目标函数 w=xy。分别在三条线段上求该函数的最大值，然后比较。
详细展开：
1. 在边 AB 上：xin[0,4]，y=41x+1。
w=x(41x+1)=41x2+x。
在 [0,4] 上单调递增。
最大值在 x=4 处，w=4(2)=8。点 (4,2)。
2. 在边 AC 上：xin[0,2]，y=25x+1。
w=x(25x+1)=25x2+x。
在 [0,2] 上单调递增。
最大值在 x=2 处，w=2(6)=12。点 (2,6)。
3. 在边 BC 上：xin[2,4]，y=−2x+10。
w=x(−2x+10)=−2x2+10x。
这是开口向下的抛物线，对称轴 x=2(−2)−10=410=2.5。
x=2.5 在区间 [2,4] 内。
故最大值在顶点处取得。
wmax=−2(2.5)2+10(2.5)=−12.5+25=12.5。
此时 y=−2(2.5)+10=5。
点 P(2.5,5) 即 (25,5)？
等等，重新计算 y 值：
y=−2(25)+10=−5+10=5。
点为 (25,5)。
让我们复核一下点是否在 BC 上：
B(4,2),C(2,6)。中点是 (3,4)。x=2.5 靠近 C。
w=2.5times5=12.5。
比较三个最大值：
AB段最大 8。
AC段最大 12。
BC段最大 12.5。
全局最大值为 12.5，对应点 (25,5)。
等等，我需要再次检查 AC 边的计算。
A(0,1),C(2,6)。
x=2,y=6Rightarroww=12。
BC 边：
x=2.5,y=5Rightarroww=12.5。
12.5>12。
再检查一遍 BC 直线方程：
B(4,2),C(2,6)。
k=−2。
y−2=−2(x−4)Rightarrowy=−2x+10。
x=2Rightarrowy=6 (C点)。
x=4Rightarrowy=2 (B点)。
正确。
再检查 AC 直线方程：
A(0,1),C(2,6)。
k=2.5。
y=2.5x+1。
x=2Rightarrowy=6。
正确。
再检查 AB 直线方程：
A(0,1),B(4,2)。
k=0.25。
y=0.25x+1。
x=4Rightarrowy=2。
正确。
比较：
顶点 C(2,6): w=12。
BC 中点附近极值点 (2.5, 5): w=12.5。
显然 12.5>12。
所以最大值点是 (25,5)。
**自我纠错**：
让我重新看一眼题目中的点坐标。
A(0,1),B(4,2),C(2,6)。
我的计算：
BC段 w=−2x2+10x。顶点 x=2.5。y=5。w=12.5。
AC段 w=2.5x2+x。增函数。x=2,w=12。
AB段 w=0.25x2+x。增函数。x=4,w=8。
有没有可能我在 AC 段的单调性判断错了？
w′=5x+1>0 for x>0。没错，单调增。
有没有可能 BC 段的顶点不在区域内？
xin[2,4]。2.5in[2,4]。在区域内。
所以答案应该是 (25,5)。
但是，通常这类题目的答案会是分数形式。(2.5,5) 即 (25,5)。
让我再次确认 C 点坐标是 (2,6) 吗？是的。
B 点 (4,2) 吗？是的。
等等，我是否看错了 w=xy 的最大值位置？
双曲线 xy=k 与线段相切时 k 最大。
对于 BC: xy=x(−2x+10). Max at x=2.5. Value 12.5.
对于 AC: xy=x(2.5x+1). Max at endpoint x=2. Value 12.
对于 AB: xy=x(0.25x+1). Max at endpoint x=4. Value 8.
最大值确实是 12.5，点为 (2.5,5)。
**最终确认**：
点 P 的坐标是 (25,5)。
