一、选择题 · 三角函数
( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：特殊角正弦
解题过程
求特殊角正弦
化为第三象限参考角
(1)
使用诱导公式
。
详细展开：第三象限正弦为负，所以 。
(2)
代入特殊值
。
详细展开：故结果为 ，选择 D。
返回特征解读
2007 年高考数学（大纲卷 2理科）
exams_raw/普通高考/2007/2002大纲2理(黑龙江,吉林,贵州,新疆,内蒙古,青海,云南,西藏,甘肃).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
22 题28 个小问/题组
一、选择题 · 函数
函数 的一个单调递增区间是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：绝对值正弦单调性
解题过程
判断绝对值正弦单调区间
逐象限考察 |sinx|
(1)
分析候选区间
在正弦非负处 ，非正处等于 。
详细展开：选项 A 跨越零点而先降后升，B 跨越最大点而先升后降，D 从 1 降到 0，均非递增。
(2)
验证区间 C
在 上正弦从 0 降到 -1。
详细展开：其绝对值因此从 0 升到 1，严格递增，选择 C。
一、选择题 · 复数
设复数 满足 ，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：复数方程
解题过程
解复数除法方程
移项后除以 i
(1)
解出 z
由 ，交叉相乘。
详细展开：，所以 。
(2)
化为标准形式
。
详细展开：因此 ，选择 C。
一、选择题 · 函数
以下四个数中的最大者是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：D
题目标签：对数大小比较
解题过程
比较四个对数表达式
利用 0<ln2<1
(1)
比较三个正数
因为 ，平方会变小。
详细展开：所以 ；又 。
(2)
排除负数
，所以 。
详细展开：其余三个量为正，且其中最大的是 ，选择 D。
一、选择题 · 平面向量
在 中，已知 是 边上一点，若 ，，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：向量分点
解题过程
由分点关系求向量系数
写 D 的位置向量
(1)
确定分点比例
表明 。
详细展开：因此 D 的位置向量为 。以 C 为共同起点可写成 。
(2)
读取系数
与题设形式逐项比较。
详细展开：得到 ，选择 A。
一、选择题 · 不等式
不等式 的解集为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：分式不等式
解题过程
解含二次分母的分式不等式
按三个临界点列符号
(1)
找临界点
将分母分解为 。
详细展开：零点 x=1 与无定义点 x=±2 把实轴分为四段。
(2)
判断正号区间
逐段判断三个一次因子的符号。
详细展开：分式在 与 为正，临界点均不取，所以选择 C。
一、选择题 · 立体几何
已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等，则 与侧面 所成角的正弦等于 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：正三棱柱线面角
解题过程
求正三棱柱直线与侧面夹角
用法向分量除以方向向量模
(1)
建立坐标
令底边和侧棱长均为 a。
详细展开：取 。侧面 是 y=0。
(2)
求线面角正弦
直线方向在平面法向 y 方向的分量为 。
详细展开：，故 ，选择 A。
一、选择题 · 导数
已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)
答案：A
题目标签：含对数曲线切线
解题过程
由对数曲线切线斜率求横坐标
求导并筛定义域根
(1)
列导数方程
定义域为 x>0。
详细展开：，令其等于 1/2，得 。
(2)
筛选正根
方程根为 3 与 -2。
详细展开：只有 x=3 在定义域内，选择 A。
一、选择题 · 函数
把函数 的图象按向量 平移，得到 的图象，则 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：指数图象平移
解题过程
指数图象二维平移
先右移再上移
(1)
处理横向平移
向量横分量 2 表示向右平移 2。
详细展开：原式自变量替换为 x-2，得到 。
(2)
处理纵向平移
纵分量 3 表示整体上移 3。
详细展开：所以 ，选择 C。
