exams_raw/普通高考/2006/2006上海文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、填空题 · 集合
答案：
题目标签：集合子集参数
让 B 的每个元素都出现在 A 中
是 A 的子集，意味着 3、4 都必须属于 A。
详细展开：A 已经含有元素 3，而另外两个元素是 -1 和 m。由于 4 不等于 -1，也不等于 3，唯一可能是由参数项提供 4，即 。
将 m=4 代回原集合，检查子集定义是否逐项满足。
详细展开：此时 ，其中既有 B 的元素 3，也有 B 的元素 4，因此 的每个元素都属于 A。若 m 取其他数，A 中就缺少 4，所以答案合法且唯一。
一、填空题 · 直线
答案：
题目标签：平行直线参数
比较一般式法向量比例
两条一般式直线平行时，x、y 系数成比例。
详细展开： 的法向量为 ， 的法向量为 。平行要求 ，因此 。
还要确认题意中的两条直线不是同一直线。
详细展开：当 a=2 时，前两项系数比例为 1/2，但常数项比例 不等于 1/2，所以两直线不重合，确为平行的两条不同直线。
一、填空题 · 函数
答案：
题目标签：指数函数反函数
交换坐标回到原函数
反函数图象经过 。
详细展开：交换横纵坐标可知原函数 的图象经过 ，即 。不能把点直接代成 。
由倒数方程直接求 a，并核对指数函数的底数限制。
详细展开： 两边乘 a 得 ，所以 。该数为正且不等于 1，满足指数函数底数条件；同时 ，回代原点条件也成立。
一、填空题 · 极限
答案：
题目标签：无穷数列极限
同除最高次幂读取首项系数比
分子 ，分母为 。
详细展开：当 时，三次项决定主要增长速度。为严格计算，可将分子分母同除以 ，得到 。
、 都趋于 0。
详细展开：因此极限为 。分母极限 6 非零，所以商的极限定理可以直接使用。
一、填空题 · 复数
答案：
题目标签：纯虚数与复数模
先令实部为零，再计算虚部绝对值
纯虚数要求实部为 0，且本题最终虚部确实非零。
详细展开： 的实部为 ，令其等于 0 得 。代回后虚部系数是 。
复数 的实部为 0、虚部为 3，对应复平面点 。
详细展开：按复数模公式 ，有 。模表示点到原点的距离，必为非负实数，所以不能取 -3。
一、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：三角函数周期
用二倍角化为单一正弦
。
详细展开：因此 。系数 1/2 只改变振幅，不改变周期；真正决定周期的是自变量前的角频率 2。
的最小正周期为 。
详细展开：这里 ，所以 。振幅系数非零，不会使函数退化为常数。
一、填空题 · 圆锥曲线
答案：
题目标签：双曲线标准方程
用 a=3 与 c:b=5:4 解参数
顶点 表明双曲线实轴在 x 轴上且 。
详细展开：焦距为 ，虚轴长为 ，二者比 5:4 等价于 。设 。
双曲线满足 。
详细展开：，所以 ，取正长度得 ，于是 。标准方程为 。
一、填空题 · 函数
答案：
题目标签：对数方程
先写定义域，再合并对数并筛根
两个对数真数都必须为正。
详细展开： 且 ，合并得 。又 ，所以原方程等价于 。
移项得到 。
详细展开：因式分解为 ，候选根 5、-2。只有 满足定义域，负根必须舍去，因此答案为 5。
一、填空题 · 线性规划
答案：
题目标签：线性规划最大值
确定可行三角形并比较顶点
边界为 、 与坐标轴。
详细展开：两斜线交于 ； 与 x 轴交于 ； 与 x 轴交于 。结合两个不等号方向，可行域是这三个顶点围成的三角形。
线性函数在多边形上的最大值可在顶点中取得。
