exams_raw/普通高考/2006/2006上海理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、填空题 · 集合
答案：m=-√3,1,√3
题目标签：子集关系中的参数
逐一匹配参数元素并保留所有实数解
集合 B 中的 3 已经出现在 A 中，只需继续处理参数元素 。
详细展开：由 ， 必须等于 A 的三个元素之一，即 、3 或 。因为 m 为实数，所以 无实数解；其余两种可能都要分别求解，不能只看含 m 的那一项。
求出每个分支的实根，再逐个代回集合检查。
详细展开：方程 给出 ；方程 化为 ，给出 。三者代回时， 分别等于 3、3、1，而 或固定元素确能容纳它，因此三个值全部合法。
一、填空题 · 解析几何
答案：√2/2
题目标签：圆心到直线距离
先配方读圆心，再代点线距离公式
将 x 的二次项和一次项配成完全平方。
详细展开：，所以原方程化为 。标准圆方程的圆心由括号中平移量读出，因此 ；半径虽为 ，本题并不需要使用。
直线一般式为 ，系数分别是 1、-1、-1。
详细展开：点 到 的距离是 。代入 P 得分子 ，分母 。
一、填空题 · 函数
答案：1/2
题目标签：指数函数反函数
交换对应点坐标并回到原函数
反函数图象与原函数图象关于直线 对称。
详细展开：因此反函数图象经过 ，等价于原函数 的图象经过 。用关系式写就是 ，从而得到 。
倒数方程给出唯一正数解。
详细展开：由 得 。该数满足指数函数底数限制 且 ，同时 ，所以代回原函数和反函数条件都成立。
一、填空题 · 极限
答案：1/6
题目标签：组合数极限
展开组合数并同除最高次幂
先使用组合数公式消去符号 。
详细展开：。因此分子最高次项是 ，分母 的最高次项是 ，二者次数相同。
分子分母同除以 ，低阶项会趋于零。
详细展开：归一化后得到 。当 时，、、 全部趋于 0，所以极限就是最高次项系数之比。
一、填空题 · 复数
答案：
题目标签：共轭复数方程
设代数形式并分别比较实部虚部
设 ，其中 x、y 为实数，则 。
详细展开：于是 。题设给出 ，比较虚部系数得到 ，所以 z 暂时可写成 。
将 代入 ，再比较实部和虚部。
详细展开：此时 ，而 。实部相等给出 ，虚部相等也给出 ，两者一致，因此 z 唯一确定。
一、填空题 · 三角函数
答案：2√6/5
题目标签：第四象限诱导公式
先确定正弦符号，再用诱导公式
基本关系给出正弦的绝对值，象限决定其符号。
详细展开：，故 。由于 α 是第四象限角，正弦为负，所以 。
把目标角直接代入和角公式。
详细展开：。代入上一步的负正弦，负负得正。
一、填空题 · 圆锥曲线
答案：x²/16+y²/4=1
题目标签：椭圆标准方程
读取 c 与 a:b，再用参数关系
焦点在 x 轴上，所以椭圆长轴沿 x 轴。
详细展开：焦点 给出 。长轴长是短轴长的 2 倍，即 ，约去长度中的 2 后得到 。
椭圆参数满足 。
详细展开：代入 得 ，所以 、。长轴在 x 轴，较大分母 16 放在 下。
一、填空题 · 极坐标
答案：
题目标签：极坐标三角形面积
求两极径夹角的正弦绝对值
点 A、B 到极点 O 的距离分别等于极径 4、5。
详细展开：两条射线的有向角之差是 。三角形面积只需要夹角正弦的绝对值，因此即使取较小夹角 ，也有同样的 。
已知三角形两边及夹角，可直接使用 。
详细展开：代入 、 和正弦绝对值 ，得到 。面积必须为正，因此不能保留 的负号。
一、填空题 · 概率
答案：1/35
题目标签：小说分卷排列概率
按全排列计数并区分两部小说
八卷书彼此不同，任意排成一排对应八个对象的全排列。
详细展开：全部排列共有 种。事件只规定左边四个位置的归属，没有固定同一部小说是哪一部，因此要先在两部小说中选一部，再排列其四卷和另一部的四卷。
选定左侧所属小说后，左右各自的四卷都可任意排列。
详细展开：有利排列数为 ，所以概率 。利用 ，可快速化为 。
一、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：正方体正交线面对计数
按表面和对角面两类计数
