exams_raw/普通高考/2007/2007北京理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 三角函数
答案：C
题目标签：三角函数符号与象限
化简乘积并读取正弦符号
先利用正切的商式消去余弦。
详细展开：题设乘积有意义，所以 。于是 ，原条件等价于 。
正弦是单位圆上点的纵坐标。
详细展开：纵坐标为负的点位于第三、第四象限；坐标轴上的角不满足严格小于零，且余弦为零的角原式无意义。因此应选第三或第四象限，即 C。
一、选择题 · 函数
答案：B
题目标签：反函数定义域
先求原函数值域
反函数的定义域等于原函数的值域。
详细展开：指数函数 的底数大于 1，故在实数上严格递增；限制到 后，函数值随 x 从 0 的右侧增加到 2。
左端点不取，右端点可取。
详细展开：当 时 ，但 不在定义域，所以 1 不取；当 时函数值为 9，可以取到。因此值域即反函数定义域为 ，选择 B。
一、选择题 · 立体几何
答案：D
题目标签：平面平行判定
逐项检查充分条件
平面平行的判定必须控制平面内至少两条相交直线的方向。
详细展开：A 中只给一对线平行，平面仍可能相交；B、C 中两条线在各自平面内可能平行，不能提供两个独立方向，甚至相交平面也能满足这些关系，所以都不足以推出两平面平行。
D 给出的两条直线在各自平面内相交，并交叉对应平行。
详细展开：若平面 α 内相交直线 a、b 分别平行于平面 β 内相交直线 c、d，则 α 与 β 具有相同的两个独立方向。两平面又不重合，故必平行。因此 D 是充分条件。
a\parallel c,\ b\parallel d,\ a\cap b\ne\varnothing,\ c\cap d\ne\varnothing\Longrightarrow\alpha\parallel\beta
一、选择题 · 平面向量
答案：A
题目标签：中点向量关系
用中点向量表示 OD
D 是 BC 的中点，可直接写出其位置向量。
详细展开：以 O 为参考点，中点公式给 。题设 ，所以 。
与 互为相反向量。
详细展开：因为 ，与上一步 比较得 ，选择 A。
一、选择题 · 排列组合
答案：B
题目标签：相邻限制排列
把两位老人捆绑成整体
两位老人必须相邻，先把他们看成一个整体。
详细展开：老人整体与 5 名不同志愿者共构成 6 个排列单位。要使老人不排在整排两端，这个整体不能位于 6 个单位的首位或末位，故有 4 个内部位置；5 名志愿者有 种次序。
老人块内部的两人还可交换。
详细展开：内部有 种排法，因此总数 ，选择 B。也可用 安排单位后再乘 2，结果一致。
一、选择题 · 线性规划
答案：D
题目标签：含参线性区域
先画固定三角形再比较截线
暂不看 ，前三个不等式围成三角形。
详细展开：边界为 ，顶点依次是 。在此三角形上，线性函数 的最大值是 。
直线 从原点向外平移。
详细展开： 时保留下的区域由原点及直线与 的交点构成三角形； 时切去一个角，形成四边形； 时约束冗余，仍是原三角形。故范围为 或 ，选 D。
一、选择题 · 不等式
答案：A
题目标签：均值不等式比较
分别使用均值不等式
正数 a、b 的和固定为 4。
详细展开：由 或均值不等式，，等号当且仅当 。
正数 c、d 的积固定为 4。
详细展开：均值不等式给 ，等号当且仅当 。于是 ；总等号要求四个数全为 2，取值唯一，选择 A。
一、选择题 · 函数
答案：D
题目标签：函数性质综合判断
逐条代入并用反例排除
命题甲检验 的偶性，命题乙检查以 2 为中心的单调。
