exams_raw/普通高考/2007/2007北京文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 三角函数
答案：C
题目标签：三角函数符号与象限
化简乘积并读取正弦符号
先利用正切的商式消去余弦。
详细展开：题设乘积有意义，所以 。于是 ，原条件等价于 。
正弦是单位圆上点的纵坐标。
详细展开：纵坐标为负的点位于第三、第四象限；坐标轴上的角不满足严格小于零，且余弦为零的角原式无意义。因此应选第三或第四象限，即 C。
一、选择题 · 函数
答案：B
题目标签：反函数定义域
先求原函数值域
反函数的定义域等于原函数的值域。
详细展开：指数函数 的底数大于 1，故在实数上严格递增；限制到 后，函数值随 x 从 0 的右侧增加到 2。
左端点不取，右端点可取。
详细展开：当 时 ，但 不在定义域，所以 1 不取；当 时函数值为 9，可以取到。因此值域即反函数定义域为 ，选择 B。
一、选择题 · 三角函数
答案：B
题目标签：三角函数周期
合并同频正弦余弦
两项具有相同角频率 2，可用辅助角公式合并。
详细展开：利用 ，令 ，得到 。振幅与相位平移都不改变周期。
的最小正周期是 。
详细展开：这里角频率 ，所以 。函数并非常值函数，因此这就是最小正周期，选择 B。
一、选择题 · 圆锥曲线
答案：D
题目标签：椭圆离心率范围
把所有长度统一为 a、c
设椭圆半焦距为 c，离心率 。
详细展开：两焦点为 ，故 ；两准线为 ，与 x 轴交点的距离为 。
把长度条件代入并用 化简。
详细展开： 给出 ，即 。椭圆又满足 ，所以 ，选择 D。
一、选择题 · 排列组合
答案：A
题目标签：牌照排列计数
字母与数字分步相乘
题目只限制四个数字互不相同，没有说字母不同。
详细展开：第一个字母有 26 种选择，第二个字母仍有 26 种选择，故字母部分共有 种。
四个有顺序的位置填互不相同的数字。
详细展开：从 0 至 9 中依次选 4 个不同数字，数量为排列数 。字母选择与数字选择独立，乘法原理得总数 ，选择 A。
一、选择题 · 线性规划
答案：C
题目标签：线性不等式区域
考察水平边与两条竖边的交点
原区域满足 且 。
详细展开：两条竖线 之间，上界是斜线 ，下界是水平线 。要非空，水平线至少应在斜线上界的某些位置之下。
三角形出现于水平线与斜线在竖条内部或左端相交。
详细展开：交点横坐标由 得 。若 ，交点落在 ，区域由水平边、斜边和 构成三角形； 时为四边形， 时退化， 为空。因此选择 C。
一、选择题 · 立体几何
答案：D
题目标签：平面平行判定
逐项检查充分条件
平面平行的判定必须控制平面内至少两条相交直线的方向。
详细展开：A 中只给一对线平行，平面仍可能相交；B、C 中两条线在各自平面内可能平行，不能提供两个独立方向，甚至相交平面也能满足这些关系，所以都不足以推出两平面平行。
D 给出的两条直线在各自平面内相交，并交叉对应平行。
详细展开：若平面 α 内相交直线 a、b 分别平行于平面 β 内相交直线 c、d，则 α 与 β 具有相同的两个独立方向。两平面又不重合，故必平行。因此 D 是充分条件。
a\parallel c,\ b\parallel d,\ a\cap b\ne\varnothing,\ c\cap d\ne\varnothing\Longrightarrow\alpha\parallel\beta
一、选择题 · 函数
答案：C
题目标签：函数对称与单调
逐个函数检验两个性质
性质甲要求把图象横移 2 后得到偶函数。
详细展开：①有 ，不是偶函数；②有 ，是偶函数；③有 ，也是偶函数。因此满足甲的是②、③。
性质乙要求以 x=2 为谷底，左减右增。
详细展开：②的 在 递减、 递增，满足乙；③的余弦函数在两侧并不全局单调，①的谷底在 。所以同时满足甲、乙的只有②，选择 C。
二、填空题 · 导数
答案：
题目标签：导数与切线斜率
求导后代入横坐标
切线斜率等于函数在切点处的导数。
详细展开：对 逐项求导，得到 ；常数项导数为零。
点 的横坐标是 -1。
详细展开：把 代入导函数，，所以曲线在 P 点处切线的斜率为 3。
二、填空题 · 数列
答案：an=2n-11
题目标签：由前 n 项和求通项
使用相邻两和作差
由前 n 项和求通项时先算 。
详细展开：。首项需要单独检查，因为 的公式通常先对 使用。
对 ，有 。
详细展开：展开得 。代入 也得到 -9，与首项一致，故可统一写为 。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：向量垂直求参数
把垂直转为点积为零
先按坐标计算 。
详细展开：由 ，得到 。
两个非零方向垂直等价于点积为零。
详细展开：。令其为零，得 。
二、填空题 · 解三角形
答案：√10/2
题目标签：正弦定理解三角形
先求 sinA 再用正弦定理
三角形内角 A 为锐角，且 。
详细展开：可取直角三角形两直角边为 1、3，斜边为 ，从而 。又 ，故 。
