一、选择题 · 集合
设集合 , , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：集合并集
解题过程
求两个区间的并集
合并所有被至少一个集合覆盖的点
(1)
写成区间
先把描述法集合改写成区间。
详细展开：，。两个区间在 上重叠，合并后从 -2 的右侧一直覆盖到正无穷。
(2)
合并并集
并集只要求属于其中至少一个集合。
详细展开：最左边界 -2 不能取，其右侧所有实数都被 B 或 A 覆盖，因此 ，选择 A。
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2007 年高考数学（新课标卷文科）
exams_raw/普通高考/2007/2007新课标文(海南,宁夏).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
24 题31 个小问/题组
一、选择题 · 逻辑
已知命题 , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：全称命题的否定
解题过程
写全称命题的否定
量词与不等式同时取否定
(1)
否定量词
全称命题的否定是存在命题。
详细展开： 取否定后变为 ，表示只需找到一个反例。
(2)
否定结论
的否定是 。
详细展开：严格与非严格不等号要成对切换，所以 为“存在实数 x，使 ”，对应 C。
一、选择题 · 三角函数
函数 在区间 的简图是 ( )
答案：A
题目标签：正弦函数图象
解题过程
识别正弦函数图象
计算端点、零点和变化方向
(1)
确定关键点
对 选择便于识图的横坐标。
详细展开：在 处，函数值依次为 。尤其图象在 与 过 x 轴。
(2)
匹配变化方向
在 处相位为 0，图象向上穿过 x 轴。
详细展开：导数 在 为 2，故该零点处递增。只有选项 A 同时满足端点符号、两个零点位置及穿越方向。
一、选择题 · 平面向量
已知平面向量 , 则向量 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：向量线性运算
解题过程
计算向量线性组合
按坐标分量分别运算
(1)
分别数乘
数乘向量时每个分量都乘同一系数。
详细展开：，。
(2)
作向量减法
对应分量相减。
详细展开：，故选择 D。
一、选择题 · 算法
如果执行下面的程序框图，那么输出的 ( ) (A) 2450 (B) 2500 (C) 2550 (D) 2652
答案：C
题目标签：循环程序求和
解题过程
执行循环程序
识别循环范围并求和
(1)
翻译程序流程
初值为 ，只要 就执行累加。
详细展开：每轮先做 ，再令 ，所以被累加的 k 恰为 1 至 50，没有漏掉 50。
(2)
计算等差和
提取公因子 2。
详细展开：，对应 C。
一、选择题 · 数列
已知 成等比数列，且曲线 的顶点是 , 则 等于 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)
答案：B
题目标签：等比数列对称项
解题过程
利用等比数列对称项乘积
先从抛物线顶点读出中间两项
(1)
求顶点坐标
把二次函数配方。
详细展开：，所以顶点 ，即 。
(2)
使用等比性质
四个连续等比数列项的首末积等于中间两项积。
详细展开：若公比为 q，则 ，，故 ，选择 B。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知抛物线 () 的焦点为 , 点 、、 在抛物线上，且 , 则有 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：抛物线焦半径
解题过程
利用抛物线焦半径
把焦点距离写成横坐标的一次式
(1)
写焦半径公式
抛物线 可写为 ，其中 。
详细展开：焦点为 ，准线为 。抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，所以 。
(2)
代入横坐标关系
焦半径是 x 的一次函数，保留题设的中点关系。
详细展开：由 ，两边加 p 得 ，即 ，选 C。
一、选择题 · 立体几何
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：三视图求体积
解题过程
由三视图求体积
还原四棱锥底面与高
(1)
还原几何体
俯视图外轮廓是边长 20 的正方形，顶点投影位于右边中点。
详细展开：正视图和侧视图均显示锥顶到底面的竖直高度为 20，因此几何体是底面积 、高 20 的四棱锥；锥顶投影不在底面中心不影响体积公式。
(2)
应用棱锥体积
棱锥体积等于底面积乘高的三分之一。
详细展开：，选择 B。
一、选择题 · 三角函数
若 , 则 的值为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：三角恒等变换
解题过程
化简三角分式
用和差乘积消去公因式
(1)
分解分子分母
把两倍角余弦写成和差乘积。
详细展开：，而 。
(2)
解目标值
原分母非零，所以约分合法。
详细展开：令化简结果等于 ，除以 得 ，选择 C。
一、选择题 · 导数
曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：指数曲线切线
解题过程
求指数曲线切线截距
由导数写切线并求三角形面积
(1)
写切线方程
的导数仍为 。
详细展开：在 x=2 处斜率为 ，故切线 ，整理为 。
(2)
求截距面积
切线与 x、y 轴的截距分别为 1、。
详细展开：所围直角三角形两直角边长为 1 与 ，面积为 ，选择 D。
一、选择题 · 立体几何
已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在 上， 底面 , , 则球的体积与三棱锥体积之比是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：球与三棱锥体积
解题过程
比较球与三棱锥体积
利用直径和球心垂足求底面积、高
(1)
确定三棱锥尺寸
O 在弦 AB 上且是球心，所以 AB 是直径。
详细展开：，且平面 ABC 过球心，三点 A、B、C 位于半径 r 的大圆上，故 。由 得 ，底面积为 ；又 是三棱锥的高。
(2)
计算体积比
分别使用球和棱锥体积公式。
详细展开：球体积 ，三棱锥体积 ，二者之比为 ，选择 D。
一、选择题 · 统计
甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：标准差比较
解题过程
比较三组标准差
利用对称频数计算方差
(1)
确定共同均值
三组成绩都关于 8.5 对称。
详细展开：甲的频数为 ，乙为 ，丙为 ，对应成绩 7、8、9、10。每组关于 8.5 的对称位置频数相等，故均值均为 8.5。
(2)
比较方差
离均值 1.5 的两端频数越多，方差越大。
详细展开：直接计算得 。标准差与方差同序，因此 ，选择 B。
二、填空题 · 圆锥曲线
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为______.