详细展开：①有 为偶函数，且原函数在 2 左减右增；②有 为偶函数，二次函数也在 2 左减右增；③有 ，一般不是偶函数，且周期函数不具备题设全局单调性。
①、②满足甲乙；③不满足
只需继续检查候选①、②的命题丙。
详细展开：②中 ，在实数上递增。①在 时差函数为 ，括号内函数导数为负，故该区间递减，不满足丙。因此只有②，选择 D。
二、填空题 · 复数
答案：
题目标签：复数运算
先平方再有理化
使用 展开平方。
详细展开：，所以原式化为 。
分母含 i 时乘以合适因子。
详细展开：，已经是 的标准形式。
二、填空题 · 数列
答案：an=2n-11；第3项
题目标签：数列通项与离散最值
先差分，再比较整数二次函数
使用 与 。
详细展开：；对 ，。该式代入 n=1 仍成立，故 。
是开口向上的二次函数。
详细展开：其对称轴为 。正整数中只需比较邻近的 n=2、3：对应值为 -14、-15，故最小值出现在第 3 项；更远整数因离对称轴更远而值更大。
二、填空题 · 解三角形
答案：√10/2
题目标签：正弦定理解三角形
先求 sinA 再用正弦定理
三角形内角 A 为锐角，且 。
详细展开：可取直角三角形两直角边为 1、3，斜边为 ，从而 。又 ，故 。
对应角 A， 对应角 C。
详细展开：由 ，代入 得 。
二、填空题 · 集合与不等式
答案：
题目标签：集合不交参数
把两个集合化为区间
绝对值不等式给出以 a 为中心的闭区间。
详细展开： 等价于 ，故 。二次式分解为 ，所以 。
A 与 B 不交，故 A 必须完全位于 B 的补集 。
详细展开：由于 A 包含自身端点，而 1、4 又属于 B，必须严格满足 且 。解得 且 ，所以 。
二、填空题 · 三角函数
答案：7/25
题目标签：拼图与二倍角
建立两直角边的和差关系
设图中直角三角形两直角边为 ，斜边为外方形边长 5。
详细展开：中央小正方形边长等于两直角边之差，故 ；勾股定理给 。由 ，而 ，得 ，所以 。
由图中角 θ 可取 。
详细展开：。
二、填空题 · 函数
答案：1；2
题目标签：复合函数查表
枚举有限定义域
先由内到外查表。
详细展开：由 g 表得 ，由 f 表得 ，所以 。
定义域只有 1、2、3，逐个比较不会遗漏。
详细展开：x=1 时两边为 1、3，不成立；x=2 时 ；x=3 时两边为 1、3，不成立。因此唯一解为 x=2。
三、解答题 · 数列
答案：c=2；an=n²-n+2
题目标签：二阶差分数列
先求公差再写通项
二阶差分恒为常数 c，所以一阶差分构成首项为 c、公差为 c 的等差数列。
详细展开：由 得 ，再由 得 。前三项成等比数列等价于 。
解等比中项方程，并使用公比不为 1。
详细展开：展开得 ，故 或 2。若 ，三项全为 2，公比为 1，不合题意，故 。于是 。
三、解答题 · 立体几何
答案：见证明；arccos(√6/4)；arcsin(2/√7)
题目标签：动点线面角
找出平面 COD 内的垂线 OC
OB、OC 都垂直旋转轴 AO，直二面角使它们互相垂直。
详细展开：由旋转关系 ；二面角 B-AO-C 的平面角为 ，所以 。AO、OB 是平面 AOB 内相交直线，故 平面 AOB。
无论 D 在 AB 的哪个位置，平面 COD 都包含 OC。
详细展开：一个平面经过另一平面的垂线，则两平面垂直，因此 。证明不依赖 D 的具体位置。
建立正交坐标计算方向夹角
由 得 。
详细展开：取 。D 为 AB 中点时 ，故 。
AO 的方向沿 x 轴。
详细展开：CD 在 x 轴方向的分量绝对值为 ，所以所成锐角 θ 满足 ，即 。
参数化 D 并最小化 CD 长度
令 ，其中 。
