一、选择题 · 三角函数
是第四象限角，，则 （ ） (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：象限与正切
解题过程
由正切和象限求正弦
构造 5-12-13 直角三角形
(1)
求三角函数绝对值
给出直角边比 5:12。
详细展开：相应斜边为 13，所以 。
(2)
按象限定号
第四象限正弦为负、余弦为正。
详细展开：因此 ，选择 D。
返回特征解读
2007 年高考数学（大纲卷 1理科）
exams_raw/普通高考/2007/2007大纲1理(河北,河南,山西,广西).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
22 题28 个小问/题组
一、选择题 · 复数
设 是实数，且 是实数，则 （ ） (A) (B) 1 (C) (D) 2
答案：B
题目标签：复数实值参数
解题过程
复数表达式为实数求参数
化成标准代数形式
(1)
有理化第一项
。
详细展开：原式为 。
(2)
令虚部为零
a 为实数，复数为实数当且仅当虚部系数为零。
详细展开： 得 ，选择 B。
一、选择题 · 平面向量
已知向量 ，，则 与 （ ） (A) 垂直 (B) 不垂直也不平行 (C) 平行且同向 (D) 平行且反向
答案：A
题目标签：向量垂直
解题过程
判断两向量关系
计算点积与比例
(1)
计算点积
垂直判定使用点积。
详细展开：。两向量均非零。
(2)
得出垂直
非零向量点积为零当且仅当垂直。
详细展开：故 a 与 b 垂直，选择 A；无需再比较分量比例。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ，，则双曲线方程为 （ ） (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：双曲线标准方程
解题过程
由焦点与离心率求双曲线方程
先求 a 再求 b
(1)
确定 a、c
焦点在 x 轴且坐标为 ，故 。
详细展开：离心率 ，所以 。
(2)
求 b²并写方程
双曲线满足 。
详细展开：，方程为 ，选择 A。
一、选择题 · 集合
设 ，集合 ，则 （ ） (A) 1 (B) (C) 2 (D)
答案：C
题目标签：集合相等求参数
解题过程
由两个集合相等求参数
追踪必有元素 0 与 1
(1)
利用元素 0
右侧集合含 0，左侧必须也含 0。
详细展开：因为 a≠0（ 有意义）且 1≠0，只能有 ，即 。
(2)
利用元素 1
右侧集合还必须含左侧的 1。
详细展开： 不可能等于 1，所以必须 b=1，进而 a=-1。两集合均为 ，故 ，选择 C。
一、选择题 · 解析几何
下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表示的平面区域内的点是 （ ） (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：点到直线距离与区域
解题过程
距离与区域联合筛点
先用有向距离再验半平面
(1)
转化距离条件
到直线 的距离为 。
详细展开：故 ，即 。区域又要求 ，所以实际有 。
(2)
检验另一半平面
候选点还须满足 。
详细展开：四点中 满足前式且和为 -2<1；其余点至少违反一个条件，故选择 C。
一、选择题 · 立体几何
如图，正四棱柱 中，，则异面直线 与 所成角的余弦值为 （ ） (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：正四棱柱异面角
解题过程
求正四棱柱异面直线角
建立坐标比较方向向量
(1)
写方向向量
令底面边长为 1，高为 2。
详细展开：取 。则 ，。
(2)
计算夹角余弦
异面直线角取方向向量夹角的锐角。
详细展开：，，所以余弦为 ，选择 D。
一、选择题 · 函数
设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ ） (A) (B) 2 (C) (D) 4
答案：D
题目标签：对数值域差
解题过程
由对数值域差求底数
利用单调性比较端点
(1)
写最大最小值
时对数函数递增。
详细展开：区间端点给最小值 、最大值 ，差为 。
(2)
解底数方程
令值域差等于 1/2。
详细展开： 等价于 ，故 ，选择 D。
一、选择题 · 函数
是定义在 上的函数，，则“ 均为偶函数”是“ 为偶函数”的 （ ） (A) 充要条件 (B) 充分而不必要的条件 (C) 必要而不充分的条件 (D) 既不充分也不必要的条件
答案：B
题目标签：偶函数充分必要性
解题过程
判断偶函数条件关系
证明充分并构造非必要反例
(1)
验证充分性
两个偶函数之和仍是偶函数。
详细展开：若 ，则 ，所以条件充分。
(2)
否定必要性