答案：
题目标签：双曲线离心率
解题过程
由点到渐近线距离求离心率
用标准双曲线参数表示两段距离
(1)
写距离公式
设双曲线为 ，。
详细展开：一条渐近线为 。顶点 到它的距离为 ，焦点 到它的距离为 b。
(2)
求参数比
代入已知距离 2、6。
详细展开：由 b=6 及 得 ，所以离心率 。
二、填空题 · 函数
设函数 为偶函数，则 ______.
答案：
题目标签：偶函数参数
解题过程
由偶性求参数
消去多项式奇次项
(1)
展开函数
偶函数多项式只能保留偶次幂项。
详细展开：，其中唯一的奇次项系数为 。
(2)
令奇次项系数为零
定义域为实数，直接比较 与 。
详细展开：偶性要求 ，故 ；此时 确为偶函数。
二、填空题 · 复数
是虚数单位，______. (用 的形式表示，)
答案：
题目标签：复数幂和
解题过程
计算带系数的复数幂和
按 i 的四次循环分组
(1)
列出实部与虚部
每四项循环一次。
详细展开：八项依次贡献 。实部来自偶数次幂，虚部来自奇数次幂。
(2)
分别求和
计算两组交错等差和。
详细展开：实部为 4，虚部系数为 -4，因此结果为 。
二、填空题 · 数列
已知 是等差数列，, 其前 5 项和 , 则其公差 ______.
答案：1/2
题目标签：等差数列公差
解题过程
由对称项和与前缀和求公差
先定位 a5、a3
(1)
求中间项
等差数列中关于同一中项对称的两项之和等于中项的两倍。
详细展开：，故 ；前五项和 ，故 。
(2)
求公差
第五项与第三项相隔两个公差。
详细展开：，所以 。
三、解答题 · 解三角形
如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 . 现测得 , 并在点 测得塔顶 的仰角为 , 求塔高 .
答案：s sinβ tanθ/sin(α+β)
题目标签：正弦定理测塔高
解题过程
测量河对岸塔高
先用正弦定理求水平距离 BC
(1)
求 BC
在水平三角形 BCD 中，已知两角和夹边 CD。
详细展开：。由正弦定理，，故 。
(2)
由仰角求塔高
AB 竖直、BC 水平，三角形 ABC 在 C 处的仰角为 θ。
详细展开：，代入 BC 得 。
三、解答题 · 立体几何
如图， 为空间四点. 在 中，, 等边三角形 以 为轴运动. (1) 当平面 平面 时，求 ; (2) 当 转动时，是否总有 ? 证明你的结论.
答案：CD=2；恒有AB⊥CD
题目标签：旋转等边三角形
解题过程
（1）求垂直位置的 CD
建立以 AB 中点为基准的正交坐标
(1)
确定 C、D 到中点的距离
设 AB 中点为 O。
详细展开：由 ，三角形 ABC 在 C 处为直角等腰三角形，故 且 。等边三角形 ADB 边长 2，故 且 。
(2)
使用面面垂直
两平面沿 AB 垂直时，其内分别垂直 AB 的 OC、OD 互相垂直。
详细展开：所以三角形 COD 为直角三角形，。
（2）证明恒有 AB 垂直 CD
利用垂直平分面
(1)
定位 C、D
C 与 D 都到 A、B 等距。
详细展开：，且等边三角形给 。所有到 A、B 等距的空间点构成线段 AB 的垂直平分面，因此 C、D 始终位于这个固定平面。
(2)
推出线线垂直
垂直平分面与 AB 垂直。
详细展开：直线 CD 位于该平面中，而 AB 是该平面的法线方向，所以无论 D 怎样绕 AB 转动，都有 。
三、解答题 · 导数
设函数 . (1) 讨论 的单调性； (2) 求 在区间 的最大值和最小值.
