一、选择题 · 集合
已知集合 , , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：集合与对数不等式
解题过程
求两个集合的交集
先解对数不等式，再与区间相交
(1)
求 N 的元素范围
底数 2 大于 1，对数函数严格递增。
详细展开： 先要求 ，再由单调性等价为 ，故 。
(2)
与 M 取公共部分
。
详细展开：交集中的数必须同时属于两个集合，因此既要满足 ，又要满足 ，合并为 。两个不等式都是严格不等式，端点 2、3 均不能取，所以 ，选 D。
返回特征解读
2006 年高考数学（全国卷 2理科）
exams_raw/普通高考/2006/2006全国2理(黑龙江,吉林,贵州,新疆,内蒙古,青海,云南,西藏,宁夏,甘肃).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
22 题27 个小问/题组
一、选择题 · 三角函数
函数 的最小正周期是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：三角函数周期
解题过程
求三角函数最小正周期
用二倍角积化成单一正弦
(1)
使用二倍角公式
乘积 可由 化简。
详细展开：取 ，有 。系数 只改变振幅，不改变周期。
(2)
由角频率读取周期
的最小正周期为 。
详细展开：这里 ，所以 ，选 D。
一、选择题 · 复数
( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：复数分式
解题过程
化简复数分式
先算分母平方，再用 i²=-1 消去分母虚数
(1)
计算分母
展开 。
详细展开：。
(2)
把分母化为实数
原式变为 。
详细展开：分子分母同乘 ，得 ，选 A。也可利用 得到同一结果。
一、选择题 · 立体几何
过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：球的截面
解题过程
求球截面面积比
用勾股定理求截面圆半径
(1)
建立球心到截面圆的直角三角形
设球半径为 R，截面圆半径为 r。
详细展开：平面经过一条半径的中点并垂直该半径，所以球心到平面的距离为 。球心、截面圆心和截面圆上一点组成直角三角形，故 ，得到 。
(2)
计算两个面积并作比
截面面积为 πr²，球表面积为 4πR²。
详细展开：把 代入截面圆面积，得到 ；球的表面积为 。两者作比并约去公共因子 ，得到 ，选 A。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知 的顶点 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：椭圆焦点定义
解题过程
利用椭圆焦点定义求周长
把 BC 按另一焦点拆分
(1)
确定长半轴并使用焦点和
椭圆 的长半轴 。
详细展开：设 A 为焦点 ，另一个焦点为 。椭圆上任一点 X 满足 ，所以对 B、C 分别有 、。
(2)
把三角形周长重组
位于线段 BC 上。
详细展开：因此 。三角形周长 可重组为 ，选 C。
一、选择题 · 函数
已知函数 ，则 的反函数为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：对数函数的反函数
解题过程
求对数函数的反函数
反解自变量并交换 x、y
(1)
由 y 反解 x
从 出发。
详细展开：移项得 ，两边以 e 为底取指数，得到 。原函数值域为全体实数，所以反函数定义域是 。
(2)
交换变量并选择
把输入、输出变量互换。
详细展开：上一步的 表示原输入由原输出决定。为按通常的函数记号写反函数，把其中的 x、y 名称互换，得到 。原函数的值域是全体实数，所以反函数定义域为 ，故选 B。
一、选择题 · 立体几何
如图，平面 平面 , , , 与两平面 所成的角分别为 和 . 过 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：垂直平面与线面角
解题过程
求线段在两垂直平面交线上的投影比
建立以两平面交线为轴的直角坐标系
(1)
用线面角求两个垂直分量
令两平面交线为 x 轴，α、β 分别为 xy、xz 平面。
详细展开：可设 、，则 、。记 。AB 与 α 的角为 π/4，所以其垂直于 α 的 z 分量满足 ；与 β 的角为 π/6，所以 y 分量满足 。
(2)
由空间勾股求交线方向分量
是 AB 沿交线方向的分量。
详细展开：由 ，得 ，故 ，所以 ，选 A。
一、选择题 · 函数
函数 的图象与函数 的图象关于原点对称，则 的表达式为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：函数图象的中心对称
解题过程
由中心对称写函数解析式
跟踪图象点在原点对称下的坐标变化
(1)
写出对称点坐标
上任一点可写为 ，其中 。
详细展开：关于原点对称后坐标同时取相反数，得到 。在新图象上令 ，则 且 。
(2)
消去原参数 u
由 代入新纵坐标。
详细展开：对称点的纵坐标是 ，将 代入，得到 。原参数要求 ，等价于 ，即 ；这也正好保证对数真数为正，因此选 D。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：双曲线渐近线与离心率
解题过程
由双曲线渐近线求离心率
把斜率转成 b/a，再使用 c²=a²+b²
(1)
读取渐近线斜率
标准双曲线 的渐近线为 。
详细展开：已知其中一条斜率为 ，故 ，从而 。
(2)
计算 e=c/a
双曲线满足 。
详细展开：。离心率为正，故 ，选 A。