构造和为偶函数但加数不都是偶函数。
详细展开：取任意非偶函数 f，并令 ，则 是偶函数，而 f、g 均可非偶。因此该条件充分而不必要，选择 B。
一、选择题 · 二项式定理
的展开式中，常数项为 15，则 （ ） (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
答案：D
题目标签：二项式常数项
解题过程
由二项展开常数项求 n
匹配 x 的指数并计算系数
(1)
写通项指数
从 n 个因子中选 k 个 。
详细展开：通项为 。常数项要求 。
(2)
检验备选 n
k 必须是 0 到 n 的整数，且系数要为 15。
详细展开：选项中 n=3 给系数 ；n=6 给 k=4，系数 。因此 n=6，选择 D。
一、选择题 · 圆锥曲线
抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ，，垂足为 ，且 的面积是 （ ） (A) 4 (B) (C) (D) 8
答案：C
题目标签：抛物线焦点三角形
解题过程
求抛物线焦点三角形面积
先求交点 A 再算底高
(1)
求交点 A
抛物线焦点为 ，准线为 。
详细展开：过 F 的直线为 。代入 得 x=3 或 1/3；x 轴上方对应 x=3，故 。
(2)
计算三角形面积
AK 垂直准线，所以 AK 水平。
详细展开：，点 F 到直线 AK 的距离为 ，故面积为 ，选择 C。
一、选择题 · 三角函数
函数 的一个单调增区间是 （ ） (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：三角函数单调区间
解题过程
判断三角函数单调区间
化简求导并判号
(1)
求导数
先用 。
详细展开：，故 。
(2)
检验区间
在 上， 且 。
详细展开：因此两个因子均为正，f 严格递增。其余选项中导数会为负或变号，故选择 A。
二、填空题 · 排列组合
从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种。（用数字作答）
答案：
题目标签：受限职务选任
解题过程
有限制的职务选任
先选受限职务再排其余职务
(1)
选择文娱委员
甲、乙不能任文娱委员。
详细展开：所以文娱委员只能从其余 3 人中选，有 3 种选择。
(2)
安排另外两职
从剩余 4 人中有顺序地选学习、体育委员。
详细展开：有 种，故总数 。
二、填空题 · 函数
函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ______。
答案：
题目标签：对数反函数
解题过程
求对数函数反函数
交换自变量因变量
(1)
识别对称关系
两个函数图象关于 y=x 对称，说明它们互为反函数。
详细展开：原函数 在 上一一对应，存在全局反函数。
(2)
求反函数
交换 x、y 后解出 y。
详细展开： 等价于 ，故 。
二、填空题 · 数列
等比数列 的前 项和 ，已知 成等差数列，则 的公比为______。
答案：
题目标签：等比数列公比
解题过程
由前缀和等差条件求公比
展开前三个和
(1)
列等差中项式
设等比数列首项为 ，公比为 q。
详细展开：。 成等差要求 。
(2)
解公比
化简并使用公比定义。
详细展开：方程变为 ，即 或 。等比数列公比不为 0，故 。
二、填空题 · 立体几何
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为______。
答案：2√3
题目标签：三棱柱侧棱点三角形
解题过程
求侧棱上等腰直角三角形斜边
用三条平行线间水平距离建立方程
(1)
表示三边平方
设三个顶点在三条侧棱上的高度分别为 x、y、z。
详细展开：任意两条侧棱的水平距离都是底面边长 2，所以三边平方为 。设直角顶点高度为 x，则两直角边相等迫使 。
(2)
使用等腰与勾股条件
会使斜边平方为 4，小于两直角边平方和，不可能，故 。
详细展开：令 。斜边平方 等于两倍直角边平方 ，得 ，斜边平方为 12。
三、解答题 · 解三角形
设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，。 (1) 求 的大小； (2) 求 的取值范围。
答案：π/6；(√3/2,3/2)
题目标签：解三角形与范围
解题过程
（1）求角 B
用正弦定理消去边长
(1)
建立正弦关系
正弦定理给 。
详细展开：题设又给 ，约去锐角的正弦得到 。
(2)
确定角度
B 为锐角。
详细展开：故 。
（2）求 cosA+sinC 的范围
用 A+C=5π/6 化成单一正弦
(1)
确定 A 的区间
，故 。
详细展开：A、C 都是锐角，所以 。又 。
(2)
化简并取值域
合并目标式。
详细展开：。相位在 ，正弦递减且端点不取，故范围为 。
三、解答题 · 概率
