结合正三角形的对称性，画出三条垂直平分线，观察它们截正三角形所得的区域。
详细展开：
设正三角形边长为 a。中心 P0 到顶点的距离为 R=33a。
线段 P0P1 的中点记为 M1。P0P1 的垂直平分线 L1 过 M1 且垂直于 P0P1（即垂直于角平分线/中线）。
由于对称性，这三条垂直平分线 L1,L2,L3 会围成一个围绕中心 P0 的多边形。
让我们考察这些线与三角形边的交点。
实际上，对于正三角形，P0Pi 的垂直平分线恰好经过相邻两边的中点吗？
不完全是。让我们更精确地构建。
考虑 P0P1 的中垂线。它垂直于 P0P1。在正三角形中，P0P1 落在高线上。所以中垂线平行于底边 P2P3 吗？不对，P0P1 是从中心指向顶点，中垂线垂直于这个半径。
更直观的方法是利用 Voronoi 图的性质。对于正多边形，中心到各顶点距离相等。区域 S 实际上是正三角形的内心（也是重心）的 Voronoi 单元与三角形的交集。
但在本题中，比较对象是 P0 和 Pi。这实际上是划分平面为“离 P0 更近”和“离 Pi 更近”的区域。
三条中垂线相交形成的图形是一个正六边形吗？
让我们检查边界。L1 垂直平分 P0P1。L2 垂直平分 P0P2。L3 垂直平分 P0P3。
这三条线两两相交，且由于旋转对称性，交点到 P0 距离相等。
关键在于这些交点是否在三角形内部，以及区域是否被三角形的边截断。
事实上，对于正三角形，P0 到边的距离 r=63a，到顶点距离 R=33a=2r。
P0P1 的中点 M1 到 P0 的距离是 R/2=r。也就是说，P0P1 的中垂线经过距离中心 r 的位置。
值得注意的是，正三角形各边中点到中心的距离正是 r。而且，连接中心与各边中点的线段垂直于各边。但是 P0P1 是指向顶点的。
P0P1 的方向是竖直向上（假设 P1 在上）。其中垂线是水平的。这条水平线穿过 P0P1 的中点。该中点高度为 R/2。而三角形底边到中心距离为 r=R/2。这意味着 P0P1 的中垂线恰好经过 P2P3 边上的高线的中点？不，它平行于 P2P3 且位于 P0 和 P1 之间。
等等，让我们重新画图。
P0 是原点。P1 在 y 轴正向。P0P1 中垂线是 y=R/2 的直线（局部坐标）。
这条线截断了靠近 P1 的角。
同理，其他两条中垂线截断了靠近 P2,P3 的角。
剩下的区域是中间的部分。
这个中间部分由 6 条线段围成：3 条来自中垂线在三角形内部的部分，以及... 等等，中垂线本身是无限长的直线。我们需要看它与三角形 D 的交集。
实际上，满足 ∣PP0∣⩽∣PPi∣ 对所有 i 成立的区域，就是正三角形的**内切圆**吗？不是。
如果是内切圆，边界是圆弧。这里边界是直线段（垂直平分线的一部分）。
这三条垂直平分线围成的是一个正六边形吗？
在正三角形中，三边的垂直平分线交于一点。但这里是 P0Pi 的垂直平分线。
这三条线围成的区域是一个正六边形。为什么？
因为每条中垂线都会切割掉一个顶点附近的区域。但是，由于 P0 是中心，这些中垂线并不一定完全在三角形内部形成封闭图形而不受三角形边界影响。
然而，有一个经典结论：正 n 边形中心到各顶点连线的中垂线，在 n=3 时，围成的区域是一个正六边形。具体来说，这个六边形的顶点分别是三角形三边的中点和三条中线的中点（即 P0Pi 的中点）？
让我们验证顶点。L1 (P0P1 中垂线) 与 L2 (P0P2 中垂线) 的交点 K。K 到 P0,P1,P2 等距。即 K 是 △P0P1P2 的外心。
由于 △P0P1P2 是等腰三角形（P0P1=P0P2），其外心位于底边 P1P2 的垂直平分线上，也就是 P3P0 所在的直线上吗？不，是在 P1P2 中垂线上。
实际上，对于正三角形，这六个点（三边中点 + 三条线段 P0Pi 的中点）并不共圆，也不构成正六边形的顶点。
修正思路：
集合 S 是凸集。边界由线段组成。
考虑对称性，区域关于三条中线对称。
边界由 6 段组成：每两个相邻的约束条件（如 i=1 和 i=2）的边界线 L1,L2 的交点如果在区域内，则成为顶点。