一、选择题 · 三角函数
若 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：复合函数与二倍角
解题过程
由复合函数关系求 f(cos x)
先确定 f 在 [-1,1] 上的表达式
(1)
把右端写成 sin x 的函数
使用 。
详细展开：。由于 能取遍 ，故对该区间任意 t 都有 。
(2)
代入 cos x 并化简
，可代入上式。
详细展开：，选 C。
一、选择题 · 数列
设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：等差数列前缀和比例
解题过程
由前缀和比例求另一比例
用首项、公差表示并消元
(1)
由 S3/S6 求首项与公差关系
设首项为 a、公差为 d。
详细展开：，。比例为 给出 ，交叉相乘得 ，所以 。
(2)
代入 S6 与 S12
用 消去尺度。
详细展开：，，所以 ，选 A。原比例有意义保证相关分母不为零。
一、选择题 · 函数最值
函数 的最小值为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：绝对距离和最小值
解题过程
求绝对值距离和的最小值
利用中位数最小化一维距离和
(1)
确定最优 x 是中位数
函数是点 x 到整数点 的距离总和。
详细展开：当 x 向右移动时，左侧距离增加、右侧距离减少；在中位数之前右侧点更多，总和下降，在中位数之后左侧点更多，总和上升。19 个点的唯一中位数是 10，因此最小值在 取得。
(2)
计算中位数处的距离和
把 10 左右等距的项配对。
详细展开：，选 C。
二、填空题 · 二项式定理
在 的展开式中常数项是______. (用数字作答)
答案：
题目标签：二项展开式常数项
解题过程
求二项展开式常数项
写通项并令 x 的指数为零
(1)
写出选择 k 个 1/x 的通项
从 10 个因子中选 k 个 。
详细展开：该项为 。
(2)
令指数为零
常数项的 x 指数等于 0。
详细展开：常数项不含 x，所以必须令通项中的总指数 等于 0，解得 。这个整数位于 的允许范围内，因此常数项确实存在，其系数为 。
二、填空题 · 解三角形
已知 的三个内角 成等差数列，且 ，则边 上的中线 的长为______.
答案：
题目标签：三角形中线
解题过程
求三角形中线长度
先由角成等差确定 B，再求第三边和中线
(1)
由内角等差确定中间角
A、B、C 成等差数列，所以 B 是中项。
详细展开：，又 ，故 ，即 。角 B 的两邻边是 、，由余弦定理得 。
(2)
使用中线公式
设 D 为 BC 中点，目标是从 A 到边 的中线。
详细展开：阿波罗尼斯公式给 ，因此 。
二、填空题 · 圆与直线
过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率 ______.
答案：
题目标签：圆中过定点最短弦
解题过程
求最小劣弧对应弦的方向
把弧角最小转为弦长最小，再最大化圆心到直线距离
(1)
确定最短弦经过点 P 的方向
圆心 、半径 2，点 满足 ，在圆内。
详细展开：过 P 的直线截圆所得弦长为 ，其中 d 是圆心到直线的距离。劣弧圆心角随弦长增大而增大，所以要使圆心角最小，应让弦长最小，即让 d 最大。过固定点 P 的直线到 O 的距离最大值为 OP，在直线垂直 OP 时取得。
l\perp OP
(2)
由垂直关系求斜率
直线 OP 的斜率为 。
详细展开：垂直直线斜率乘积为 -1，所以 ，得到 。
二、填空题 · 概率统计
一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在 (元) 月收入段应抽出______人.
答案：
题目标签：频率直方图与分层抽样
解题过程
由频率直方图确定分层抽样人数
读取柱高乘组距得到频率，再按比例抽样
(1)
读取目标收入段的频率
直方图纵轴是“频率/组距”，不是频率本身。
详细展开：区间 的组距为 500，柱高为 0.0005，所以该组频率为 ，即总体中约 25% 位于该收入段。
(2)
按分层比例确定样本数
分层抽样保持各层在总体中的比例。
详细展开：进一步调查抽取 100 人，因此该收入层应抽 人。也可先算总体该层约 2500 人，再按 1% 抽样率得到 25。
三、解答题 · 平面向量
已知向量 , , . (1) 若 ，求 ; (2) 求 的最大值.
答案：(1)-\frac\pi3；(2)3
题目标签：向量垂直与模的最值
解题过程
（1）由向量垂直求 θ
令点积为零并用辅助角求解
(1)
写出点积方程
等价于点积为零。
详细展开：。该式可化为 。
(2)
结合区间筛选解
给出 。
详细展开：在 内，只有 给出 ；相邻 k 值均超出区间。
（2）求向量和的模最大值
先求模平方并化为单一正弦
(1)
展开模平方
。
详细展开：模平方为 。
(2)
确定可达到的最大值
正弦最大值为 1。
详细展开：当 ，即 时可达到 1，且该 θ 在给定区间内。因此模平方最大为 9，模最大为 3。
三、解答题 · 概率统计
某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意取出 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品。 (1) 用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求 的分布列及 的数学期望； (2) 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.
