一、填空题 · 函数
函数 的定义域是______.
答案：(-∞,3)∪(3,4)
题目标签：对数分式定义域
解题过程
求对数分式定义域
同时限制真数和分母
(1)
限制对数真数
常用对数要求 。
详细展开：所以 。
(2)
排除分母零点
分母 不能为零。
详细展开：合并得定义域 。
返回特征解读
2007 年高考数学（上海卷理科）
exams_raw/普通高考/2007/2007上海理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
21 题27 个小问/题组
一、填空题 · 解析几何
若直线 与直线 平行，则 ______.
答案：
题目标签：平行直线参数
解题过程
由直线平行求参数
比较斜率并排除退化
(1)
求两斜率
斜率为 3。
详细展开：若 m≠0， 化为 ，斜率为 。m=0 时是竖线，不可能与 l2 平行。
(2)
解斜率方程
平行要求斜率相等。
详细展开：，故 。两直线截距不同，不会重合。
一、填空题 · 函数
函数 的反函数 ______.
答案：
题目标签：分式反函数
解题过程
求分式函数反函数
交换变量并解方程
(1)
解原关系
令 。
详细展开：，所以 ，得到 。
(2)
写反函数
交换输入输出字母。
详细展开：，定义域 ；该函数恰为自身的反函数。
一、填空题 · 函数
方程 的解是______.
答案：log_3 7
题目标签：指数换元方程
解题过程
解指数型二次方程
令 3^x 为正变量
(1)
换元因式分解
令 ，则 。
详细展开：方程化为 。
(2)
筛选并回代
t 必须为正，舍去 -1。
详细展开：，所以 。
一、填空题 · 不等式
若 ，且 ，则 的最大值是______.
答案：
题目标签：线性约束乘积最值
解题过程
线性约束下乘积最大值
构造两正数均值不等式
(1)
应用均值不等式
把约束看成正数 x 与 4y 的和。
详细展开：，故 。
(2)
检查等号
均值不等式等号要求 x=4y。
详细展开：联立 x+4y=1 得 x=1/2、y=1/8，均为正，所以上界可达。
一、填空题 · 三角函数
函数 的最小正周期 ______.
答案：π
题目标签：正弦乘积周期
解题过程
求正弦乘积周期
积化和差读取角频率
(1)
积化和差
使用 。
详细展开：得到 。
(2)
求最小正周期
常数和平移不改变周期，角频率为 2。
详细展开：非恒定余弦项的最小正周期为 。
一、填空题 · 概率
在五个数字 1, 2, 3, 4, 5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______.（结果用数值表示）
答案：
题目标签：古典概型
解题过程
剩余数字均为奇数的概率
改为选择剩余二元组
(1)
确定样本数
随机取出三个数字等价于随机留下两个数字。
详细展开：所有剩余二元组有 个，且等可能。
(2)
计数有利情况
五个数字中奇数为 1、3、5。
详细展开：留下两个奇数有 种，所以概率为 。
一、填空题 · 圆锥曲线
以双曲线 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是______.
答案：y²=12(x+3)
题目标签：双曲线焦点构造抛物线
解题过程
由双曲线中心和左焦点构造抛物线
确定顶点焦点和开口
(1)
求双曲线左焦点
。
详细展开：双曲线中心为 ，左焦点为 。题设令抛物线焦点为中心、顶点为左焦点。
(2)
写平移标准式
焦点在顶点右侧 3 个单位，故 p=3。
详细展开：以 为顶点的右开口抛物线为 。
一、填空题 · 复数
对于非零实数 ，以下四个命题都成立：① ；② ；③ 若 ，则 ；④ 若 ，则 . 那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是______.
答案：
题目标签：复数命题判断
解题过程
判断实数命题对复数的适用性
逐条用代数或反例检查
(1)
检查①③
复数中平方可以为 -1，模相等也不只相差符号。
详细展开：取 ，则 ，①失败；取 ，二者模相等但不满足 ，③失败。
(2)
检查②④
复数乘法仍满足交换律和分配律，且复数域无零因子。
详细展开：所以平方展开恒等式②成立； 给 ，又 a 非零，故 a=b，④成立。
一、填空题 · 立体几何
在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知 是两个相交平面，空间两条直线 在 上的射影是直线 ， 在 上的射影是直线 . 用 与 ， 与 的位置关系，写出一个总能确定 与 是异面直线的充分条件：______.
