一、选择题 · 集合
设 , , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：集合交集
解题过程
求一次不等式集合交集
分别解不等式后取公共区间
(1)
求两个集合
逐个解一次不等式。
详细展开： 得 ， 得 ，所以 。
(2)
取公共部分
交集要求两个条件同时成立。
详细展开：合并得到 ，两端均由严格不等式产生，选择 D。
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2007 年高考数学（大纲卷 1文科）
exams_raw/普通高考/2007/2007大纲1文(河北,河南,山西,广西).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
22 题28 个小问/题组
一、选择题 · 三角函数
是第四象限角, , 则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：象限与同角关系
解题过程
由余弦与象限求正弦
用平方关系确定大小和符号
(1)
求正弦绝对值
使用 。
详细展开：。
(2)
按象限定号
第四象限正弦为负。
详细展开：因此 ，选择 B。
一、选择题 · 平面向量
已知向量 , , 则 与 ( ) (A) 垂直 (B) 不垂直也不平行 (C) 平行且同向 (D) 平行且反向
答案：A
题目标签：向量垂直
解题过程
判断两向量关系
计算点积与比例
(1)
计算点积
垂直判定使用点积。
详细展开：。两向量均非零。
(2)
得出垂直
非零向量点积为零当且仅当垂直。
详细展开：故 a 与 b 垂直，选择 A；无需再比较分量比例。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知双曲线的离心率为 2, 焦点是 , , 则双曲线方程为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：双曲线标准方程
解题过程
由焦点与离心率求双曲线方程
先求 a 再求 b
(1)
确定 a、c
焦点在 x 轴且坐标为 ，故 。
详细展开：离心率 ，所以 。
(2)
求 b²并写方程
双曲线满足 。
详细展开：，方程为 ，选择 A。
一、选择题 · 排列组合
甲、乙、丙 3 位同学选修课程, 从 4 门课程中, 甲选修 2 门, 乙、丙各选修 3 门, 则不同的选修方案共有 ( ) (A) 36 种 (B) 48 种 (C) 96 种 (D) 192 种
答案：C
题目标签：选课组合计数
解题过程
独立选课方案计数
分别组合后相乘
(1)
计算每人选法
课程只有是否选择，没有顺序。
详细展开：甲从 4 门中选 2 门有 种；乙、丙各选 3 门，分别有 种。
(2)
应用乘法原理
三人的选择相互独立且允许重合课程。
详细展开：总方案数为 ，选择 C。
一、选择题 · 线性规划
下面给出的四个点中, 位于 表示的平面区域内的点是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：线性区域点检验
解题过程
检验点是否在线性区域内
把四点逐一代入
(1)
明确两个条件
区域要求 且 同时成立。
详细展开：前两个选项分别在第一式或第二式失败；点 也不满足 。
(2)
验证候选点
代入 。
详细展开：，且 ，两个严格条件都满足，选择 C。
一、选择题 · 立体几何
如图, 正四棱柱 中, , 则异面直线 与 所成角的余弦值为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：正四棱柱异面角
解题过程
求正四棱柱异面直线角
建立坐标比较方向向量
(1)
写方向向量
令底面边长为 1，高为 2。
详细展开：取 。则 ，。
(2)
计算夹角余弦
异面直线角取方向向量夹角的锐角。
详细展开：，，所以余弦为 ，选择 D。
一、选择题 · 函数
设 , 函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 , 则 ( ) (A) (B) 2 (C) (D) 4
答案：D
题目标签：对数值域差
解题过程
由对数值域差求底数
利用单调性比较端点
(1)
写最大最小值
时对数函数递增。
详细展开：区间端点给最小值 、最大值 ，差为 。
(2)
解底数方程
令值域差等于 1/2。
详细展开： 等价于 ，故 ，选择 D。
一、选择题 · 函数
, 是定义在 上的函数, , 则“, 均为偶函数”是“ 为偶函数”的 ( ) (A) 充要条件 (B) 充分而不必要的条件 (C) 必要而不充分的条件 (D) 既不充分也不必要的条件
答案：B
题目标签：偶函数充分必要性
解题过程
判断偶函数条件关系
证明充分并构造非必要反例
(1)
验证充分性
两个偶函数之和仍是偶函数。
详细展开：若 ，则 ，所以条件充分。
(2)
否定必要性
构造和为偶函数但加数不都是偶函数。
详细展开：取任意非偶函数 f，并令 ，则 是偶函数，而 f、g 均可非偶。因此该条件充分而不必要，选择 B。
一、选择题 · 三角函数