详细展开：分别代入 ，在三个顶点得到 ，所以最大值为 0，在 处取得。旧数据中的 1 不满足顶点计算。
一、填空题 · 概率
答案：
题目标签：组合概率
用无序组合数计算样本空间
12 名同学中任取 2 名，顺序不影响结果。
详细展开：所有等可能的两人组共有 个。这里不能用 ，因为同一人不能重复且两人无先后顺序。
两人都是女生时，只能从 8 名女生中选 2 名。
详细展开：有利组数为 ，所以概率为 。分子分母同时除以 2 即得最简分数。
一、填空题 · 函数
答案：
题目标签：指数曲线与水平线
先求曲线纵坐标的值域
等价于上下两条曲线。
详细展开：因为 ，所以 。上支 的值域是 ；下支 的值域是 。
直线 有交点当且仅当 b 属于曲线纵坐标值域。
详细展开：因此无公共点时 必须落在其补集 。端点 b=±1 也没有交点，因为指数函数不可能等于 0；旧数据写成开区间会错误排除这两个合法端点。
一、填空题 · 平面几何
答案：
题目标签：距离坐标点数
把到直线定距转成平行线交点
到一条直线距离等于正数 p 的点构成该直线两侧的两条平行线。
详细展开：因此到 距离 1 的点在两条平行于 的直线上；到 距离 2 的点在两条平行于 的直线上。由于原直线相交，两组平行线的方向也不同。
第一组每条线都与第二组每条线相交一次。
详细展开：两种侧向选择彼此独立，共有 个交点；每个交点恰好对应一种距离坐标 ，因此点数为 4。
二、选择题 · 平面向量
答案：C
题目标签：平行四边形向量
统一用 AB、AD 作基底
设 。
详细展开：平行四边形中 ，所以 A 正确；，所以 B 正确；，故 ，D 也正确。
。
详细展开：而 ，所以左边等于 DB，不是题目所写的 BD； 与它方向相反。因此错误结论是 C。
二、选择题 · 不等式
答案：A
题目标签：异号实数不等式
利用倒数的符号直接比较
给出 ， 给出 。
详细展开：任意负数都小于任意正数，因此必有 ，选项 A 对所有满足条件的 a、b 恒成立。
其余选项都依赖 与 b 的具体大小。
详细展开：例如取 ，B、C 不成立；取 ，D 不成立。因此只有 A 是由符号条件必然推出的不等式。
二、选择题 · 立体几何
答案：A
题目标签：异面直线条件关系
比较空间直线异面和平行两种无交
异面直线定义为不在同一平面内的两条直线，它们既不相交，也不平行。
详细展开：若两直线有公共点，则两直线会确定一个平面，从而不可能异面。因此两直线异面时必然没有公共点，“异面”足以推出“无公共点”，是后者的充分条件。
同一平面内两条不同的平行直线没有公共点。
详细展开：它们满足“无公共点”，却不是异面直线，因此无公共点不能反推异面，异面不是必要条件。综上是充分非必要条件，选择 A。
二、选择题 · 立体几何
答案：D
题目标签：正方体正交线面对计数
按六个面与六个对角面分类
先取含四个顶点的面为正方体的一个表面。
详细展开：对每个表面，有 4 条由对应顶点连接到相对表面的棱垂直于该面，因此得到 4 个正交线面对。6 个表面共贡献 个。线与不同平面组成不同的有序对象，应分别计数。
除六个表面外，正方体还有 6 个包含四顶点的对角矩形平面。
详细展开：每个对角面有 2 条由顶点确定的面对角线方向与它垂直，因此贡献 个。含四顶点的平面只有表面与这两类对角面，故总数为 ，选择 D。
三、解答题 · 三角函数
答案：
题目标签：第一象限三角求值
由第一象限余弦求正弦并化简
且 α 在第一象限，所以正弦取正。
详细展开：。于是 。
余弦以 为周期，所以可去掉 。
详细展开：。分子除以该值，得 。
三、解答题 · 解三角形
答案：北偏东71°
题目标签：航海方位角
建立东西北坐标并计算方向正切
