一、填空题 · 函数
方程 的解是______.
答案：
题目标签：指数方程
解题过程
解指数方程
统一为底数 3
(1)
改写右端
。
详细展开：原方程化为 ，指数函数底数相同且一一对应。
(2)
解一次方程
比较指数。
详细展开： 给出 。
返回特征解读
2007 年高考数学（上海卷文科）
exams_raw/普通高考/2007/2007上海文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
21 题27 个小问/题组
一、填空题 · 函数
函数 的反函数 ______.
答案：
题目标签：反函数
解题过程
求分式函数反函数
交换变量并解出 y
(1)
解原函数关系
令 。
详细展开：，所以 。原函数值域不含 0。
(2)
交换自变量
把输出变量改记为 x。
详细展开：，定义域 。
一、填空题 · 解析几何
直线 的倾斜角 ______.
答案：π-arctan4
题目标签：直线倾斜角
解题过程
求直线倾斜角
由斜率确定第二象限角
(1)
读取斜率
直线化为 。
详细展开：斜率 ，倾斜角范围为 。
(2)
确定角度
负斜率对应第二象限倾斜角。
详细展开：参考角为 ，所以 。
一、填空题 · 三角函数
函数 的最小正周期 ______.
答案：π
题目标签：正切函数周期
解题过程
求三角函数周期
化简为正切函数
(1)
化简乘积
在原式有意义的点 。
详细展开：。
(2)
读取最小正周期
负号不改变周期。
详细展开：正切函数最小正周期为 ，且定义域也按 π 平移保持，故 。
一、填空题 · 圆锥曲线
以双曲线 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是______.
答案：y²=12x
题目标签：双曲线焦点构造抛物线
解题过程
由双曲线焦点构造抛物线
求焦距并写标准方程
(1)
求右焦点
双曲线半轴平方为 4、5。
详细展开：，右焦点为 ，中心即抛物线顶点为原点。
(2)
写抛物线方程
顶点在原点、焦点 的抛物线为 。
详细展开：取 p=3 得 。
一、填空题 · 平面向量
若向量 的夹角为 , , 则 ______.
答案：
题目标签：向量点积
解题过程
计算向量点积
展开并使用夹角公式
(1)
展开点积
点积对减法满足分配律。
详细展开：。
(2)
代入夹角
。
详细展开：所以所求值为 。
一、填空题 · 立体几何
如图，在直三棱柱 中，, , , 则异面直线 与 所成角的大小是______. (结果用反三角函数值表示)
答案：arccos(√6/6)
题目标签：直三棱柱异面角
解题过程
求直三棱柱异面直线角
建立正交坐标比较方向向量
(1)
写方向向量
取 ，侧棱沿 z 轴且长 2。
详细展开：则 ，，AC 方向可取 。
(2)
计算锐角
异面直线角取方向向量夹角的锐角。
详细展开：，故角为 。
一、填空题 · 应用题
某工程由 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 天。四道工序的先后顺序及相互关系是： 可以同时开工； 完成后， 可以开工； 完成后， 可以开工。若该工程总时数为 9 天，则完成工序 需要的天数 最大是______.
答案：
题目标签：工程关键路径
解题过程
关键路径工期求参数
比较并行工序完成时刻
(1)
写总工期
A、B 在第 0 天同时开工，A 用 2 天，故 C 在第 2 天开工并于第 天完成。
详细展开：D 必须等 B、C 都完成，故开工时刻为 ，再用 4 天。
(2)
求最大 x
总工期为 9，故最大项必须等于 5。
详细展开： 等价于 ，所以正工期 x 最大为 3 天。
一、填空题 · 概率
在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______. (结果用数值表示)
答案：
题目标签：古典概型
解题过程
剩余数字均为奇数的概率
改为选择剩余二元组
(1)
确定样本数
随机取出三个数字等价于随机留下两个数字。
详细展开：所有剩余二元组有 个，且等可能。
(2)
计数有利情况
五个数字中奇数为 1、3、5。
详细展开：留下两个奇数有 种，所以概率为 。
一、填空题 · 复数
对于非零实数 ，以下四个命题都成立：① ；② ；③ 若 , 则 ；④ 若 , 则 . 那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是______.
答案：
题目标签：复数命题判断
解题过程
判断实数命题对复数的适用性
逐条用代数或反例检查
(1)
检查①③
复数中平方可以为 -1，模相等也不只相差符号。
详细展开：取 ，则 ，①失败；取 ，二者模相等但不满足 ，③失败。
(2)
检查②④
复数乘法仍满足交换律和分配律，且复数域无零因子。
详细展开：所以平方展开恒等式②成立； 给 ，又 a 非零，故 a=b，④成立。
一、填空题 · 平面几何
如图， 是直线 上的两点，且 . 两个半径相等的动圆分别与 相切于 点， 是这两个圆的公共点，则圆弧 与线段 围成图形面积 的取值范围是______.