函数 的一个单调增区间是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：余弦平方单调区间
解题过程
判断余弦平方单调区间
化为 1+cos2x 后看导数
(1)
求导数符号
。
详细展开：导数为 ，函数递增要求 。
(2)
检验选项区间
在 上，，正弦恒负。
详细展开：因此该区间上导数恒正；其他选项或导数恒负，或中途变号，故选择 D。
一、选择题 · 导数
曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：三次曲线切线
解题过程
求切线截距三角形面积
写切线并求两截距
(1)
写切线
的导数为 。
详细展开：在 x=1 处斜率为 2，切线 ，即 。
(2)
计算面积
横截距为 1/3，纵截距为 -2/3。
详细展开：所围三角形面积为 ，选择 A。
一、选择题 · 圆锥曲线
抛物线 的焦点为 , 准线为 , 经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 , , 垂足为 , 且 的面积是 ( ) (A) 4 (B) (C) (D) 8
答案：C
题目标签：抛物线焦点三角形
解题过程
求抛物线焦点三角形面积
先求交点 A 再算底高
(1)
求交点 A
抛物线焦点为 ，准线为 。
详细展开：过 F 的直线为 。代入 得 x=3 或 1/3；x 轴上方对应 x=3，故 。
(2)
计算三角形面积
AK 垂直准线，所以 AK 水平。
详细展开：，点 F 到直线 AK 的距离为 ，故面积为 ，选择 C。
二、填空题 · 统计
从某自动包装机包装的食盐中, 随机抽取 20 袋, 测得各袋的质量分别为 (单位: g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理, 该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约为 \_\_\_\_\_\_.
答案：
题目标签：频率估计概率
解题过程
用样本频率估计概率
统计落在区间内的样本数
(1)
筛选数据
质量数据均为整数，落在 497.5 g 到 501.5 g 之间的是 498、499、500、501。
详细展开：样本中相应数值为 498、501、500、501、499，共 5 袋。区间边界没有样本点，不涉及端点歧义。
(2)
计算频率
用样本频率估计总体概率。
详细展开：所求概率约为 。
二、填空题 · 函数
函数 的图象与函数 () 的图象关于直线 对称, 则 \_\_\_\_\_.
答案：
题目标签：对数反函数
解题过程
求对数函数反函数
交换自变量因变量
(1)
识别对称关系
两个函数图象关于 y=x 对称，说明它们互为反函数。
详细展开：原函数 在 上一一对应，存在全局反函数。
(2)
求反函数
交换 x、y 后解出 y。
详细展开： 等价于 ，故 。
二、填空题 · 立体几何
正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 , 点 、、、、 都在同一个球面上, 则该球的体积为 \_\_\_\_\_.
答案：4π/3
题目标签：正四棱锥外接球
解题过程
求正四棱锥外接球体积
确定球心和半径
(1)
求棱锥高度
底边和侧棱均为 ，底面中心记为 O。
详细展开：正方形外接圆半径 。由 得 。
(2)
确定外接球
底面四点到 O 的距离为 1，顶点 S 到 O 的距离也为 1。
详细展开：因此 O 就是五点外接球球心，半径 R=1，球体积为 。
二、填空题 · 数列
等比数列 的前 项和 , 已知 成等差数列, 则 的公比为 \_\_\_\_\_.
答案：
题目标签：等比数列公比
解题过程
由前缀和等差条件求公比
展开前三个和
(1)
列等差中项式
设等比数列首项为 ，公比为 q。
详细展开：。 成等差要求 。
(2)
解公比
化简并使用公比定义。
详细展开：方程变为 ，即 或 。等比数列公比不为 0，故 。
三、解答题 · 解三角形
设锐角三角形 的内角 的对边分别为 , . (1) 求 的大小; (2) 若 , , 求 .
答案：30°；√7
题目标签：正弦定理与余弦定理
解题过程
（1）求角 B
用正弦定理消去边长
(1)
代入正弦定理
三角形中 。
详细展开：题设 给出 ，与正弦定理比较得 。锐角三角形中 ，可约去。
(2)
确定锐角
B 是锐角。
详细展开： 在锐角范围内唯一给出 。
（2）求边 b
使用余弦定理
(1)
对应 B 的邻边
角 B 的两邻边是 a、c，对边是 b。
详细展开：余弦定理给 。代入 。
(2)
完成计算
化简交叉项。
详细展开：交叉项等于 45，所以 。边长为正，故 。
三、解答题 · 概率
某商场经销某商品, 顾客可采用一次性付款或分期付款购买. 根据以往资料统计, 顾客采用一次性付款的概率是 0.6. 经销一件该商品, 若顾客采用一次性付款, 商场获得利润 200 元; 若顾客采用分期付款, 商场获得利润 250 元. (1) 求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (2) 求 3 位顾客每人购买 1 件该商品, 商场获得利润不超过 650 元的概率.
