在已知直线 上取一个一般点，再使用原点对称的坐标规则。
详细展开：设已知图象上的横坐标为 t，则点为 。关于原点对称后，横坐标和纵坐标都变号，得到 。题意说明这些对称点构成 的图象。只把纵坐标变号会得到关于 x 轴对称，并不符合题意。
令对称点的新横坐标为 x，并把旧参数 t 消去。
详细展开：由 得 。将它代入新纵坐标 ，得到 ，即 ，选择 D。也可用函数变换公式 核验：。
一、选择题 · 圆锥曲线
答案：C
题目标签：椭圆焦点定义
把 BC 按另一焦点拆分
椭圆 的长半轴 。
详细展开：设 A 为焦点 ，另一个焦点为 。椭圆上任一点 X 满足 ，所以对 B、C 分别有 、。
位于线段 BC 上。
详细展开：因此 。三角形周长 可重组为 ，选 C。
一、选择题 · 数列
答案：B
题目标签：等差数列求和
先由两项之差求公差，再代入求和公式
设首项为 、公差为 d，把已知两项写成 与 d。
详细展开：等差数列通项是 ，所以 ，。第二式减第一式，左边的 消去，得 ，于是 ；再代回 ，得到 。
使用首项和公差形式的求和公式，并逐项核对括号。
详细展开：。代入 ，括号内为 ，所以 ，选择 B。还可用末项 检查：。
一、选择题 · 立体几何
答案：B
题目标签：垂直平面与线面角
分解为三个互相垂直的方向分量
把两垂直平面的交线取作 x 轴，并把两平面分别看作 xy、xz 平面。
详细展开：设 。AB 与平面 α 的夹角为 ，所以垂直于 α 的分量长度为 ；AB 与平面 β 的夹角为 ，所以垂直于 β 的分量长度为 。这两个方向互相垂直，也都垂直于两平面的交线。
正是 AB 沿两平面交线方向的分量。
详细展开：三个方向两两垂直，所以 。代入上一步，。长度取正值，故 ，选择 B。这里先算平方比例可避免直接处理根式。
一、选择题 · 函数
答案：B
题目标签：对数函数的反函数
反解自变量并交换 x、y
从 出发。
详细展开：移项得 ，两边以 e 为底取指数，得到 。原函数值域为全体实数，所以反函数定义域是 。
把输入、输出变量互换。
详细展开：上一步的 表示原输入由原输出决定。为按通常的函数记号写反函数，把其中的 x、y 名称互换，得到 。原函数的值域是全体实数，所以反函数定义域为 ，故选 B。
一、选择题 · 圆锥曲线
答案：A
题目标签：双曲线渐近线与离心率
把斜率转成 b/a，再使用 c²=a²+b²
标准双曲线 的渐近线为 。
详细展开：已知其中一条斜率为 ，故 ，从而 。
双曲线满足 。
详细展开：。离心率为正，故 ，选 A。
一、选择题 · 三角函数
答案：C
题目标签：复合函数与二倍角
先确定 f 在 [-1,1] 上的表达式
使用 。
详细展开：。由于 能取遍 ，故对该区间任意 t 都有 。
，可代入上式。
详细展开：，选 C。
一、选择题 · 导数
答案：D
题目标签：抛物线的切线
设切点横坐标并使用导数写切线
设切点横坐标为 t，切线斜率由导数在 t 处的值给出。
详细展开：对 求导得 。切点是 ，斜率为 ，因此切线满足 。展开常数项后得到 。
题目要求切线经过 ，把该点代入参数切线。
详细展开：代入得 ，所以 或 。当 时，切线为 ，即 ，恰为选项 D；另一条为 ，不在给出的四个选项中。
一、选择题 · 排列组合
答案：A
题目标签：满射分配计数
从全部分法中排除有学校为空的情况
5 名志愿者彼此不同，3 所学校也彼此不同，每人独立选择一所学校。
详细展开：第一名有 3 种选择，之后每名也各有 3 种选择，根据乘法原理共有 种。这一总数暂时允许某所学校无人，因此还没有满足“每所至少 1 人”的限制。把人或学校当成相同对象都会错误地减少计数。