答案：(0,2-π/2]
题目标签：双圆弧面积范围
解题过程
求两等圆弧围成面积范围
用圆心角参数化
(1)
建立面积公式
设每个圆半径为 r，公共点 C 取靠近 AB 的交点，并令圆心角 。
详细展开：因两圆心距离 AB=2，几何关系给 ，三角形 ABC 的高为 。每个弓形面积为 ，故 。
(2)
求单调范围
对上式求导。
详细展开：。当 时 S 趋于 0 但取不到； 时 。
二、选择题 · 复数
已知 , 且 ( 是虚数单位) 是一个实系数一元二次方程的两个根，那么 的值分别是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：实系数方程共轭根
解题过程
由实系数方程的非实根求参数
使用共轭根成对性质
(1)
建立共轭关系
实系数多项式的非实复根成共轭对。
详细展开：因此 与 必须互为共轭，实部相等、虚部相反。
(2)
读出参数
解得 a=-3、b=2。
详细展开：对应选项 A。
二、选择题 · 解析几何
圆 关于直线 对称的圆的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：对称圆
解题过程
求圆关于直线的对称圆
反射圆心并保持半径
(1)
求原圆心半径
配方得 。
详细展开：圆心为 ，半径为 。
(2)
反射圆心
点 关于 的反射点用公式计算。
详细展开：令 ，反射点为 。半径不变，故方程 ，选 C。
二、选择题 · 数列
数列 中， 则数列 的极限值 ( ) (A) 等于 0 (B) 等于 1 (C) 等于 0 或 1 (D) 不存在
答案：B
题目标签：数列极限
解题过程
判断分段数列极限
忽略有限项并求尾项极限
(1)
识别有限项影响
数列前 1000 项虽然趋向小值，但极限只由 n 无限增大时的尾项决定。
详细展开：对所有 ，。
(2)
求尾项极限
当 n 趋于无穷时 。
详细展开：因此 ，选择 B。
二、选择题 · 逻辑
设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，总可推出 成立”. 那么，下列命题总成立的是 ( ) (A) 若 成立，则 成立 (B) 若 成立，则 成立 (C) 若 成立，则当 时，均有 成立 (D) 若 成立，则当 时，均有 成立
答案：D
题目标签：数学归纳逻辑
解题过程
判断递推命题的逻辑后果
区分正向归纳与逆向推断
(1)
理解传播方向
题设只保证命题 成立时可推出 。
详细展开：所以只要某一 Pk 成立，就能向更大的下标连续传播；不能直接向前反推。
(2)
检验选项
D 中 比 更强，故 P4 成立。
详细展开：由题设反复归纳，所有 都有 。A、B、C 都错误使用了逆向或反向传播，故选 D。
三、解答题 · 立体几何
在正四棱锥 中，，直线 与平面 所成的角为 ，求正四棱锥 的体积 .
答案：2√3/3
题目标签：正四棱锥体积
解题过程
求正四棱锥体积
由线面角求高和底边
(1)
求高与投影
顶点 P 在底面的投影 O 是正方形中心。
详细展开：在直角三角形 PAO 中，，线面角 ，故 ，。
(2)
求底面积与体积
正方形外接圆半径 。
详细展开：所以底边 、底面积 2。棱锥体积 。
三、解答题 · 解三角形
在 中， 分别是三个内角 的对边. 若 , , 求 的面积 .
答案：
题目标签：半角公式与面积
解题过程
由半角余弦求三角形面积
先还原 B 的正余弦
(1)
求 B 与 A 的三角值
，三角形内角使半角为锐角。
详细展开：，故 。又 ，所以 。
(2)
应用正弦定理求面积
由正弦定理，边 c 满足 。
详细展开：面积 。代入 得 。
三、解答题 · 应用题
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34 %. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2 % (如，2003 年的年生产量的增长率为 36 %). (1) 求 2006 年全球太阳电池的年生产量 (结果精确到 0.1 兆瓦); (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42 %，到 2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平 (即年安装量不少于年生产量的 95 %)，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 (结果精确到 0.1 %)?
答案：2499.8；61.5%
题目标签：复合增长率
解题过程
（1）计算 2006 年生产量
逐年复合增长
(1)
列四年增长率
2003 至 2006 年增长率依次为 36%、38%、40%、42%。
详细展开：每年生产量以前一年为基数，所以需连乘四个增长因子。
(2)
计算并四舍五入
乘积为 2499.822528。
详细展开：精确到 0.1 兆瓦得到 2499.8 兆瓦。
（2）求安装量平均增长率下界
建立 2010 年复利不等式
(1)
写 2010 年两种量
设安装量年平均增长率为 r。
详细展开：2010 安装量为 ，生产量为 。要求前者至少为后者的 95%。
(2)
解增长率
两边除以 1420 并开四次方。
详细展开：得到 ，精确到 0.1% 为至少 61.5%。
三、解答题 · 函数
已知函数 (, 常数 ). (1) 当 时, 解不等式 ; (2) 讨论函数 的奇偶性, 并说明理由.