先把含四个顶点的平面取为正方体的一个表面。
详细展开：对每个表面，连接对应顶点到相对表面的 4 条棱都垂直于该平面，因此每个表面产生 4 个正交线面对。正方体有 6 个表面，这一类共有 个。
含四个顶点的平面还包括 6 个对角矩形平面。
详细展开：每个对角面都有 2 条由顶点确定的直线垂直于它，因此这一类贡献 个。两类平面已经覆盖所有含四顶点的平面，总数为 。
一、填空题 · 函数与方程
答案：k=0,-1<b<1
题目标签：直线与曲线无交
先证明非水平线必交，再处理水平线
把直线代入曲线，考察连续函数的符号变化。
详细展开：设 。当 时，取直线与 x 轴交点 ，有 ；而当 时，二次项 压过 ，故 。连续性保证至少出现零点，也就出现公共点。
无公共点只可能发生在 ，此时直线为 。
详细展开：代入曲线得到 。右边的最小值是 1，并且在 取得，所以当且仅当 时无解；若 ，恰在原点处有交点，端点不能包含。
一、填空题 · 不等式
答案：a≤10
题目标签：恒成立不等式参数
除以正变量并求分段函数最小值
区间 上 x 始终为正，可以安全地把不等式除以 x。
详细展开：原式等价于 对每个 x 都成立。因此 a 的最大允许值是函数 在给定区间上的最小值。绝对值在 x=5 处改变符号。
分别研究 和 上的单调性。
详细展开：前段 ，导数 ，因为 在 恒正；后段 ，导数 ，在 x=5 已为 5 且继续增大。因此全局最小值为 。
二、选择题 · 平面向量
答案：C
题目标签：平行四边形向量
统一用两条邻边作为基底
设 、，把所有向量写成 u、v 的组合。
详细展开：平行四边形对边同向等长，所以 ，A 正确；对角线 ，B 正确；又 ，故 ，D 也正确。
剩余的 C 项关键在于 与 方向相反。
详细展开：，而 。所以左边实际等于 DB，不等于题目写的 BD； 恰是其相反向量。
二、选择题 · 立体几何
答案：A
题目标签：空间四点共面条件
证明三点共线可推出共面，再构造反例
若四点中有三点共线，先取这三点所在的直线。
详细展开：若第四点不在该直线上，则一条直线和线外一点唯一确定一个平面，四点都在该平面内；若第四点也在线上，则经过该直线的任一平面都包含四点。因此“三点共线”总能推出“四点共面”。
四点共面并不要求其中出现三点共线。
详细展开：例如取同一平面内一个平行四边形的四个顶点，它们当然共面，但任意三个顶点都不在同一直线上。这给出“结论真而条件假”的反例，所以条件不是必要条件。
二、选择题 · 不等式
答案：A
题目标签：含参数不等式解集
先写通用上界，再分别代入 0 和 2
系数 对任意实数 k 都严格为正，因此可直接除去。
详细展开：不等式等价于 ，所以 M 是从负无穷延伸到该上界的区间。要判断固定数是否总在 M 中，只需把它代入原不等式验证，而不必求上界的精确最小值。
代入 0 显然成立；代入 2 后把差整理成平方。
详细展开： 时左边为 0、右边 。 时需证 ，移项得 ，所以也对所有 k 成立。
二、选择题 · 平面几何
答案：D
题目标签：距离坐标点数
把定距轨迹看成平行线并按零值分类
到一条直线的距离为零，等价于点就在该直线上。
详细展开：当 时，点同时在 上，只能是交点 O，命题①正确。若恰有一个距离为零，例如 ，点被限制在 上；沿 在 O 两侧各有一个到 距离为 q 的点，共 2 个，命题②正确。
到直线 距离 p 的轨迹是其两侧两条平行线，到 距离 q 的轨迹同理。
详细展开：由于 相交，两组平行线方向不同。第一组的每一条都与第二组的每一条相交一次，两侧选择彼此独立，因此共有 个交点，命题③也正确。
三、解答题 · 三角函数
答案：[-2,2]；π
题目标签：三角函数值域与周期
积化和差后合成为单一正弦
使用 。
详细展开：取 、，则 、。因此乘积项化为 ，原函数成为 。
把同角的正弦余弦合成为振幅为 2 的正弦函数。
详细展开：。故值域为 ，角频率为 2，最小正周期为 。
三、解答题 · 解三角形
答案：北偏东71°
题目标签：航海方位角
建立东-北坐标并计算方向正切
取 A 为原点、东为 x 轴正向、北为 y 轴正向。
详细展开：渔船 B 在正东 20 海里处，故 。C 在 A 的南偏西 、距离 10 海里处，西向分量为 ，南向分量为 ，所以 。