取东为 x 轴正向、北为 y 轴正向，并令 A 为原点。
详细展开：渔船 。C 在 A 的南偏西 、距离 10 处，所以向西分量为 ，向南分量为 ，故 。
从 C 到 B 的位移为 。
详细展开：该向量东、北分量都为正，方向确为北偏东。若角度 θ 从北向东量，则 ，所以 ，精确到 为 。
三、解答题 · 立体几何
答案：45^\circ，\frac{\sqrt2}{6}
题目标签：直三棱柱异面角与体积
用棱柱平行棱转化为底面角
直三棱柱对应棱互相平行。
详细展开：，所以异面直线 与 AC 所成角，等于底面中 BC 与 AC 所成的锐角，即 。
且 。
详细展开：三角形 ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，因此两个锐角 A、C 均为 ，所求异面角为 。
由线面角求棱柱高，再用底面积
在底面的垂足是 A，所以 A1C 在底面的投影为 AC。
详细展开：线面角等于 。三角形 在 A 处直角，底面斜边 ，故 ，得到 。
三棱锥 的底面是直角三角形 ABC。
详细展开：，高为 ，所以 。
解答题 · 数列
答案：a_n=2^{12-n}；从第46项起
题目标签：前缀和条件数列
相邻 n 条件相减得到等比递推
对 n=1，。
详细展开：，故 。对 ，将 n 与 n-1 的等式相减：，而 ，故 。
数列首项 、公比 1/2。
详细展开：。代回可验证 ，从而原条件恒成立。
求对数项等差和并解二次不等式
由 可直接取以 2 为底的对数。
详细展开：，所以 。
解严格不等式 。
详细展开：等价于 。正根在 45 与 46 之间；直接核对 不满足，。之后二次式继续下降，因此从第 46 项起恒满足。
解答题 · 圆锥曲线
答案：(1)\frac{x^2}{4}+y^2=1；(2)见解析；(3)\sqrt2
题目标签：椭圆仿射轨迹与面积
由顶点求 a、焦点求 c
右顶点 D(2,0) 表明长轴在 x 轴且 。
详细展开：左焦点为 ，所以 。椭圆参数满足 。
。
详细展开：因此椭圆标准方程为 。焦点确为 ，与题设一致。
用中点坐标反解 P 并代入椭圆
设 、，A 固定为 。
详细展开：中点公式给 ，所以 。这一变换是一一对应的。
P 在原椭圆上。
详细展开：代入得 ，化为 。由于每个椭圆点 P 都对应唯一中点，轨迹无额外删点。
利用 B、C 关于原点对称并最大化线性式
过原点的直线与中心椭圆交于相反两点。
详细展开：设 ，则 。面积 。这样无需另求底和高。
令 。
详细展开：。正弦可以取 ±1，对应点在椭圆上，所以等号可达，最大面积为 。
解答题 · 函数
答案：b=4；其余见解析
题目标签：反比例和函数单调性
把给定转折点等于参数平方根
函数 中参数 a 等于 。
详细展开：题给单调性在 x=4 处由减转增，而一般性质的转折点是 ，所以 。
把等式两边统一写成底数 2 的幂，再比较指数。
详细展开：，指数函数在实数上严格单调，所以 ，进而 。代回得 ，其正平方根确为 4，与题给的两个单调区间分界点完全一致。
利用转折点在区间内并比较端点
，所以 ，恰在定义区间内。
详细展开：由已知性质，函数先减后增，在 处取得最小值 。
先减后增函数在闭区间的最大值只能在端点取得。
详细展开：，；二者之差为 。故 时最大值为 ， 时最大值为 ，在 c=2 时两式同为 3。
求导并由 x2n-c 的符号判断
研究正数定义域 上的 。
详细展开：。前因子 ，所以导数符号完全由 决定。
方程 在 x>0 上唯一解为 。
详细展开：当 时导数为负，函数递减；当 时导数为正，函数递增。因此在 上减，在 上增，并在转折点取最小值 。