设事件 表示第 i 所学校无人，要求的是三个事件都不发生。
详细展开：固定一所学校为空时，每人只能选另外两所，共 种，三所学校共有 种；但只剩一所学校有人的分法在前一步被重复减去，任取唯一有人的学校有 3 种，应加回。故满射数为 ，选择 A。
二、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项展开式常数项
写通项并令 x 的指数为零
从 10 个因子中选 k 个 。
详细展开：该项为 。
常数项的 x 指数等于 0。
详细展开：常数项不含 x，所以必须令通项中的总指数 等于 0，解得 。这个整数位于 的允许范围内，因此常数项确实存在，其系数为 。
二、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：球的小圆截面
把小圆半径、球半径和球心距组成直角三角形
设小圆半径为 r，球半径为 R，先把给定面积比写成半径平方比。
详细展开：小圆面积为 ，球表面积为 。题设给出 ，约去 后得到 。这里分母是球的整个表面积，不是半径为 R 的大圆面积。
球心 O 到截面圆圆心 的连线垂直截面平面。
详细展开：连接球面上任一截面圆点 P，则 、，且三角形 在 处为直角，所以 。代入 ，得 ；长度均为正，因此 。
二、填空题 · 圆与直线
答案：
题目标签：圆中过定点最短弦
把弧角最小转为弦长最小，再最大化圆心到直线距离
圆心 、半径 2，点 满足 ，在圆内。
详细展开：过 P 的直线截圆所得弦长为 ，其中 d 是圆心到直线的距离。劣弧圆心角随弦长增大而增大，所以要使圆心角最小，应让弦长最小，即让 d 最大。过固定点 P 的直线到 O 的距离最大值为 OP，在直线垂直 OP 时取得。
l\perp OP
直线 OP 的斜率为 。
详细展开：垂直直线斜率乘积为 -1，所以 ，得到 。
二、填空题 · 概率统计
答案：
题目标签：频率直方图与分层抽样
读取柱高乘组距得到频率，再按比例抽样
直方图纵轴是“频率/组距”，不是频率本身。
详细展开：区间 的组距为 500，柱高为 0.0005，所以该组频率为 ，即总体中约 25% 位于该收入段。
分层抽样保持各层在总体中的比例。
详细展开：进一步调查抽取 100 人，因此该收入层应抽 人。也可先算总体该层约 2500 人，再按 1% 抽样率得到 25。
三、解答题 · 解三角形
答案：BC=3\sqrt2，CD=\sqrt{13}
题目标签：正弦定理与三角形中线
先由 cos C 求 sin C，再连续使用正弦定理和角和公式
三角形内角 C 在 内，且余弦为正，所以 C 是锐角，正弦取正值。
详细展开：由 ，有 。按标准记号， 是角 B 的对边，故外接圆直径比例为 。
由于 ，所以 。
详细展开：展开得 。再由正弦定理 ，得到 。
先整理三边，再使用阿波罗尼斯公式
在第一问已经得到统一比例 。
详细展开：边 AB 是角 C 的对边，所以 。现在三边平方分别为 、、，可以直接代入中线公式。
D 是 AB 中点，CD 是从顶点 C 到边 AB 的中线。
详细展开：阿波罗尼斯公式给 。代入三边平方，。中线长度为正，所以 。也可由向量中点公式得到同一结果。
三、解答题 · 数列
答案：两组通项见解析
题目标签：等比数列前缀和
利用前八项分成两个四项块，再分别求首项
设公比为 q。第 5 至第 8 项分别是前四项乘以 。
详细展开：因此 。代入 ，得到 。这个推导不需要先除以 ，所以也不会遗漏特殊公比。
实数方程 给出 或 ，两种情形都要代回 。