答案：0.936；0.648
题目标签：付款方式二项概率
解题过程
（1）至少一人一次性付款
使用对立事件
(1)
写对立事件
每位顾客不采用一次性付款的概率为 0.4。
详细展开：三人选择视为相互独立，全部不一次性付款的概率为 。
(2)
求至少一次
至少一人是“无人一次”的对立事件。
详细展开：。
（2）利润不超过 650 的概率
转成一次性付款人数
(1)
建立利润表达式
令 X 为三人中一次性付款人数，则 。
详细展开：总利润为 。不超过 650 等价于 。
(2)
计算二项概率
累加 X=2 与 X=3。
详细展开：。
三、解答题 · 立体几何
四棱锥 中, 底面 为平行四边形, 侧面 底面 . 已知 , , , . (1) 证明: ; (2) 求直线 与平面 所成角的大小.
答案：见证明；arcsin(√22/11)
题目标签：四棱锥垂直与线面角
解题过程
（1）证明 SA 垂直 BC
建立与垂直平面相适应的坐标
(1)
设定点坐标
取 B 为原点、BC 为 x 轴、底面为 z=0。
详细展开：可设 。侧面 SBC 垂直底面且交线为 BC，所以可设 。
(2)
使用等长条件
。
详细展开：两距离平方相减得 ，即 。于是 的 x 分量为零，而 BC 沿 x 轴，故 。
（2）求 SD 与平面 SAB 的夹角
用方向向量和法向量计算正弦
(1)
补全坐标与向量
由 、 得 ，取 。
详细展开：，平行四边形第四点 。故 。平面 SAB 可取法向量 。
(2)
求线面角
线面角 θ 满足 。
详细展开：点积绝对值为 4，，故 。
解答题 · 导数
设函数 在 及 时取得极值. (1) 求 、 的值; (2) 若对于任意的 , 都有 成立, 求 的取值范围.
答案：a=-3,b=4；c<-1或c>9
题目标签：三次函数极值参数
解题过程
（1）由两个极值点求系数
让导函数以 1、2 为两根
(1)
写导函数
极值点必须是导函数零点。
详细展开：，其两根为 1、2。
(2)
比较系数
展开右边并比较。
详细展开：，所以 ，即 。
（2）求恒成立不等式的 c 范围
先求不含 c 部分在区间上的最大值
(1)
求区间最大值
代入 a、b 后 ，其中 。
详细展开：。比较 的值 0、5、4、9，得到 在 的最大值为 9。
(2)
解严格参数不等式
对所有 x 严格成立，特别要在最大点 x=3 严格成立。
详细展开：条件等价于 ，即 。因此 或 。
解答题 · 数列
设 是等差数列, 是各项都为正数的等比数列, 且 , , . (1) 求 , 的通项公式; (2) 求数列 的前 项和 .
答案：an=2n-1,bn=2^(n-1)；Sn=6-(4n+6)/2^n
题目标签：等差等比数列综合
解题过程
（1）求两个数列通项
联立公差和公比
(1)
建立参数方程
设等差公差为 d，正项等比公比为 q>0。
详细展开：。题设给 与 。
(2)
解参数
令 消去 d。
详细展开：得到 ，正根 t=4，所以 q=2；再得 d=2。故 。
（2）求比值数列前 n 项和
拆成等比和等差乘等比和
(1)
写求和式
目标通项为 。
详细展开：。第二项是普通等比和，第一项可由错位相减或求导公式得到。
(2)
化简闭式
使用 与 。
详细展开：代入得 。n=1 时为 1，与首项一致。
解答题 · 圆锥曲线
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、, 过 的直线交椭圆于 、 两点, 过 的直线交椭圆于 、 两点, 且 , 垂足为 . (1) 设 点的坐标为 , 证明: ; (2) 求四边形 的面积的最小值.
答案：见证明；96/25
题目标签：垂直焦点弦面积
解题过程
（1）证明垂足在椭圆内部
利用两焦点连线向量垂直
(1)
得到圆方程
两条焦点弦在 P 垂直，故 。
详细展开：椭圆焦点为 。对 ，垂直给 ，即 。
(2)
验证椭圆内部不等式
把 代入椭圆左端。
详细展开：，因此 P 严格位于椭圆内部。
（2）求垂直焦点弦四边形面积最小值
表示两条互相垂直焦点弦长度
(1)
写焦点弦长
令 BD 方向与 x 轴夹角为 θ，则 AC 方向为 。
详细展开：椭圆的半长轴 、半短轴平方 、焦半距 c=1。方向为 θ 的焦点弦长为 。
(2)
最大化分母
四边形对角线 AC、BD 垂直，面积为二者乘积的一半。
详细展开：令 ，则 。分母在 u=1/2 时最大为 25/4，所以面积最小值为 。