一、选择题 · 排列组合
从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有 ( ) (A) 40 种 (B) 60 种 (C) 100 种 (D) 120 种
答案：B
题目标签：公益活动分配
解题过程
按日期分配公益活动人员
依次选择每天人员
(1)
选择星期五人员
星期五需要从 5 人中选 2 人。
详细展开：共有 种。剩余 3 人中选 1 人参加星期六有 3 种。
(2)
选择星期日人员
星期六选完后剩 2 人可供星期日选择，另 1 人不派出。
详细展开：总数 ，选择 B。
一、选择题 · 双曲线
设 分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点 ，使 ，且 ，则双曲线离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：B
题目标签：直角焦点三角形
解题过程
由直角焦点三角形求离心率
结合距离差和勾股定理
(1)
表示两焦半径
设 ，则 。
详细展开：双曲线定义给两距离差 ，所以 r=a。于是两直角边为 a、3a。
(2)
求焦距
，斜边 。
详细展开：，故离心率 ，选择 B。
一、选择题 · 抛物线
设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点。若 ，则 ( ) (A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
答案：B
题目标签：抛物线焦点向量和
解题过程
由焦点向量和求焦半径和
把向量条件转成横坐标和
(1)
求横坐标和
抛物线焦点为 。
详细展开：设三点坐标 ，则 给出 ，所以 。
(2)
使用焦半径公式
抛物线 上点到焦点距离为 x+1。
详细展开：故三段距离和为 ，选择 B。
二、填空题 · 二项式定理
的展开式中常数项为______。（用数字作答）
答案：
题目标签：二项展开常数项
解题过程
求带负号二项展开常数项
分前因子两项计算
(1)
前因子为 1 的贡献
通项指数为 、系数符号 。
详细展开：常数要求 k=4，贡献 。
(2)
前因子为 2x² 的贡献
后式需提供 ，所以 k=5。
详细展开：贡献为 ，总常数项 。
二、填空题 · 概率
在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ()。若 在 内取值的概率为 0.4，则 在 内取值的概率为______。
答案：
题目标签：正态分布对称性
解题过程
利用正态分布对称性求区间概率
关于均值 1 镜像
(1)
找到对称区间
正态分布均值为 1，密度关于 x=1 对称。
详细展开：区间 (0,1) 关于均值的镜像是 (1,2)，两区间概率相等，均为 0.4。
(2)
合并互斥区间
连续分布在单点 x=1 的概率为零。
详细展开：因此 。
二、填空题 · 立体几何
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为______。
答案：2+4√2
题目标签：球内接正四棱柱
解题过程
求球内接正四棱柱表面积
由空间对角线求高
(1)
求棱柱高度
球直径等于长方体型正四棱柱的空间对角线。
详细展开：设高为 h，底面边长 1，球直径 2，故 ，得 。
(2)
计算表面积
两底面积为 2，侧面积为底面周长乘高。
详细展开：。
二、填空题 · 数列
已知数列的通项 ，其前 项和为 ，则 ______。
答案：
题目标签：数列和极限
解题过程
求前缀和二次尺度极限
先写 Sn 闭式
(1)
求前 n 项和
由 得 。
详细展开：。
(2)
除以 n²取极限
。
详细展开：当 n 趋于无穷时第二项趋于 0，故极限为 。
三、解答题 · 解三角形
在 中，已知内角 ，边 ，设内角 ，周长为 。 (1) 求函数 的解析式和定义域； (2) 求 的最大值。
答案：见解析；6√3
题目标签：三角形周长函数
解题过程
（1）建立周长函数
用正弦定理表示另外两边
(1)
确定角与边的范围
，，所以 。
详细展开：三角形内角为正给 。由正弦定理，。
(2)
写并化简周长
。
详细展开：。
（2）求周长最大值
利用余弦上界
(1)
确定最大点
余弦最大值为 1。
详细展开：定义域包含 ，此时 。
(2)
计算最大周长
代回周长函数。
详细展开：。
三、解答题 · 概率
