exams_raw/普通高考/2009/2009北京理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 复数
答案：(B)
题目标签：复数的代数运算与几何意义
将复数化为代数形式 ，判断点 所在象限
利用虚数单位 的性质 进行乘法展开和合并同类项。
详细展开： 给定复数 。 根据分配律展开： 因为 ，所以： 此时复数已化为标准代数形式 ，其中实部 ，虚部 。
根据实部和虚部的正负号确定点在复平面内的位置。
详细展开： 由上一步可知，复数 对应的点坐标为 。 实部 ，虚部 。 在平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限。 因此，该点位于第二象限。
一、选择题 · 平面向量
答案：(D)
题目标签：向量共线的条件与方向判断
利用向量共线定理求出 ，代入验证方向关系
根据向量共线（平行）的定义，存在实数 使得 ，结合基底向量不共线的性质求解。
详细展开： 已知 ，，且 。 由向量共线定理，存在唯一实数 使得： 代入表达式： 移项整理得： 因为 不共线，根据平面向量基本定理， 线性无关，故其系数必须均为零： 解得：
将求得的 值代回共线关系式，根据 的正负判断同向或反向。
详细展开： 由上一步知 ，即： 因为比例系数 ，所以向量 与 方向相反（反向）。 若 则同向， 则反向。 综上， 且 与 反向。
一、选择题 · 函数与图象
答案：(C)
题目标签：对数函数的图象变换
将目标函数变形为基本初等函数经过平移后的形式
利用对数的运算性质，将复合的对数式拆解为基本对数函数与常数的和。
详细展开： 目标函数为 。 根据对数除法法则 ，可得： 因为 ，所以： 基准函数为 。
根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”确定具体变换步骤。
详细展开： 从 变换到 ： 1. **左右平移**：自变量 变为 。根据“左加右减”原则， 表示向左平移 3 个单位长度。此时得到 。 2. **上下平移**：函数值整体减去 1。根据“上加下减”原则， 表示向下平移 1 个单位长度。此时得到 。 综合起来：向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度。
一、选择题 · 立体几何
答案：(D)
题目标签：正四棱柱中的线面角与距离
利用线面角定义求出侧棱长，进而确定面面距离
找出直线 在底面 上的射影，确定线面角，从而解三角形求侧棱长。
详细展开： 在正四棱柱 中，侧棱 底面 。 因此， 在底面上的射影是 ， 在底面上的射影是 自身。 所以，直线 在底面 上的射影是直线 。 线面角即为直线 与其射影 的夹角，即 。 根据题意，。 在 中，，底面边长 。 所以，正四棱柱的高（侧棱长）为 。
分析直线 与底面 的位置关系，将线面距离转化为点面距离或棱长。
详细展开： 在正四棱柱中，上底面 平行于下底面 。 直线 位于上底面内，因此 底面 。 直线到平行平面的距离等于直线上任意一点到该平面的距离。 取点 ，它到底面 的距离即为侧棱 的长度。 因为是正四棱柱，。 所以， 到底面 的距离为 。
一、选择题 · 常用逻辑用语与三角函数
答案：(A)
题目标签：三角方程与充分必要条件
分别验证条件 能否推出结论 ，以及结论 能否推出条件
假设条件成立，代入结论验证是否恒成立。
详细展开： 条件 : ()。 结论 : 。 若 成立，则： 计算余弦值： 由于余弦函数周期为 ，且 是 的整数倍，故： 结论 成立。 所以，，充分性成立。
假设结论成立，求解 的通解，看是否一定能得到条件的形式。
详细展开： 若 成立，即 。 由余弦方程通解公式： 解得 ： 这个解集包含两部分： 1. 2.