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期 的分布列为 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元。 表示经销一件该商品的利润。 (1) 求事件 ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ； (2) 求 的分布列及期望 。
答案：0.784；分布见解析，Eη=240
题目标签：付款期利润分布
解题过程
（1）至少一人一期付款
使用对立事件
(1)
写无人一期付款概率
单人不是一期付款的概率为 0.6。
详细展开：三位顾客独立时，无人采用一期付款的概率为 。
(2)
求对立概率
至少一人一期付款与无人一期付款互为对立。
详细展开：。
（2）求利润分布与期望
合并相同利润对应的付款期
(1)
列分布列
一期利润 200，二三期利润 250，四五期利润 300。
详细展开：所以 ，，。
(2)
计算期望
按利润值加权。
详细展开： 元。
三、解答题 · 立体几何
四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 。已知 ，，，。 (1) 证明：； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。
答案：见证明；arcsin(√22/11)
题目标签：四棱锥垂直与线面角
解题过程
（1）证明 SA 垂直 BC
建立与垂直平面相适应的坐标
(1)
设定点坐标
取 B 为原点、BC 为 x 轴、底面为 z=0。
详细展开：可设 。侧面 SBC 垂直底面且交线为 BC，所以可设 。
(2)
使用等长条件
。
详细展开：两距离平方相减得 ，即 。于是 的 x 分量为零，而 BC 沿 x 轴，故 。
（2）求 SD 与平面 SAB 的夹角
用方向向量和法向量计算正弦
(1)
补全坐标与向量
由 、 得 ，取 。
详细展开：，平行四边形第四点 。故 。平面 SAB 可取法向量 。
(2)
求线面角
线面角 θ 满足 。
详细展开：点积绝对值为 4，，故 。
解答题 · 导数
设函数 . (1) 证明: 的导数 ; (2) 若对所有 都有 , 求 的取值范围.
答案：见证明；a≤2
题目标签：双曲正弦导数下界
解题过程
（1）证明导数下界
用正数均值不等式
(1)
求导
分别对两个指数项求导。
详细展开：。两个数均为正且乘积为 1。
(2)
应用均值不等式
正数和不小于两倍几何平均。
详细展开：，等号在 x=0 成立。
（2）求线性下界参数
用导数积分证明充分并用极限证明必要
(1)
证明 a≤2 充分
且在 上 。
详细展开：由积分或拉格朗日中值定理，。当 且 时，，所以条件成立。
(2)
证明必要性
考察 x 从右侧趋近 0。
详细展开：若对所有 x>0 有 ，则令 得 。故完整范围为 。
解答题 · 圆锥曲线
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、, 过 的直线交椭圆于 、 两点, 过 的直线交椭圆于 、 两点, 且 , 垂足为 . (1) 设 点的坐标为 , 证明: ; (2) 求四边形 的面积的最小值.
答案：见证明；96/25
题目标签：垂直焦点弦面积
解题过程
（1）证明垂足在椭圆内部
利用两焦点连线向量垂直
(1)
得到圆方程
两条焦点弦在 P 垂直，故 。
详细展开：椭圆焦点为 。对 ，垂直给 ，即 。
(2)
验证椭圆内部不等式
把 代入椭圆左端。
详细展开：，因此 P 严格位于椭圆内部。
（2）求垂直焦点弦四边形面积最小值
表示两条互相垂直焦点弦长度
(1)
写焦点弦长
令 BD 方向与 x 轴夹角为 θ，则 AC 方向为 。
详细展开：椭圆的半长轴 、半短轴平方 、焦半距 c=1。方向为 θ 的焦点弦长为 。
(2)
最大化分母
四边形对角线 AC、BD 垂直，面积为二者乘积的一半。
详细展开：令 ，则 。分母在 u=1/2 时最大为 25/4，所以面积最小值为 。
解答题 · 数列
已知数列 中 , , . (1) 求 的通项公式; (2) 若数列 中 , , , 证明: , .
答案：an=√2[1+(√2-1)^n]；见证明
题目标签：递推数列夹逼
解题过程
（1）求线性递推通项
平移到不动点 √2
(1)
寻找不动点
令 。
详细展开：，所以递推相减得 。
(2)
迭代并化简
。
详细展开：所以 ，即 。
（2）证明 b_n 的双边界
用 Möbius 递推的交比变量显式化
(1)
构造交比变量
令 ，。
详细展开：把 代入并因式分解，得到 。又 ，故 。
(2)
证明下界
，所以 。
详细展开：由交比反解 。
(3)
证明上界
记 ，则 ，而 。
详细展开： 等价于 ，即 。因 ，，故不等式成立。