一、选择题 · 三角函数
(A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：特殊角余弦
解题过程
求特殊角余弦
化到第一象限参考角
(1)
使用诱导公式
。
详细展开：第四象限余弦为正，且 ，所以 。
(2)
写出特殊值
30° 的余弦为 。
详细展开：因此选择 C。
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2007 年高考数学（大纲卷 2文科）
exams_raw/普通高考/2007/2002大纲2文(黑龙江,吉林,贵州,新疆,内蒙古,青海,云南,西藏,甘肃).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
22 题27 个小问/题组
一、选择题 · 集合
设集合 , 则 (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：集合补集
解题过程
求并集在全集中的补集
先并后补
(1)
求并集
列出至少属于 A 或 B 的元素。
详细展开：。
(2)
取全集余集
从 U 中删去并集元素。
详细展开：只剩元素 3，所以补集为 ，选择 B。
一、选择题 · 函数
函数 的一个单调递增区间是 (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：绝对值正弦单调性
解题过程
判断绝对值正弦单调区间
逐象限考察 |sinx|
(1)
分析候选区间
在正弦非负处 ，非正处等于 。
详细展开：选项 A 跨越零点而先降后升，B 跨越最大点而先升后降，D 从 1 降到 0，均非递增。
(2)
验证区间 C
在 上正弦从 0 降到 -1。
详细展开：其绝对值因此从 0 升到 1，严格递增，选择 C。
一、选择题 · 函数
以下四个数中的最大者是 (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：对数大小比较
解题过程
比较四个对数表达式
利用 0<ln2<1
(1)
比较三个正数
因为 ，平方会变小。
详细展开：所以 ；又 。
(2)
排除负数
，所以 。
详细展开：其余三个量为正，且其中最大的是 ，选择 D。
一、选择题 · 不等式
不等式 的解集是 (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：分式不等式
解题过程
解分式不等式
按零点和无定义点划分符号
(1)
找临界点
分子在 x=2 为零，分母在 x=-3 无定义。
详细展开：两个临界点把实轴分为 。
(2)
判断符号
分式为正要求分子分母同号。
详细展开：在两外侧区间同号，在中间异号，且临界点均不取，所以解集为 ，选择 C。
一、选择题 · 平面向量
在 中，已知 是 边上一点，若 , , 则 (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：向量分点
解题过程
由分点关系求向量系数
写 D 的位置向量
(1)
确定分点比例
表明 。
详细展开：因此 D 的位置向量为 。以 C 为共同起点可写成 。
(2)
读取系数
与题设形式逐项比较。
详细展开：得到 ，选择 A。
一、选择题 · 立体几何
已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：正三棱锥线面角
解题过程
求正三棱锥侧棱与底面角
用侧棱在底面的投影
(1)
确定投影长度
设底面边长为 a、侧棱为 2a，顶点在底面的投影为等边三角形中心 O。
详细展开：底面顶点 A 到中心的距离是外接圆半径 。侧棱 SA 在底面的正射影是 AO。
(2)
求线面角余弦
线面角为 SA 与 AO 的夹角。
详细展开：，选择 A。
一、选择题 · 导数
已知曲线 的一条切线的斜率为 , 则切点的横坐标为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
答案：A
题目标签：切线斜率
解题过程
由切线斜率求切点横坐标
令导数等于已知斜率
(1)
求导
的导数是 。
详细展开：切点横坐标为 时，切线斜率为 。
(2)
解方程
令斜率等于 1/2。
详细展开： 得 ，选择 A。
一、选择题 · 函数
把函数 的图象按向量 平移，得到 的图象，则 (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：指数图象平移