对应角 A， 对应角 C。
详细展开：由 ，代入 得 。
二、填空题 · 三角函数
答案：7/25
题目标签：拼图与二倍角
建立两直角边的和差关系
设图中直角三角形两直角边为 ，斜边为外方形边长 5。
详细展开：中央小正方形边长等于两直角边之差，故 ；勾股定理给 。由 ，而 ，得 ，所以 。
由图中角 θ 可取 。
详细展开：。
二、填空题 · 函数
答案：1；1
题目标签：复合函数查表
严格按复合顺序查表
复合函数先算中括号内的 。
详细展开：由表读得 ，再查 f 表得 ，因此 。
先找哪些 f 值送入 g 后等于 2。
详细展开：由 g 表只有 ，故必须 。再查 f 表，只有 ，所以 。
三、解答题 · 集合与不等式
答案：(-1,3)，[0,2]；a>2
题目标签：集合包含与参数
解不等式并比较区间
先把两个分式不等式化成区间。
详细展开：当 时， 在零点 3 与无定义点 -1 之间成立，所以 。而 在两零点之间成立，故 。
一般 时， 的解集为 。
详细展开：要让闭区间 全部包含在开区间 中，右端点 2 必须满足 ；等号时 2 是分子零点而不属于 P。因此参数范围为 。
三、解答题 · 数列
答案：an=n²-n+2
题目标签：二阶差分数列
先求公差再写通项
二阶差分恒为常数 c，所以一阶差分构成首项为 c、公差为 c 的等差数列。
详细展开：由 得 ，再由 得 。前三项成等比数列等价于 。
解等比中项方程，并使用公比不为 1。
详细展开：展开得 ，故 或 2。若 ，三项全为 2，公比为 1，不合题意，故 。于是 。
三、解答题 · 立体几何
答案：见证明；arccos(√6/4)
题目标签：直二面角与异面直线角
用二面角建立空间坐标关系
直角三角形 AOB 中 。
详细展开：由 30° 直角三角形得 。旋转保持长度与直角，所以 且 ；直二面角 B-AO-C 的平面角是 ，故 。
OC 同时垂直平面 AOB 内相交直线 AO、OB。
详细展开：因此 平面 AOB。直线 OC 又位于平面 COD 中，所以包含一条垂直于平面 AOB 的直线的平面 COD 与平面 AOB 垂直。
建立坐标并计算方向向量夹角
取 O 为原点，分别沿 OA、OB、OC 建立互相垂直的坐标轴。
详细展开：可设 。D 是 AB 中点，所以 。
AO 的方向可取单位 x 轴方向。
详细展开：，其在 AO 方向的分量绝对值为 。故异面直线 AO 与 CD 所成锐角 θ 满足 。
三、解答题 · 概率
答案：A(10,6)/10⁶；729/50000
题目标签：独立下车概率
用排列数除以全部选择数
列车除始发站外共有 10 个可下车站，每人等可能选择。
详细展开：6 人独立选择目的地，全部有序结果数为 。人员有区别，因此不能用无序组合表示样本点。
六个目的地互不相同，相当于给六个有区别的人分配不同站。
详细展开：依次有 种选择，有利结果数 ，所以概率为 。
使用二项分布
终点是 10 个目的地中的一个。
详细展开：每个人在终点下车的概率是 ，不在终点下车的概率是 ，且六人的选择彼此独立。
从六人中选出恰好三人到终点。
详细展开：有 种选法，每一种的概率为 ，因此 。
三、解答题 · 解析几何
答案：3x+y+2=0，(x-2)²+y²=8；双曲线左支
题目标签：矩形外接圆与动圆轨迹
由斜率垂直确定边线，再求中心半径
矩形相邻边互相垂直，且 AD 经过点 T(-1,1)。
详细展开：直线 AB 的方程为 ，斜率是 ，所以 AD 斜率为 -3。由点斜式 ，整理得 。
先联立 AB、AD 得顶点 A，再用对角线中点 M 作圆心。
详细展开：联立两直线得 。矩形外接圆圆心是对角线交点 ，半径平方 ，故圆方程为 。
把外切条件识别为双曲线距离差
设动圆圆心为 P，因过 N(-2,0)，其半径为 PN。
详细展开：固定圆圆心为 、半径为 。两圆外切时圆心距等于半径和，故 ，即 。
M、N 是相距 4 的两个定点，距离差为常数。
详细展开：双曲线焦点为 ， 得 ，，所以 。因 ，P 更靠近 N，取左支 。
三、解答题 · 导数与解析几何
答案：k>2√2；(-∞,0)；OM=ON
题目标签：抛物线交点与切线截距
把交点问题转为二次方程根
联立直线 与抛物线 。
详细展开：交点横坐标满足 。要有两个不同交点，判别式 ；又两根乘积为 2、和为 k，要两根非负只能取 。
正根条件与判别式条件共同限制 k。
详细展开：由 与 合并，得到 。此时两根均为正且不同，满足非负半轴上有两个交点。
用切点横坐标参数化
设较小交点的横坐标为 ，则 。
详细展开：抛物线在横坐标 x 处的切线为 。令 得横截距 ，故 M 的横坐标为 。
在正半轴严格递增。
详细展开：。当 时 ；当 时 。两个端点都不取，所以 M 的横坐标范围是 。
利用两根乘积构造相反数
设两交点横坐标为 。
详细展开：由交点二次方程的韦达定理，，所以 。两个切线横截距分别是 。
把 代入第二个截距。
详细展开：。M、N 都在 x 轴上，所以 ，由绝对值相等得到 。