一、选择题 · 逻辑
已知命题 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：全称命题否定
解题过程
写全称命题的否定
量词与不等式同时取否定
(1)
否定量词
全称命题的否定是存在命题。
详细展开： 取否定后变为 ，表示只需找到一个反例。
(2)
否定结论
的否定是 。
详细展开：严格与非严格不等号要成对切换，所以 为“存在实数 x，使 ”，对应 C。
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2007 年高考数学（新课标卷理科）
exams_raw/普通高考/2007/2007新课标理(海南,宁夏).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
24 题31 个小问/题组
一、选择题 · 平面向量
已知平面向量 ，则向量 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：向量线性运算
解题过程
计算向量线性组合
按坐标分量分别运算
(1)
分别数乘
数乘向量时每个分量都乘同一系数。
详细展开：，。
(2)
作向量减法
对应分量相减。
详细展开：，故选择 D。
一、选择题 · 三角函数
函数 在区间 的简图是 ( )
答案：A
题目标签：正弦函数图象
解题过程
识别正弦函数图象
计算端点、零点和变化方向
(1)
确定关键点
对 选择便于识图的横坐标。
详细展开：在 处，函数值依次为 。尤其图象在 与 过 x 轴。
(2)
匹配变化方向
在 处相位为 0，图象向上穿过 x 轴。
详细展开：导数 在 为 2，故该零点处递增。只有选项 A 同时满足端点符号、两个零点位置及穿越方向。
一、选择题 · 数列
已知 是等差数列，，其前 10 项和 ，则其公差 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：等差数列公差
解题过程
由项与和求等差公差
联立首项和公差
(1)
求首项
前 10 项和可用首末项表示。
详细展开：，故 。
(2)
求公差
第 10 项与首项相差 9 个公差。
详细展开： 给出 ，所以 ，选择 D。
一、选择题 · 算法
如果执行下面的程序框图，那么输出的 ( ) (A) 2450 (B) 2500 (C) 2550 (D) 2652
答案：C
题目标签：循环程序求和
解题过程
执行循环程序
识别循环范围并求和
(1)
翻译程序流程
初值为 ，只要 就执行累加。
详细展开：每轮先做 ，再令 ，所以被累加的 k 恰为 1 至 50，没有漏掉 50。
(2)
计算等差和
提取公因子 2。
详细展开：，对应 C。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知抛物线 的焦点为 ，点 、、 在抛物线上，且 ，则有 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：抛物线焦半径
解题过程
利用抛物线焦半径
把焦点距离写成横坐标的一次式
(1)
写焦半径公式
抛物线 可写为 ，其中 。
详细展开：焦点为 ，准线为 。抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，所以 。
(2)
代入横坐标关系
焦半径是 x 的一次函数，保留题设的中点关系。
详细展开：由 ，两边加 p 得 ，即 ，选 C。
一、选择题 · 数列与不等式
已知 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
答案：D
题目标签：等差等比综合最值
解题过程
数列条件下求比值最小值
分别表示等差中间和与等比中间积
(1)
提取和与积
四项等差数列的两个中间项之和等于首末项之和。
详细展开：由 x、a、b、y 成等差数列得 。由 x、c、d、y 成等比数列，设公比 q，则 。
(2)
使用均值不等式
目标式变为正数 x、y 的齐次式。
详细展开：，等号在 x=y 时可达，故最小值为 4，选择 D。
一、选择题 · 立体几何
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：三视图求体积
解题过程
由三视图求体积
还原四棱锥底面与高
(1)
还原几何体
俯视图外轮廓是边长 20 的正方形，顶点投影位于右边中点。
详细展开：正视图和侧视图均显示锥顶到底面的竖直高度为 20，因此几何体是底面积 、高 20 的四棱锥；锥顶投影不在底面中心不影响体积公式。
(2)
应用棱锥体积
棱锥体积等于底面积乘高的三分之一。
详细展开：，选择 B。
一、选择题 · 三角函数
若 ，则 的值为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：三角恒等变换
解题过程
化简三角分式
用和差乘积消去公因式
(1)
分解分子分母
把两倍角余弦写成和差乘积。
详细展开：，而 。
(2)
解目标值
原分母非零，所以约分合法。
详细展开：令化简结果等于 ，除以 得 ，选择 C。
一、选择题 · 导数
曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：指数函数切线
解题过程
求指数函数切线截距面积
求导后写切线
(1)
求切线方程
的导数为 。
详细展开：在 x=4 处函数值为 、斜率为 ，故 ，即 。