详细展开：则 。因 C 到平面 AOB 的垂距恒为 2，设 CD 与该平面所成角为 φ，有 ，而 。
最小化分母即可最大化锐角的正弦。
详细展开：，在 时最小为 7。因此 ，等价地 。
三、解答题 · 解析几何
答案：3x+y+2=0，(x-2)²+y²=8；双曲线左支
题目标签：矩形外接圆与动圆轨迹
由斜率垂直确定边线，再求中心半径
矩形相邻边互相垂直，且 AD 经过点 T(-1,1)。
详细展开：直线 AB 的方程为 ，斜率是 ，所以 AD 斜率为 -3。由点斜式 ，整理得 。
先联立 AB、AD 得顶点 A，再用对角线中点 M 作圆心。
详细展开：联立两直线得 。矩形外接圆圆心是对角线交点 ，半径平方 ，故圆方程为 。
把外切条件识别为双曲线距离差
设动圆圆心为 P，因过 N(-2,0)，其半径为 PN。
详细展开：固定圆圆心为 、半径为 。两圆外切时圆心距等于半径和，故 ，即 。
M、N 是相距 4 的两个定点，距离差为常数。
详细展开：双曲线焦点为 ， 得 ，，所以 。因 ，P 更靠近 N，取左支 。
解答题 · 统计与概率
答案：2.3；41/99；分布列见解析，Eξ=2/3
题目标签：频数分布与随机变量
按频数作加权平均
统计图显示参加 1、2、3 次的人数分别为 10、50、40。
详细展开：三组频数和为 ，与合唱团总人数一致，可用来校验读图无误。
总活动次数等于次数乘相应人数后求和。
详细展开：人均次数为 。
按同组抽取分类计数
两人次数相等意味着两人来自同一频数组。
详细展开：有利无序对数为 。
任取两人的全部无序对数为 。
详细展开：所以概率为 。
按次数差 0、1、2 分类
随机变量 ξ 只能取 0、1、2。
详细展开：；差 1 的配对来自 (1,2) 或 (2,3)，数量 ，故概率 ；差 2 来自 (1,3)，概率 。
先检查三个概率之和为 1。
详细展开：。于是 。
解答题 · 函数与导数
答案：S=2(r+x)√(r²-x²)，0<x<r；3√3r²/2
题目标签：半椭圆内接梯形最值
用椭圆方程表示梯形高
以短轴 AB 中点为原点，AB 沿 x 轴，长半轴沿 y 轴。
详细展开：半椭圆方程为 且 。上底端点横坐标为 ，因此其高度 。
梯形上下底分别为 2r、2x，高为 y。
详细展开：。为保持非退化梯形，上底长度和高度均为正，故 。
无量纲化后最大化平方
令 ，提取固定尺度 。
详细展开：。因为各因子为正，最大化 S 等价于最大化 。
对 求导。
详细展开：，故在 处由增转减。代回得 。
解答题 · 集合与组合
答案：见解析；n≤k(k-1)/2；m=n
题目标签：整数集合的和差关系
先检查相反数，再枚举有序对
性质 P 要求每个元素的相反数都不在同一集合。
详细展开：集合 含 0，而 仍在集合中，所以不具有 P。集合 中 1、-2、-3 均不在集合，故具有 P。
对 检查九个有序对的和与差。
详细展开：和仍在 A 的只有 与 ，故 。差仍在 A 的只有 与 ，故 。
每个无序二元组至多贡献一个方向
具有 P 的集合不可能含 0。
详细展开：若 ，则 ，与 P 排除 0 矛盾。因此 T 中没有两个分量相同的有序对。
固定两个不同元素 a、b，考察 与 。
详细展开：若二者都在 T，则 且 ，违反性质 P。因此每个无序二元组 至多贡献一个 T 中的有序对。共有 个无序二元组，故 。
构造 S 与 T 的显式双射
利用和条件构造一个差条件。
详细展开：若 ，则 。令 ，其两分量在 A 中，且 ，所以 。
对 T 中有序对反向恢复 S 中原像。
详细展开：若 ，则 ，令 ，其两分量之和为 c，故属于 S。显然 与 互为逆映射，所以 S、T 等势，。