答案：一组相交、另一组平行
题目标签：空间投影判定异面
解题过程
给出判定异面直线的投影条件
分别排除相交与平行
(1)
用平行投影排除相交
若空间两直线相交，其公共点在任一平面上的正射影同时属于两条投影线。
详细展开：因此，只要在一个投影平面内两条投影线是不同的平行线，原直线就不可能相交。
(2)
用相交投影排除平行
两条空间平行线的正射影只能平行或重合。
详细展开：所以若另一平面内 相交，原直线不可能平行。既不相交也不平行，必为异面直线。故一个充分条件是 相交且 平行；两平面角色可互换。
一、填空题 · 解析几何
已知 为圆 上任意一点（原点 除外），直线 的倾斜角为 弧度，记 . 在右侧的坐标系中，画出以 为坐标的点的轨迹的大致图形为
答案：d=2sinθ,0<θ<π
题目标签：圆的极坐标轨迹
解题过程
把圆上点改写成极坐标轨迹
代入极坐标方程
(1)
建立 d、θ 关系
点 P 关于原点的极坐标为 。
详细展开：代入 到 ，得 。P 不是原点，所以 d>0，可约去 d。
(2)
确定参数区间与图形
d>0 要求 ，倾斜角取 。
详细展开：因此在 坐标中，轨迹是 在 上的一段正弦拱线，端点不含，最高点 。
二、选择题 · 复数
已知 ，且 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么 的值分别是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：共轭根与韦达
解题过程
由共轭根求实系数方程参数
先确定两根再用韦达
(1)
确定共轭根
两个非实根必须互为共轭。
详细展开： 与 对比得 b=2、a=-1，所以两根为 。
(2)
应用韦达定理
对 ，根和为 -p、根积为 q。
详细展开：根和 4、根积 ，故 p=-4、q=5，选择 A。
二、选择题 · 不等式
设 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是 ( ) (A) (B) (C) (D)
答案：C
题目标签：实数不等式判断
解题过程
判断含符号不确定实数的不等式
化为正分母下的差
(1)
排除符号敏感选项
a<b 但 a、b 可正可负。
详细展开：平方大小、乘以 ab 或作比值都会因符号改变，A、B、D 均可用一正一负或两个负数构造反例。
(2)
验证选项 C
比较 C 两边的差。
详细展开：，因为分母恒正。因此左边确实小于右边，选择 C。
二、选择题 · 平面向量
直角坐标系 中， 分别是与 轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形 中，若 ，则 的可能值个数是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
答案：B
题目标签：直角三角形向量分类
解题过程
统计直角三角形参数个数
按直角所在顶点分类
(1)
直角在 A 或 B
记 。
详细展开：若 A 为直角，，得 k=-6；若 B 为直角， 与 点积为 ，得 k=-1。
(2)
排除直角在 C
若 C 为直角， 与 点积为零。
详细展开：得到 ，判别式 -11<0，无实根。前两值都使三点不共线，所以共有 2 个可能值，选择 B。
二、选择题 · 逻辑
设 是定义在正整数集上的函数，且 满足：“当 成立时，总可推出 成立”. 那么，下列命题总成立的是 ( ) (A) 若 成立，则当 时，均有 成立 (B) 若 成立，则当 时，均有 成立 (C) 若 成立，则当 时，均有 成立 (D) 若 成立，则当 时，均有 成立
答案：D
题目标签：数学归纳逻辑
解题过程
判断递推命题的逻辑后果
区分正向归纳与逆向推断
(1)
理解传播方向
题设只保证命题 成立时可推出 。
详细展开：所以只要某一 Pk 成立，就能向更大的下标连续传播；不能直接向前反推。
(2)
检验选项
D 中 比 更强，故 P4 成立。
详细展开：由题设反复归纳，所有 都有 。A、B、C 都错误使用了逆向或反向传播，故选 D。
三、解答题 · 立体几何
如图，在体积为 1 的直三棱柱 中，，求直线 与平面 所成角.（结果用反三角函数值表示）
答案：arcsin(√6/6)
题目标签：直三棱柱线面角
解题过程
求直线与三棱柱侧面所成角
由体积求高再求法向分量
(1)
求棱柱高并建坐标
底面直角三角形面积为 ，体积为 1，所以侧棱高为 2。
详细展开：取 。平面 为 x=0，法向沿 x 轴。
(2)
求线面角
方向向量模为 ，在平面法向的分量绝对值为 1。
详细展开：线面角 θ 的正弦为 ，故所求角为 。
三、解答题 · 解三角形
在 中， 分别是三个内角 的对边. 若 ，求 的面积 .
答案：
题目标签：半角公式与面积
解题过程
由半角余弦求三角形面积
先还原 B 的正余弦
(1)
求 B 与 A 的三角值
，三角形内角使半角为锐角。
详细展开：，故 。又 ，所以 。
(2)
应用正弦定理求面积
由正弦定理，边 c 满足 。
详细展开：面积 。代入 得 。
三、解答题 · 应用题
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34 %. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2 %（如，2003 年的年生产量的增长率为 36 %）. (1) 求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）； (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42 %，到 2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95 %），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1 %）？
答案：2499.8；61.5%
题目标签：复合增长率
解题过程
（1）计算 2006 年生产量
逐年复合增长
(1)
列四年增长率
2003 至 2006 年增长率依次为 36%、38%、40%、42%。
详细展开：每年生产量以前一年为基数，所以需连乘四个增长因子。
(2)
计算并四舍五入
乘积为 2499.822528。
详细展开：精确到 0.1 兆瓦得到 2499.8 兆瓦。
（2）求安装量平均增长率下界
建立 2010 年复利不等式
(1)
写 2010 年两种量
设安装量年平均增长率为 r。
详细展开：2010 安装量为 ，生产量为 。要求前者至少为后者的 95%。
(2)
解增长率
两边除以 1420 并开四次方。
详细展开：得到 ，精确到 0.1% 为至少 61.5%。
三、解答题 · 函数
已知函数 (, 常数 ). (1) 讨论函数 的奇偶性，并说明理由; (2) 若函数 在 上为增函数，求 的取值范围.