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 ：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 。 (1) 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 ； (2) 若该批产品共有 100 件，从中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 的分布列。
答案：0.2；分布见解析
题目标签：超几何分布
解题过程
（1）求二等品概率
使用两次均为二等品的对立事件
(1)
列概率方程
有放回使两次抽取独立。
详细展开：至多一件二等品的对立事件是两件均为二等品，概率 ，故 。
(2)
取概率正根
概率 p 非负。
详细展开：所以 。
（2）求不放回二等品件数分布
使用超几何分布
(1)
确定取值和计数
100 件中二等品 20 件、非二等品 80 件，任取 2 件。
详细展开： 可取 0、1、2，总样本数为 ，各有利数依次为 、、。
(2)
约分概率
逐项除以 。
详细展开：得到 ，，，三者和为 1。
三、解答题 · 立体几何
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 底面 ， 分别是 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 设 ，求二面角 的大小。
答案：见证明；arccos(√3/3)
题目标签：四棱锥平行与二面角
解题过程
（1）证明 EF 平行平面 SAD
建立底面与高的坐标
(1)
写中点坐标
设正方形边长为 a，取 ，。
详细展开：E、F 分别为 AB、SC 中点，所以 。
(2)
比较与平面的位置
平面 SAD 的方程为 x=0。
详细展开：直线 EF 上所有点的 x 坐标恒为 a/2，方向向量 x 分量为 0，且 EF 不在该平面内。因此 平面 SAD。
（2）求二面角 A-EF-D
用两半平面的法向或垂直截面
(1)
取单位坐标
令 a=1，题设 h=2。
详细展开：。平面 AEF 可取法向量 ，平面 DEF 可取法向量 。
(2)
计算二面角
两法向量夹角对应所求锐二面角。
详细展开：，所以 。
解答题 · 解析几何
在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切. (1) 求圆 的方程; (2) 圆 与 轴相交于 、 两点，圆内的动点 使 、、 成等比数列，求 的取值范围.
答案：x²+y²=4；[-2,0)
题目标签：圆内等比距离点积
解题过程
（1）求相切圆方程
圆心到直线距离即半径
(1)
计算半径
圆心是原点。
详细展开：原点到直线 的距离为 ，故半径 R=2。
(2)
写圆方程
原点圆标准方程为 。
详细展开：因此圆 O 为 。
（2）求等比距离条件下点积范围
用坐标平方消去距离乘积
(1)
转化等比条件
取 ，记 。
详细展开： 成等比数列给 。平方后 ，化简得 。
(2)
确定 r² 与点积范围
，故 ，且每个值都可实现。
详细展开：，所以范围是 。
解答题 · 数列
设数列 的首项 ，，. (1) 求 的通项公式; (2) 设 ，证明 ，其中 为正整数.
答案：通项见解析；bn递增
题目标签：交错递推与单调证明
解题过程
（1）求交错线性递推通项
平移到不动点 1
(1)
构造差值递推
递推式的不动点满足 ，得 L=1。
详细展开：两边减 1 得 。
(2)
迭代通项
从首项开始迭代 n-1 次。
详细展开：，故 。
（2）证明 bn 严格递增
比较平方并因式分解
(1)
保证正值
由通项和 ，可知所有 且 ，并有 。
详细展开：所以 ，比较 即可比较 。
(2)
计算相邻平方差
令 x=a_n，则 。
详细展开：直接展开并因式分解得 。两项均正，所以 。
解答题 · 导数
已知函数 . (1) 求曲线 在点 处的切线方程; (2) 设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明：.
答案：切线见解析；-a<b<f(a)
题目标签：三次曲线三切线
解题过程
（1）求三次曲线切线方程
用导数写点斜式
(1)
求切线斜率
的导数为 。
详细展开：在横坐标 t 处的斜率为 ，切点为 。
(2)
化简点斜式
。
详细展开：展开常数项得切线方程 。
（2）由三条切线证明点坐标范围
研究切线族在 x=a 处的三次函数
(1)
建立切点参数方程
切线经过 当且仅当 。
详细展开：令 ，则可作三条不同切线等价于方程 有三个不同实根。
(2)
读取局部极值
且 。
详细展开：函数在 t=0 取局部最小值 ，在 t=a 取局部最大值 。水平线要与三次曲线有三个不同交点，必须严格位于两极值之间。