答案：单调区间见解析；min=ln2+1/4，max=ln(7/2)+1/16
题目标签：对数函数单调与最值
解题过程
（1）讨论函数单调性
求导并制作符号表
(1)
求定义域与导数
对数真数必须为正。
详细展开：定义域为 。求导得 。在定义域内分母恒正。
(2)
判断导数符号
临界点为 -1 与 -1/2。
详细展开：导数在 为正、 为负、 为正。因此 f 在第一、三区间递增，在中间区间递减。
（2）求闭区间最值
比较临界点与端点函数值
(1)
确定候选点
区间 只包含临界点 -1/2。
详细展开：函数先减后增，所以最小值在 ，为 。最大值只能在两个端点中产生。
(2)
比较端点
分别代入两个端点。
详细展开：，；两者之差为 ，故最大值是后者。
三、解答题 · 概率
设有关于 的一元二次方程 . (1) 若 是从 四个数中任取的一个数， 是从 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2) 若 是从区间 任取的一个数， 是从区间 任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
答案：3/4；2/3
题目标签：离散与几何概型
解题过程
（1）离散参数下实根概率
把判别式条件化为 a≥b 后计数
(1)
求实根条件
一元二次方程有实根要求判别式非负。
详细展开：。a、b 都非负，因此条件等价于 。
(2)
枚举有利数对
全部有序参数对有 个。
详细展开：按 a=0,1,2,3，有利 b 个数依次为 1、2、3、3，共 9 个，所以概率为 。
（2）连续参数下实根概率
用矩形内区域面积比
(1)
表示几何区域
在矩形 内均匀取点。
详细展开：有利区域是直线 下方。对 高为 a，对 高为 2。
(2)
计算面积比
整个参数矩形面积为 6。
详细展开：几何概型概率为有利面积除以总面积，故 。边界直线面积为零，不影响结果。
三、解答题 · 解析几何
在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心为 ，过点 且斜率为 的直线与圆 相交于不同的交点 、. (1) 求 的取值范围； (2) 是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由.
答案：-3/4<k<0；不存在
题目标签：圆的弦与向量共线
解题过程
（1）求直线斜率范围
用圆心到直线距离小于半径
(1)
写圆与直线
圆方程配方得圆心和半径。
详细展开：，故 。过 P 的直线为 ，一般式 。
(2)
解相交条件
有两个不同交点等价于圆心到直线距离严格小于半径。
详细展开：。平方化简为 ，所以 。
（2）判断向量共线是否可能
用韦达定理表示两交点坐标和
(1)
求坐标和
把 代入圆方程。
详细展开：交点横坐标满足 ，故 ，且 。
(2)
施加共线条件
，而 。
详细展开：共线要求 。代入上式化简得到 ，即 ，但它不在第 (1) 问开区间内，此时直线与圆相切。因此不存在所求常数。
三、解答题 · 平面几何
如图，已知 是 的切线， 为切点， 是 的割线，与 交于 、 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点. (1) 证明 四点共圆； (2) 求 的大小.
答案：见证明；90°
题目标签：切线割线圆几何
解题过程
（1）证明四点共圆
构造以 AO 为直径的圆
(1)
得到两个直角
切线垂直于过切点的半径。
详细展开：，故 。M 是弦 BC 的中点，所以 ；A、M、B、C 共线，故 。
(2)
应用直径圆判定
看到线段 AO 的两点 P、M 都构成直角。
详细展开：满足 的点 X 在以 AO 为直径的圆上，因此 P、M 同在该圆，A、P、O、M 四点共圆。
（2）求两个角之和
利用圆周角转成直角三角形内角和
(1)
转化圆周角
在四点共圆中，同弦 AM 所对圆周角相等。
详细展开：。于是所求和变为 。
(2)
使用三角形 AOM
前面已知 。
详细展开：三角形 AOM 的另外两个内角和为 90°，故 。
三、解答题 · 坐标系与参数方程
和 的极坐标方程分别为 . (1) 把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过 交点的直线的直角坐标方程.
答案：两圆见解析；x+y=0
题目标签：极坐标圆与公共弦
解题过程
（1）化极坐标圆为直角坐标
乘以 ρ 后使用 x、y、ρ² 关系
(1)
转换第一个圆
使用 。
详细展开： 两边乘 ρ 得 ，即 。
(2)
转换第二个圆
同理处理正弦项。
详细展开： 得 ，即 。
（2）求两圆公共弦直线
两圆方程相减消去二次项
(1)
写未配方方程
交点同时满足两圆方程。
详细展开：两式分别为 与 。相减消去共同二次项。
(2)
得到交点连线
两圆有两个交点，所得一次方程就是公共弦所在直线。
详细展开：化简得 。它确实经过两个公共点 与 。
三、解答题 · 不等式
设函数 . (1) 解不等式 ; (2) 求函数 的最小值.
答案：(-∞,-7)∪(5/3,∞)；-9/2
题目标签：绝对值不等式与最值
解题过程
（1）解绝对值不等式
按两个零点分段
(1)
写分段函数
绝对值内部零点为 与 4。
详细展开：逐段去绝对值得 （），（），（）。
(2)
逐段解并合并
在每一段解线性不等式并与该段范围取交集。
详细展开：三段分别给 、、，后两段合并为 。
（2）求折线函数最小值
比较分段斜率与连接点
(1)
判断单调方向
三个分段斜率依次为 -1、3、1。
详细展开：函数在 递减，从 起转为递增；在 x=4 处斜率改变但仍递增。因此全局最低点为 。
(2)
计算最小值
代入原式或相邻分段式。
详细展开：，所以最小值为 。