(2)
计算截距三角形
令 y=0 得横截距 2，令 x=0 得纵截距 。
详细展开：两条坐标轴上的边长为 2 与 ，面积 ，选择 D。
一、选择题 · 统计
甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：标准差比较
解题过程
比较三组标准差
利用对称频数计算方差
(1)
确定共同均值
三组成绩都关于 8.5 对称。
详细展开：甲的频数为 ，乙为 ，丙为 ，对应成绩 7、8、9、10。每组关于 8.5 的对称位置频数相等，故均值均为 8.5。
(2)
比较方差
离均值 1.5 的两端频数越多，方差越大。
详细展开：直接计算得 。标准差与方差同序，因此 ，选择 B。
一、选择题 · 立体几何
一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：棱锥棱柱拼接
解题过程
求拼接棱锥与棱柱高之比
统一边长并结合体积相加
(1)
求两个棱锥的高
设题中所有相等边长为 a。
详细展开：正方形中心到顶点距离为 ，四棱锥侧棱为 a，故 。正四面体的底面中心到顶点距离为 ，故 。
(2)
由总体积求棱柱高
拼接前后体积相等。
详细展开：四棱锥体积为 ，三棱锥体积为 ，和为 。三棱柱底面积为 ，故其高 。于是 ，选 B。
二、填空题 · 圆锥曲线
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率为______。
答案：
题目标签：双曲线离心率
解题过程
由点到渐近线距离求离心率
用标准双曲线参数表示两段距离
(1)
写距离公式
设双曲线为 ，。
详细展开：一条渐近线为 。顶点 到它的距离为 ，焦点 到它的距离为 b。
(2)
求参数比
代入已知距离 2、6。
详细展开：由 b=6 及 得 ，所以离心率 。
二、填空题 · 函数
设函数 为奇函数，则 ______。
答案：
题目标签：奇函数参数
解题过程
由奇函数求参数
展开为 x、常数和 1/x 三部分
(1)
展开有理函数
定义域为 ，关于原点对称。
详细展开：。其中 x 和 都是奇函数，常数项决定是否破坏奇性。
(2)
消去常数项
奇函数必须满足 。
详细展开：令 得 。此时 ，在对称定义域上确为奇函数。
二、填空题 · 复数
是虚数单位，______。（用 的形式表示，）
答案：
题目标签：复数除法
解题过程
复数除法
乘分母共轭化为实数
(1)
乘共轭复数
分母 的共轭为 。
详细展开：分子分母同乘 ，分母为 ；分子 。
(2)
写标准形式
分别除以 25。
详细展开：结果为 ，实部为 1，虚部系数为 2。
二、填空题 · 排列组合
某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有______种。（用数字作答）
答案：
题目标签：满射安排计数
解题过程
计算满射安排数
确定唯一的 2-1-1-1 分配型
(1)
确定班级分配结构
5 个不同班分到 4 个不同工厂且每厂至少一个班。
详细展开：由抽屉原理，恰有一个工厂安排 2 个班，其余三个工厂各 1 个班。先选这个工厂有 4 种，再选去该厂的两个班有 种。
(2)
安排剩余班级
剩下 3 个不同班与 3 个不同工厂一一对应。
详细展开：有 种安排，所以总数 。
三、解答题 · 解三角形
如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 。现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 。
答案：s sinβ tanθ/sin(α+β)
题目标签：正弦定理测塔高
解题过程
测量河对岸塔高
先用正弦定理求水平距离 BC
(1)
求 BC
在水平三角形 BCD 中，已知两角和夹边 CD。
详细展开：。由正弦定理，，故 。
(2)
由仰角求塔高
AB 竖直、BC 水平，三角形 ABC 在 C 处的仰角为 θ。
详细展开：，代入 BC 得 。
三、解答题 · 立体几何
如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， 为 中点。 (1) 证明： 平面 ； (2) 求二面角 的余弦值。
答案：见证明；√3/3
题目标签：三棱锥垂直与二面角
解题过程
（1）证明 SO 垂直底面
用两个勾股逆定理建立垂直关系
(1)
求各中线长度
设等边三角形边长为 a。
详细展开：由题意 ，且 ，所以 。O 为 BC 中点，直角三角形中 ；等腰三角形 SBC 中 且 。
(2)
再证 SO 垂直 AO
三角形 SAO 的三边满足勾股关系。
详细展开：，故 。AO 与 BC 是平面 ABC 内相交直线，SO 同时垂直二者，所以 平面 ABC。
（2）求二面角余弦
建立坐标并比较两侧面法向量
(1)
建立空间坐标
不妨令 a=1，取底面为 z=0。
详细展开：设 ，则 ，由第 (1) 问 。这些坐标保持所有边长与垂直关系。
(2)
计算法向量夹角
分别取平面 ASC 与 BSC 的法向量。
详细展开：可取 、。其点积为 ，模分别为 ，故所求二面角余弦为 。
解答题 · 圆锥曲线
在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 . (1) 求 的取值范围； (2) 设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由.