答案：(0,1)；分类见解析
题目标签：分式函数差与奇偶性
解题过程
（1）解函数差不等式
消去相同的多项式差
(1)
整理定义域与差式
a=2 时要同时有 、。
详细展开：。前一括号正好是 ，与右端抵消。
(2)
解符号不等式
负常数除以 为正，要求分母为负。
详细展开： 的解为 ，自动避开两个无定义点。
（2）讨论函数奇偶性
直接比较 f(-x) 与 ±f(x)
(1)
判断偶函数
定义域关于原点对称，。
详细展开： 对所有非零 x 成立当且仅当 ；此时 为偶函数。
(2)
排除奇函数并分类
若要求 ，比较得到 ，不可能对非零 x 恒成立。
详细展开：所以函数对任何 a 都不是奇函数；当 时既非奇也非偶。
三、解答题 · 数列
如果有穷数列 ( 为正整数) 满足条件 , , , , 即 (), 我们称其为“对称数列”. 例如, 数列 1, 2, 5, 2, 1 与数列 8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列”. (1) 设 是项数为 7 的“对称数列”, 其中 是等差数列, 且 . 依次写出 的每一项; (2) 设 是 49 项的“对称数列”, 其中 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列, 求 各项的和 ; (3) 设 是 100 项的“对称数列”, 其中 是首项为 2, 公差为 3 的等差数列. 求 前 项的和 ().
答案：各问见解析
题目标签：对称数列
解题过程
（1）写七项对称数列
先求等差前半再镜像
(1)
求公差
为等差，且首末为 2、11。
详细展开：公差 ，前四项为 2、5、8、11。
(2)
按中心镜像
七项对称使后三项依次复制前三项的倒序。
详细展开：数列为 2、5、8、11、8、5、2。
（2）求四十九项对称数列和
中心项一次、其余尾项成对
(1)
表示后半数列
为首项 1、公比 2 的 25 项等比数列。
详细展开：故 （）。中心项 c25 只出现一次，j≥1 的各项各与前半一项配对。
(2)
计算等比和
。
详细展开：所以 。
（3）求百项对称数列前缀和
写出前后两半通项并分段求和
(1)
写两半通项
后 50 项首项 、公差 3，所以 （51≤i≤100）。
详细展开：由对称性 ，前半得到 （1≤i≤50）。
(2)
分段求和
对 n≤50 直接求前半等差和；对 n≥51 从 继续累加。
详细展开：得到 （1≤n≤50）；（51≤n≤100）。
三、解答题 · 圆锥曲线
我们把由半椭圆 () 与半椭圆 () 合成的曲线称作“果圆”, 其中 , , . 如图, 设点 是相应椭圆的焦点, 和 分别是“果圆”与 轴的交点, 是线段 的中点. (1) 若 是边长为 1 的等边三角形, 求该“果圆”的方程; (2) 设 是“果圆”的半椭圆 () 上任意一点. 求证: 当 取得最小值时, 在点 或 处; (3) 若 是“果圆”上任意一点, 求 取得最小值时点 的横坐标.
答案：各问见解析
题目标签：果圆焦点与最近点
解题过程
（1）由焦点等边三角形确定参数
先求左椭圆焦距再求 a,b,c
(1)
写三个焦点
右半椭圆的右焦点为 ；左半椭圆的上下焦点为 ，其中 。
详细展开：等边边长 1 给 ，且 ，所以 。
(2)
求方程
由上式 ，再用 得 。
详细展开：故右半方程 （x≥0），左半方程 （x≤0）。
（2）证明左半椭圆到 M 的最近点在轴端点
把距离平方化为凹二次函数
(1)
写 M 和距离
横轴交点为 ，故 ，其中 。
详细展开：左半椭圆上 ，。于是 。
(2)
利用凹性
因为 b>c，二次项系数为负。
详细展开：凹二次函数在闭区间上的最小值必在端点取得。x=-c 对应 A1，x=0 对应 B1 或 B2，因此命题成立。
（3）求全果圆最近点横坐标
比较右半凸二次函数顶点与端点
(1)
求右半距离最小点
右半椭圆上 ，。
详细展开： 是凸二次函数，顶点横坐标 。它落在区间内当且仅当 a≤2c。
(2)
完成全局比较
当 时顶点严格在右半内部，其距离小于所有端点；当 时右半距离在 A2 最小。
详细展开：A1、A2 关于 M 等距，而 b>c 可验证此时 B1、B2 更远。因此 时唯一横坐标为 ； 时 A1、A2 同取最小，横坐标为 -c 或 a。