解题过程
函数图象按向量平移
横向右移替换 x
(1)
判断平移方向
向量 (2,0) 表示图象向右平移 2 个单位。
详细展开：原图上一点 变为 ，新横坐标 x=u+2，即 u=x-2。
(2)
写新函数
把原函数自变量换成 x-2。
详细展开：，选择 C。
一、选择题 · 排列组合
5 位同学报名参加两上课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 (A) 10 种 (B) 20 种 (C) 25 种 (D) 32 种
答案：D
题目标签：分组报名计数
解题过程
两组报名方法计数
每位同学独立二选一
(1)
确定单人选择数
每位同学限报且必须报两个小组之一。
详细展开：每人有 2 种选择，5 人的选择互相独立。
(2)
使用乘法原理
相乘得到全部报名函数。
详细展开：总数为 ，选择 D。
一、选择题 · 圆锥曲线
已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：椭圆离心率
解题过程
由长短轴比求离心率
统一为半轴关系
(1)
求半轴比
长轴长 是短轴长 的 2 倍。
详细展开：所以 ，且 。
(2)
计算离心率
。
详细展开：代入 得 ，选择 D。
二、填空题 · 圆锥曲线
设 分别是双曲线 的左、右焦点，若点 在双曲线上，且 , 则 (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：双曲线焦半径向量
解题过程
求垂直焦半径向量和的模
结合双曲线参数和直角三角形
(1)
确定焦距
双曲线中 。
详细展开：，所以 。点积为零说明 。
(2)
使用勾股与向量模
在直角三角形 中，。
详细展开：垂直向量和的模平方也等于两模平方之和，所以结果为 ，选择 B。
二、填空题 · 统计
一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为______.
答案：
题目标签：简单随机抽样
解题过程
简单随机抽样入样概率
利用样本容量对称性
(1)
建立等可能性
100 个个体在容量为 5 的简单随机样本中地位对称。
详细展开：每次样本恰含 5 个个体，所有个体入样概率相同，故入样概率乘以 100 等于期望入样个体数 5。
(2)
求概率
解对称概率。
详细展开：。
二、填空题 · 数列
已知数列的通项 , 则其前 项和为 ______.
答案：-(5n²+n)/2
题目标签：等差数列求和
解题过程
求等差数列前 n 项和
由通项读取首项末项
(1)
求首项
是等差数列。
详细展开：，第 n 项为 。
(2)
应用求和公式
。
详细展开：代入得 。
二、填空题 · 立体几何
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上. 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm, 那么该棱柱的表面积为______cm.
答案：2+4√2
题目标签：球内接正四棱柱
解题过程
求球内接正四棱柱表面积
由空间对角线求高
(1)
求棱柱高度
球直径等于长方体型正四棱柱的空间对角线。
详细展开：设高为 h，底面边长 1，球直径 2，故 ，得 。
(2)
计算表面积
两底面积为 2，侧面积为底面周长乘高。
详细展开：。
二、填空题 · 二项式定理
的展开式中常数项为______. (用数字作答)
答案：
题目标签：二项展开常数项
解题过程
求乘积展开常数项
分别匹配前因子的两项
(1)
求第一部分贡献
中 x 指数为 。
详细展开：与前因子 1 相乘取常数要求 k=4，贡献 。
(2)
求第二部分贡献
与 相乘需后式提供 。
详细展开： 得 k=5，贡献 。总常数项 。
三、解答题 · 数列
设等比数列 的公比 , 前 项和为 . 已知 , 求 的通项公式.
答案：an=(-2)^(n-1)/2
题目标签：等比数列通项
解题过程
由前缀和关系求等比通项
先求公比再求首项
(1)
求公比
。
详细展开：题设 ，且由 知 ，所以 ，得 q=±2。结合 q<1，取 q=-2。
(2)
求首项与通项
。
详细展开：因此 ，通项 。
三、解答题 · 解三角形
在 中，已知内角 , 边 , 设内角 , 周长为 . (1) 求函数 的解析式和定义域; (2) 求 的最大值.