答案：分类见解析；a≤16
题目标签：分式函数奇偶与单调
解题过程
（1）讨论函数奇偶性
比较 f(-x) 与 f(x)
(1)
判断偶性
定义域 关于原点对称。
详细展开：。它与 恒等当且仅当 a=0，此时函数是偶函数。
(2)
排除奇性并分类
会要求 对所有非零 x 成立，不可能。
详细展开：所以任何 a 下都不是奇函数；a≠0 时既非奇也非偶。
（2）求区间递增的参数范围
让导数在 x≥2 恒非负
(1)
求导并转化条件
。
详细展开：在 x≥2 上分母为正，且分子 随 x 递增，最小值出现在 x=2。
(2)
求参数并验证边界
单调递增要求 ，故 。
详细展开：得到 。当 a=16 时只在端点导数为零、其后为正，函数仍严格递增，因此边界可取。
三、解答题 · 数列
如果有穷数列 ( 为正整数) 满足条件 , 即 (), 我们称其为“对称数列”. 例如，由组合数组成的数列 就是“对称数列”. (1) 设 是项数为 7 的“对称数列”，其中 是等差数列，且 . 依次写出 的每一项; (2) 设 是项数为 (正整数 ) 的“对称数列”，其中 是首项为 50，公差为 -4 的等差数列. 记 各项的和为 . 当 为何值时， 取得最大值？并求出 的最大值; (3) 对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列”，使得 依次是该数列中连续的项; 当 时，求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 .
答案：各问见解析
题目标签：对称数列综合
解题过程
（1）写七项对称数列
求等差前半并镜像
(1)
求前四项
首项 2、第四项 11 给公差 3。
详细展开：所以前四项为 2、5、8、11。
(2)
补成对称数列
后三项是前三项倒序。
详细展开：完整数列为 2、5、8、11、8、5、2。
（2）求对称等差数列和最大值
中心项一次、其余后半项成对
(1)
写总和关于 k 的式子
为 k 项等差数列，。
详细展开：中心项 c_k=50 只出现一次，其余 j=1 至 k-1 的项各出现两次，故 。
(2)
求整数最大点
该二次函数开口向下，对称轴为 。
详细展开：k=13 是允许的整数，最大值为 。
（3）枚举全部幂块对称数列并求前缀和
利用镜像块至多重叠一个中心项
(1)
列出四种数列
记 ，。
详细展开：幂值互异，给定连续块与其镜像最多只能在一个中心项重叠；项数又不超过 2m。因此全部可能恰为 、（各 2m 项），以及 、（各 2m-1 项）。
(2)
求 m≥2008 时前 2008 项
此时前缀尚未越过每种数列的第一块。
详细展开：两种以 U 开头的和均为 ；两种以 R 开头的和均为 。
(3)
求 1500<m<2008 时前缀
前 2008 项跨过第一块，分别累加相应镜像段。
详细展开：按上述四种顺序， 依次为 ，，，。
三、解答题 · 圆锥曲线
我们把由半椭圆 () 与半椭圆 () 合成的曲线称作“果圆”，其中 . 如图，设点 是相应椭圆的焦点， 和 分别是“果圆”与 轴的交点. (1) 若 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程; (2) 当 时，求 的取值范围; (3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦. 试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 值; 若不存在，说明理由.
答案：各问见解析；k=0
题目标签：果圆轴长与弦中点
解题过程
（1）由焦点等边三角形求果圆方程
计算三个半轴参数
(1)
求 b、c
右半椭圆焦点 ，左半椭圆焦点 。
详细展开：等边边长 1 给 且 ，故 。
(2)
求 a 并写分段方程
。
详细展开：所以果圆为右半 、左半 。
（2）由轴截距不等式求 b/a 范围
无量纲化后平方
(1)
写轴长条件
横轴两交点为 ，纵轴两交点为 。
详细展开：所以条件是 。令 ，则 ；又 b>c 给 。
(2)
解不等式
在该范围内 ，可安全平方。
详细展开： 化为 。结合固有限制得到 。
（3）研究平行弦中点轨迹
证明仅水平弦给出椭圆轨迹
(1)
验证 k=0
水平线 与果圆左右半各交一点。
详细展开：令 ，两端横坐标为 与 ，中点 。因此 ，中点轨迹落在一个椭圆上。
(2)
排除 k≠0
任意非零有限斜率 k 都是右半光滑椭圆弧某点的切线斜率。
详细展开：取与该切线平行且稍向内的直线，会在右半椭圆上产生两个交点；随截距连续变化，这些弦的中点在直线 上形成一段非退化线段。非退化椭圆与一条直线至多有两个交点，不可能包含整段直线，因此 k≠0 均不合格。
(3)
给出唯一结论
水平弦已经构造出所需椭圆，其他实斜率全部排除。
详细展开：所以所有可能的斜率只有 。