答案：E\xi=\frac65，拒购概率\frac{17}{50}
题目标签：超几何分布与拒购概率
解题过程
（1）求抽检二等品数的分布列与期望
分别建立后两箱的超几何分布并卷积
(1)
求每箱抽到二等品数的分布
第一箱没有二等品，只需考虑第二、三箱。
详细展开：设第二、三箱抽到二等品数为 。第二箱 1 件二等品、4 件一等品，抽 2 件，故 、。第三箱 2 件二等品、3 件一等品，故 、、。两箱抽样独立，且 。
(2)
卷积得到 ξ 的分布与期望
按 合并互斥情形。
详细展开：得到 ，，，。概率和为 1。期望可由分布列计算，也可用线性性：。
（2）求拒绝购买概率
把规则翻译为 ξ≥2 并累加分布列
(1)
确定拒购事件
规则是抽到 2 件或 2 件以上二等品。
详细展开：由于 最大为 3，拒购事件是 ，两个事件互斥。
(2)
累加相应概率
从分布列取出两项。
详细展开：由分布列读出 、。这两个事件互斥，所以拒购概率等于两者之和；通分到 50 后有 、，因此 。
三、解答题 · 立体几何
如图，在直三棱柱 中，, 分别为 的中点。 (1) 证明： 为异面直线 与 的公垂线； (2) 设 ，求二面角 的大小.
答案：(1)见证明；(2)60^\circ
题目标签：直棱柱公垂线与二面角
解题过程
（1）证明 ED 是两异面直线的公垂线
用底面向量和侧棱向量表示中点
(1)
建立向量坐标
以 B 为原点，记 、、侧棱向量为 。
详细展开：直棱柱中 垂直底面，所以它与 u、v 都垂直；又 ，故 。点 ，而 是 A 与 C1 的中点，所以 ，从而 。
(2)
分别验证两组垂直
DE 位于底面方向，因此 。
详细展开：，故 。又 D 在 BB1 上、E 在 AC1 上，所以 ED 同时与两线垂直并连接两线，是公垂线。
（2）求二面角 A1-AD-C1
由长度条件建立正交坐标并比较平面法向量
(1)
选取满足长度条件的坐标
设 。由 及余弦定理知 。
详细展开：取 、、，并令侧棱高 。则 、、。
(2)
计算两个平面的夹角
平面 就是 ，可取法向量 。
详细展开：令 并约去公共尺度，、，可取平面 的法向量 。于是 ，所求锐二面角为 。
三、解答题 · 导数
设函数 . 若对所有的 , 都有 成立，求实数 的取值范围.
答案：a\le1
题目标签：函数不等式恒成立
解题过程
求恒成立不等式中的参数
证明临界斜率为 1，并用 x→0 给必要性
(1)
证明 a≤1 时充分
在 上凸。
详细展开：直接构造 ，有 ，，所以 。若 ，则对 有 ，故 。
(2)
由原点附近行为证明必要性
对 ，条件要求 。
详细展开：。若 ，可取充分小的正 x 使 ，从而 ，矛盾。因此 ，结合充分性得到 。
三、解答题 · 圆锥曲线
已知抛物线 的焦点为 , 、 是抛物线上的两动点，且 (). 过 、 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 . (1) 证明 为定值; (2) 设 的面积为 , 写出 的表达式，并求 的最小值.
答案：(1)0；(2)S=\frac12(\sqrt\lambda+1/\sqrt\lambda)^3，最小值4
题目标签：抛物线焦点弦与切线
解题过程
（1）证明 FM·AB 为定值
参数化抛物线并利用 F 分点条件
(1)
由向量比例求两个参数关系
抛物线 的焦点为 ，参数点写成 。
详细展开：设 、。由 ，比较横坐标得 ；比较纵坐标并代入，得到 ，因此 。
(2)
求切线交点并计算点积
参数 t 处切线为 。
详细展开：两切线联立得 。于是 ，而 。点积为 ，是与 λ 无关的定值。
（2）求三角形面积关于 λ 的表达式与最小值
用参数差求面积，再以 AM-GM 求最小
(1)
把面积写成参数差的三次方
由坐标行列式计算 。
详细展开：从 M 出发，，。行列式绝对值为 ，所以 。由 、，有 。
(2)
使用基本不等式求最小值
，所以可用 AM-GM。
详细展开：，当且仅当 ，即 时等号成立。因此 。
三、解答题 · 数列
设数列 的前 项和为 , 且方程 有一根为 , . (1) 求 ; (2) 求 的通项公式.
答案：a_1=\frac12，a_2=\frac16，a_n=\frac1{n(n+1)}
题目标签：前缀和根条件数列
解题过程
（1）求 a1、a2
把已知根代入方程并使用 S1=a1
(1)
化简根条件
将根 代入 。
详细展开：得到 ，后两项合并为 ，故核心关系为 。
(2)
依次代 n=1、2
当 n=1 时 。
详细展开： 给出 。再令 ，则 ，展开后得到 。
（2）求数列通项
把根条件转成 Sn 的递推并归纳求解
(1)
建立前缀和递推
用 代入核心关系。
详细展开：。消去 后得 ，即 。
(2)
归纳得到 Sn 和 an
由 观察到 。
详细展开：若 ，则递推给 ，归纳成立。因此 。