详细展开：当 时，，故 。当 时，，故 。两种首项均非零，确实构成等比数列。
等比数列通项是 。
详细展开：代入两组 ，得到 ，或 。前者前四项和为 1、后四项和为 16；后者同样有 且后四项是前四项的 16 倍，所以 ，两组答案都满足题设。
三、解答题 · 概率统计
答案：(1)\frac{12}{25}；(2)\frac{17}{50}
题目标签：超几何抽样与拒购概率
分别计算后两箱的超几何概率并合并互斥情形
第一箱没有二等品，所以二等品总数只由第二、三箱贡献。
详细展开：设第二、三箱抽到二等品数分别为 X、Y。第二箱有 1 件二等品、4 件一等品，抽 2 件，故 、。第三箱有 2 件二等品、3 件一等品，故 、、。
恰有一件二等品只可能是 或 。
详细展开：两箱抽样相互独立，所以每种情形的概率等于乘积；两种情形互斥，所以再相加。于是 ，，总概率为 。
计算总二等品数为 2、3 的概率并相加
拒购条件是至少 2 件，而 X 最大为 1、Y 最大为 2。
详细展开：当总数为 2 时，有 或 ，所以概率为 。当总数为 3 时只能是 ，概率为 。这些情形已经覆盖所有可能。
总数为 2 与总数为 3 不可能同时发生，因此概率可以直接相加。
详细展开：把 与 通分到 50，分别得到 与 ，所以拒购概率为 。该值约为 0.34，位于 0 与 1 之间，也小于“至少一件”的概率，数量级合理。
三、解答题 · 立体几何
答案：(1)见证明；(2)60^\circ
题目标签：直棱柱公垂线与二面角
用底面向量和侧棱向量表示中点
以 B 为原点，记 、、侧棱向量为 。
详细展开：直棱柱中 垂直底面，所以它与 u、v 都垂直；又 ，故 。点 ，而 是 A 与 C1 的中点，所以 ，从而 。
DE 位于底面方向，因此 。
详细展开：，故 。又 D 在 BB1 上、E 在 AC1 上，所以 ED 同时与两线垂直并连接两线，是公垂线。
由长度条件建立正交坐标并比较平面法向量
设 。由 及余弦定理知 。
详细展开：取 、、，并令侧棱高 。则 、、。
平面 就是 ，可取法向量 。
详细展开：令 并约去公共尺度，、，可取平面 的法向量 。于是 ，所求锐二面角为 。
三、解答题 · 函数与不等式
答案：a<-2或a>\frac67
题目标签：二次不等式与区间交集
把“存在 x”改写为关于参数 a 的不等式并分区间取并集
的意思是存在某个 使 。
详细展开：对固定的 x，把 按参数 a 合并为 ，所以条件是存在 满足 。由于系数 在 处变号，除法前必须分成 与 两段。
在该区间 ，除法后不等号反向。
详细展开：条件化为 ，其中 。求导得 ，所以 h 从 时的极限 -2 严格下降到负无穷。存在某个 x 使 当且仅当 ；等号 时，所有 都有 ，不能满足严格不等式。
在右侧区间 ，条件变为 。
详细展开：同一导数说明 h 在 上严格下降，从正无穷趋近 。由于 x=3 不在开区间内，实际总有 ，故存在 x 使 当且仅当 。与左侧分支取并集，最终 或 。在 时 ，没有遗漏。
三、解答题 · 圆锥曲线
答案：(1)0；(2)最小值4
题目标签：抛物线焦点弦与切线
参数化抛物线并利用 F 分点条件
抛物线 的焦点为 ，参数点写成 。
详细展开：设 、。由 ，比较横坐标得 ；比较纵坐标并代入，得到 ，因此 。
参数 t 处切线为 。
详细展开：两切线联立得 。于是 ，而 。点积为 ，是与 λ 无关的定值。
用参数差求面积，再以 AM-GM 求最小
由坐标行列式计算 。
详细展开：从 M 出发，，。行列式绝对值为 ，所以 。由 、，有 。
，所以可用 AM-GM。
详细展开：，当且仅当 ，即 时等号成立。因此 。