乙船的位移向量是 。
详细展开：东、北分量均为正，所以方向是北偏东。若从北向东量角 θ，则 ，从而 ；按题意精确到 ，四舍五入为 。
三、解答题 · 立体几何
答案：2；arccos(√2/4)
题目标签：四棱锥体积与异面角
由线面角求高，再乘菱形底面积
菱形边长为 2、夹角为 ，先求底面积和对角线半长 OB。
详细展开：底面积 。菱形较短对角线 ，O 是对角线中点，所以 。PB 在底面上的正射影就是 BO。
直角三角形 POB 中， 就是 PB 与底面的线面角 。
详细展开：，而 ，故 。四棱锥体积为底面积乘高的三分之一，即 。
建立以菱形对角线为轴的空间坐标系
利用菱形对角线互相垂直且 O 为中点，令 O 为原点。
详细展开：可取 ，这时边长均为 2 且 。又 ，故 ；E 是 PB 中点，所以 。
异面直线夹角等于其方向向量夹角的锐角。
详细展开：，。点积绝对值为 ，两向量模分别为 、，故夹角余弦为 。
解答题 · 解析几何
答案：点积为3；逆命题为假
题目标签：抛物线割线点积命题
用 y 作参数写直线并利用韦达定理
与抛物线有两个不同交点的非水平直线可写成 ，该形式也包含竖直线 。
详细展开：把它代入 ，交点 A、B 的纵坐标 满足 。由韦达定理，；相应横坐标由抛物线方程给出 。
位置向量 、。
详细展开：点积为 。代入 ，得到 ，与割线参数 m 无关，命题得证。
构造点积为 3 但不过 T 的割线
交换原命题的条件和结论，题设中的抛物线及两交点背景保持不变。
详细展开：逆命题为：若直线 l 与抛物线 交于 A、B 两点，并且 ，那么直线 l 经过点 。要否定它，只需找到一个满足点积条件但不过 T 的割线。
取直线 ，它的 x 轴截距为 -1，显然不过 。
详细展开：代入抛物线得 ，即 ，有两个不同实根 ；相应 。于是 、，点积恰为 3。
解答题 · 数列
答案：见解析；k=2,3,4,5,6,7
题目标签：递推等比数列与绝对偏差
先算前项识别规律，再用归纳法证明
题设 ，而 。
详细展开：，显示公比可能为 a。若假设前 n 项满足 ，则 ；题设 a>1 保证分母非零。
将归纳假设得到的前 n 项和代回原递推。
详细展开：，正好是通项在 n+1 时的形式。由归纳法，，相邻项之比恒为 a，因此数列是等比数列。
把乘积化为指数和再取对数
由上一问 ，逐项相乘时 2 的因子数和 a 的指数和要分别统计。
详细展开：。取以 2 为底的对数得到 。
题设 ，因此 。
详细展开：按 的定义再除以 n，得到 。通分后为 ，适用于 ；代 n=1 得 1，与 一致。
利用数列关于 3/2 对称并求奇数和
将通项减去 ，统一到分母 。
详细展开：。当 n 从 1 到 2k 时，分子的绝对值依次为 ，左右完全对称。
前半段正奇数之和 ，整列出现两份。
详细展开：绝对值和为 。不等式给出 ，即 ；两根为 。结合整数 ，得到 。
解答题 · 函数
答案：b=log₂9；其余见解析
题目标签：反比例和函数推广
把最小值写成两倍几何平均
题给性质表明函数在 处由减转增，因此该点取得全局最小值。
详细展开：也可由基本不等式验证：，等号在 时成立。值域下端为 6，所以 。
由 两边取以 2 为底的对数。
详细展开：得到 ，所以 。代回时 ，函数最小值确为 ，与给定值域一致。
求导并按零点及定义域断点列表
函数定义域是 ，零点处不能跨越讨论。
详细展开：。令导数为零得到 ，实临界点为 ；再与定义域断点 0 一起将数轴分成四段。
分别判断分子 与分母 的符号。
详细展开：可得导数在 、 为负，在 、 为正。因此函数在前两段递减，在后两段递增，临界端点可并入相应闭端。
推广到任意正整数幂并把展开式配成倒数对
令正整数 ，考虑 ，其中 。
详细展开：它在 m=1、2 时分别就是题给的两个函数。由求导或令 使用已知性质，可得转折点满足 ，即 ；函数在左侧递减、右侧递增。
用二项式展开，并把指数相反的两项按同一组合系数配对。
详细展开：。每一对都是 的形式，在 上随 x 增大而不减，并关于 对称。因此 F 在 x=1 最小，在 x=2 和 x=1/2 最大。