答案：见解析；6√3
题目标签：三角形周长函数
解题过程
（1）建立周长函数
用正弦定理表示另外两边
(1)
确定角与边的范围
，，所以 。
详细展开：三角形内角为正给 。由正弦定理，。
(2)
写并化简周长
。
详细展开：。
（2）求周长最大值
利用余弦上界
(1)
确定最大点
余弦最大值为 1。
详细展开：定义域包含 ，此时 。
(2)
计算最大周长
代回周长函数。
详细展开：。
三、解答题 · 概率
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 . (1) 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 ; (2) 若该批产品共有 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 : “取出的 2 件产品中至少有一件二等品”的概率 .
答案：0.2；179/495
题目标签：有放回与不放回抽样
解题过程
（1）求二等品概率
用至多一件的对立事件
(1)
写两件均为二等品概率
有放回抽取使两次独立，单件二等品概率为 p。
详细展开：事件 A 的对立事件是两件均为二等品，概率为 。
(2)
解概率参数
且概率非负。
详细展开：故 。
（2）不放回抽两件至少一件二等品
使用全为非二等品的对立事件
(1)
确定产品件数
100 件中二等品比例为 0.2，故二等品 20 件，非二等品 80 件。
详细展开：不放回任取两件的总组合数为 ，两件都非二等品有 种。
(2)
计算对立概率
至少一件等于 1 减去一件也没有。
详细展开：。
解答题 · 立体几何
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 ，、 分别是 、 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 设 ，求二面角 的大小。
答案：见证明；arccos(√3/3)
题目标签：四棱锥平行与二面角
解题过程
（1）证明 EF 平行平面 SAD
建立底面与高的坐标
(1)
写中点坐标
设正方形边长为 a，取 ，。
详细展开：E、F 分别为 AB、SC 中点，所以 。
(2)
比较与平面的位置
平面 SAD 的方程为 x=0。
详细展开：直线 EF 上所有点的 x 坐标恒为 a/2，方向向量 x 分量为 0，且 EF 不在该平面内。因此 平面 SAD。
（2）求二面角 A-EF-D
用两半平面的法向或垂直截面
(1)
取单位坐标
令 a=1，题设 h=2。
详细展开：。平面 AEF 可取法向量 ，平面 DEF 可取法向量 。
(2)
计算二面角
两法向量夹角对应所求锐二面角。
详细展开：，所以 。
解答题 · 解析几何
在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切。 (1) 求圆 的方程； (2) 圆 与 轴相交于 、 两点，圆内的动点 使 、、 成等比数列，求 的取值范围。
答案：x²+y²=4；[-2,0)
题目标签：圆内等比距离点积
解题过程
（1）求相切圆方程
圆心到直线距离即半径
(1)
计算半径
圆心是原点。
详细展开：原点到直线 的距离为 ，故半径 R=2。
(2)
写圆方程
原点圆标准方程为 。
详细展开：因此圆 O 为 。
（2）求等比距离条件下点积范围
用坐标平方消去距离乘积
(1)
转化等比条件
取 ，记 。
详细展开： 成等比数列给 。平方后 ，化简得 。
(2)
确定 r² 与点积范围
，故 ，且每个值都可实现。
详细展开：，所以范围是 。
解答题 · 导数
已知函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 。 (1) 证明 ； (2) 若 ，求 的取值范围。
答案：见证明；16/7<z<8
题目标签：三次函数极值根参数
解题过程
（1）证明三次项系数为正
利用极大极小的导数变号顺序
(1)
写导函数根
，其两个不同零点依次为 。
详细展开：在 x1 取极大表示导数由正变负，在 x2 取极小表示导数由负变正。
(2)
判断开口方向
导数在两根外侧为正、两根之间为负。
详细展开：因此二次函数 f' 开口向上，其首项系数 a 必为正。
（2）求 z=a+2b 的范围
用两个导数根参数化并判断单调
(1)
由根表示参数
令 。
详细展开：比较 系数得 、。解得 ，故 。
(2)
求开矩形上的值域
该分式对 u、v 的偏导都严格为负。
详细展开：所以最大上确界在 为 8，最小下确界在 为 ；边界均不取。连续性保证中间值都取得，故 。