答案：|k|>√2/2；不存在
题目标签：椭圆割线与向量共线
解题过程
（1）求割线斜率范围
代入椭圆后要求判别式为正
(1)
建立交点方程
直线为 。
详细展开：代入 得 。有两个不同交点要求该二次方程判别式严格为正。
(2)
解判别式条件
计算 。
详细展开：，所以 。
（2）判断向量和与 AB 共线
用韦达定理求两交点坐标和
(1)
表示坐标和
设 。
详细展开：由韦达定理 ，又 。椭圆正半轴交点为 ，故 。
(2)
检查共线参数
与 共线等价于 。
详细展开：代入化简得到 。该值正是判别式为零的边界，只产生一个切点，不满足两个不同交点。因此不存在所求 k。
解答题 · 概率
如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 . 假设正方形 的边长为 ， 的面积为 ，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目. (1) 求 的均值 ； (2) 求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率. 附表： | | | | | | |---|---|---|---|---| | | | | | |
答案：2500；0.9147
题目标签：随机模拟与二项分布
解题过程
（1）求落点数均值
识别二项分布参数
(1)
求单点命中概率
正方形面积为 4，区域 M 面积为 1。
详细展开：均匀随机投点落入 M 的概率为面积比 。10000 个点相互独立，所以 。
(2)
计算期望
二项分布均值为 np。
详细展开：。
（2）求面积估计误差概率
把面积误差转成 X 的整数区间
(1)
解严格误差不等式
面积估计值为 。
详细展开： 等价于 。X 为整数，所以 。
(2)
使用累积分布表
附表 。
详细展开：所求概率为 。严格不等式决定下界要减去 。
解答题 · 导数
设函数 . (1) 若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性； (2) 若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 .
答案：a=3/2，单调区间见解析；a>√2，证明见解析
题目标签：含参对数函数极值
解题过程
（1）由指定极值点求参数并讨论单调
利用导数为零与符号表
(1)
求参数
定义域是 ，在 x=-1 取极值要求该点在定义域且导数为零。
详细展开：。令 ，得 。
(2)
判断单调区间
代入 a 后分解导数。
详细展开：在 上，。分母为正，故 f 在 、 递增，在 递减。
（2）求存在极值的参数范围并证明极值和下界
分析导数二次分子及两根对称式
(1)
确定参数范围
在定义域 内，导数分母为正，零点来自 。
详细展开：若 ，该式有两个不同负根且都在定义域内，导数符号两次改变，存在两个极值； 时无符号改变， 时两个正根都小于定义域左端 。故存在极值当且仅当 。
(2)
计算两个极值之和
设两个临界点为 ，则 。
详细展开：。其中前一乘积为 ，后一平方和为 ，故极值和为 。
解答题 · 平面几何
如图，已知 是 的切线， 为切点， 是 的割线，与 交于 、 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点. (1) 证明 四点共圆； (2) 求 的大小.
答案：见证明；90°
题目标签：切线割线圆几何
解题过程
（1）证明四点共圆
构造以 AO 为直径的圆
(1)
得到两个直角
切线垂直于过切点的半径。
详细展开：，故 。M 是弦 BC 的中点，所以 ；A、M、B、C 共线，故 。
(2)
应用直径圆判定
看到线段 AO 的两点 P、M 都构成直角。
详细展开：满足 的点 X 在以 AO 为直径的圆上，因此 P、M 同在该圆，A、P、O、M 四点共圆。
（2）求两个角之和
利用圆周角转成直角三角形内角和
(1)
转化圆周角
在四点共圆中，同弦 AM 所对圆周角相等。
详细展开：。于是所求和变为 。
(2)
使用三角形 AOM
前面已知 。
详细展开：三角形 AOM 的另外两个内角和为 90°，故 。
解答题 · 坐标系与参数方程
和 的极坐标方程分别为 ，. (1) 把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过 ， 交点的直线的直角坐标方程.
答案：两圆见解析；x+y=0
题目标签：极坐标圆与公共弦
解题过程
（1）化极坐标圆为直角坐标
乘以 ρ 后使用 x、y、ρ² 关系
(1)
转换第一个圆
使用 。
详细展开： 两边乘 ρ 得 ，即 。
(2)
转换第二个圆
同理处理正弦项。
详细展开： 得 ，即 。
（2）求两圆公共弦直线
两圆方程相减消去二次项
(1)
写未配方方程
交点同时满足两圆方程。
详细展开：两式分别为 与 。相减消去共同二次项。
(2)
得到交点连线
两圆有两个交点，所得一次方程就是公共弦所在直线。
详细展开：化简得 。它确实经过两个公共点 与 。
解答题 · 不等式
设函数 . (1) 解不等式 ； (2) 求函数 的最小值.
答案：(-∞,-7)∪(5/3,∞)；-9/2
题目标签：绝对值不等式与最值
解题过程
（1）解绝对值不等式
按两个零点分段
(1)
写分段函数
绝对值内部零点为 与 4。
详细展开：逐段去绝对值得 （），（），（）。
(2)
逐段解并合并
在每一段解线性不等式并与该段范围取交集。
详细展开：三段分别给 、、，后两段合并为 。
（2）求折线函数最小值
比较分段斜率与连接点
(1)
判断单调方向
三个分段斜率依次为 -1、3、1。
详细展开：函数在 递减，从 起转为递增；在 x=4 处斜率改变但仍递增。因此全局最低点为 。
(2)
计算最小值
代入原式或相邻分段式。
详细展开：，所以最小值为 。