L1 和 L2 的交点 V12 满足 ∣V12P0∣=∣V12P1∣=∣V12P2∣。这意味着 V12 是 △P0P1P2 的外接圆圆心。
因为 ∠P1P0P2=120∘，所以 △P0P1P2 是顶角 120∘ 的等腰三角形。
其外心 V12 位于 P1P2 的垂直平分线上，且在 P0 的另一侧（相对于 P1P2）？不，外心在三角形外部还是内部？
钝角三角形的外心在外部。△P0P1P2 中 ∠P0=120∘，所以外心 V12 在 P1P2 边的外侧，也就是在正三角形 P1P2P3 的边 P1P2 的外侧。
这意味着 L1 和 L2 的交点在三角形 D **外部**。
因此，在三角形 D 内部，有效的边界不是 L1 和 L2 的交点，而是它们与三角形边界的交点，或者是与其他中垂线的交点？
既然交点在外部，那么在三角形内部，起作用的边界仅仅是中垂线被三角形截得的线段。
但是，如果是这样，区域将由 L1,L2,L3 以及三角形的边围成吗？
不，条件是 P∈D **且** 满足三个不等式。
如果 L1,L2 交点在 D 外，说明在 D 内，L1 和 L2 没有相交形成“尖角”，而是被三角形的边 P1P2 截断？
让我们检查 L1 与边 P1P2 的关系。
L1 垂直平分 P0P1。它经过 P0P1 中点 M1′。M1′ 在中线上。
L1 也经过 P1P3 的中点吗？
在 △P1P3P0 中，P0P1=P0P3。P1P3 的中点 K2 到 P1,P3 距离相等。但 K2 到 P0 的距离呢？
这是一个经典模型：正三角形内到中心距离小于到顶点距离的区域是**正六边形**。
这个正六边形的顶点分别是：三边的中点，以及三条中线（从顶点到对边中点）上靠近中心的三等分点？不。
让我们回顾标准结论：
对于正三角形，满足 ∣PP0∣⩽min(∣PP1∣,∣PP2∣,∣PP3∣) 的点集是一个正六边形。
其顶点为：
1. 三边的中点（例如 P1P2 的中点 M3）。验证：∣M3P0∣=r。∣M3P1∣=a/2。因为 r=63a≈0.288a，a/2=0.5a。r<a/2 成立。且 M3 在 P1P2 中垂线上，所以 ∣M3P1∣=∣M3P2∣。那 ∣M3P0∣⩽∣M3P3∣ 吗？M3 是 P1P2 中点，P3M3 是高。∣M3P3∣=23a。显然 r<∣M3P3∣。所以边中点在区域内，且是边界点吗？
实际上，边界是由 P0Pi 的中垂线构成的。这些中垂线两两相交于三角形外。因此，在三角形内部，这些中垂线互不相交。那么区域是如何封闭的？
啊，我之前的推导有误。L1 和 L2 的交点确实在外部。但是 L1 会与 L3 相交吗？同样在外部。
这意味着在三角形内部，这三条直线没有围成封闭多边形？
不对。让我们看 L1（P0P1 中垂线）。它将三角形分为两部分。靠近 P0 的部分保留。
这三条线切割了三角形的三个角。
切去角 P1 的是 L1 吗？不，L1 垂直于 P0P1。P0P1 是中线的一部分。所以 L1 垂直于中线。它切去的是包含 P1 的那个梯形或三角形部分？
L1 截 P1P2 于某点，截 P1P3 于某点。
由于对称性，这三条线截出的图形是一个六边形。
顶点包括：
- L1 与 P1P2 的交点
- L1 与 P1P3 的交点
- L2 与 P2P1 的交点
- L2 与 P2P3 的交点
- ...
等等，L1 和 L2 在 P1P2 边上相交吗？
L1 是 P0P1 中垂线。L2 是 P0P2 中垂线。
它们在 P1P2 的垂直平分线上相交。交点是 △P0P1P2 外心，在 P1P2 外侧。
所以在边 P1P2 上，L1 和 L2 没有交点。
但是，区域 S 必须同时满足三个条件。
在边 P1P2 附近，限制主要来自 L1 和 L2 吗？
其实，正三角形内满足条件的区域确实是正六边形。其顶点是三边的中点以及... 不，顶点就是三边的中点和...？
正确答案是：该区域是正六边形。其顶点分别为三角形三边的中点，以及三角形三条高的中点（即 P0 到各边垂足的中点？不，是 P0 到顶点连线的中点？也不对）。
让我们直接引用经典几何结论：正三角形内到中心距离不大于到顶点距离的点集构成一个正六边形。这个六边形的面积是三角形面积的 2/3（或者是其他比例，但这不影响形状判断）。
形状判定：六边形。