而条件 给出的集合是 。 显然，结论 的解集比条件 的集合大。例如，当 时， 满足 ，但不满足 （ 要求系数是 且符号为正，或者说 只是 解集的一个真子集）。 更简单地，取 ，则 ，，满足 。但 。 所以，，必要性不成立。
一、选择题 · 代数/二项式定理
答案：(C)
题目标签：二项式定理展开求系数和
利用二项式定理展开 ，确定有理部分 和无理部分系数 ，进而求和。
本步旨在将 按照二项式定理完全展开，分离出含有 的项和不含 的项。
详细展开： 根据二项式定理，。 令 ，则有： 我们需要逐项计算组合数和幂次： 1. : 2. : 3. : 4. : 5. : 6. :
本步将上一步展开的结果中有理数部分和无理数部分分别合并，从而确定 和 的值。
详细展开： 将上述六项相加： 分组整理： 有理部分（不含 ）： 无理部分系数（含 ）： 因此： 根据题设 ，且 为有理数，由唯一性可知： 最后计算 ：
一、选择题 · 计数原理
答案：B（328）
题目标签：无重复三位偶数计数
选择正确选项
首位不能为零，而个位必须是偶数。
详细展开：个位为 0 时，百位有 9 种、十位有 8 种，共 种；个位为非零偶数时有 4 种选择。
个位非零时百位排除零和个位，十位再排除已用数字。
详细展开：第二类有 种，总数 。
一、选择题 · 解析几何
答案：A
题目标签：抛物线等距弦
判断直线上 A 点的个数
对任意 ，令抛物线上点 A 为 PB 的中点。
详细展开：设 ，则 。要求 B 也在 上。
所得方程对每个 p 都有两个实根。
详细展开：整理为 ，判别式为 。故直线 上每个 P 都能构造不同的 A、B。
二、填空题 · 极限
答案：
题目标签：根式极限
计算极限
先提取 x，再对根式差有理化。
详细展开：。
化简后分母在 x=1 处非零。
详细展开：直接令 ，得到 。
二、填空题 · 不等式
答案：
题目标签：线性规划最小值
求 y-x 的最小值
由 ，固定 x 时目标随 y 增大而增大。
详细展开：最优点可取 。再结合 ，有 。
验证下界对应点满足全部约束。
详细展开：取 ，则 、、 均成立，且 。
二、填空题 · 导数
答案：
题目标签：偶函数的导数
求对称点切线斜率
由 对 x 求导。
详细展开：链式法则给出 ，所以偶函数的导函数是奇函数。
把 x=1 代入导数奇偶关系。
详细展开：已知 ，故 ，这就是所求切线斜率。
二、填空题 · 解析几何
答案：2；2π/3
题目标签：椭圆焦点三角形
求另一焦半径及焦点张角
先由两条焦半径之和等于长轴长求未知边。
详细展开：椭圆半长轴为 ，故 。已知 ，立即得到 。
再在焦点三角形中利用焦距确定夹角。
详细展开：半焦距 ，所以 。在三角形 中，。
二、填空题 · 函数
答案：
题目标签：分段函数不等式
求绝对值不等式解集
当 时解 。
详细展开：该不等式等价于 ；结合 得 。
当 时指数函数单调递减。
详细展开： 等价于 ，结合 得 。两段并集为 。
二、填空题 · 数列
答案：1；0
题目标签：递归数列取值
求两个指定项
奇数按模 4 直接由定义读取。
详细展开：，即形如 ，所以 。
偶数下标反复使用 。
详细展开：，而 ，形如 ，所以其值为 0。
三、解答题 · 三角函数
答案：(3+4√3)/10；(36+9√3)/50
题目标签：解三角形
利用角和公式
A 为三角形内角且余弦为正。
详细展开：由 得 。又 ，所以 。
代入 的正余弦。
详细展开：。
由正弦定理求邻边
正弦定理中的公共比为 。
详细展开：所以 ，。
边 a、c 的夹角为 B。
详细展开：。
三、解答题 · 立体几何
答案：见证明；arcsin(√2/4)；存在，PE:EC=4:3
题目标签：三棱锥垂直与二面角
证明 BC 垂直平面 PAC
题设给出 PA 垂直整个底面。
详细展开：因为 平面 ，所以 ；又 ，所以 。
BC\perp PA,\quad BC\perp AC
PA 与 AC 在平面 PAC 内相交于 A。
详细展开：一条直线同时垂直平面内两条相交直线，故 平面 。
D 为 PB 中点时求角
设 ，取 。
详细展开：由直角三角形角度可取 ，于是 。平面 PAC 的单位法向量可取 。
线面角正弦等于方向向量在法向上的投影比。
详细展开：，且 ，故 。
寻找满足条件的 E
令 ，则 DE 自动平行 BC。
详细展开：在上述坐标中，、，其中 。
二面角为直角等价于平面 ADE 与 PDE 的法向量点积为零。
详细展开：分别取法向量 与 ，点积化简为常数倍 。故唯一内点参数为 ，确实存在。
三、解答题 · 概率
答案：4/27；分布列见解析，期望8/3
题目标签：二项分布与停车时间
求第三个路口首次遇红灯的概率
首次在第三个路口遇红灯要求前两次均非红灯。
详细展开：每个路口非红灯概率是 ，第三个路口红灯概率是 ，且三次相互独立。
独立事件同时发生的概率相乘。
详细展开：把三个因子相乘，得到 。第四个路口的结果不影响“到第三个路口时首次遇到”的事件。
求 ξ 的分布列与期望
令 为四个路口的红灯数，则 且 。
详细展开：因此 可取 ，概率依次为 。
展开二项概率并利用期望的线性变换。
详细展开：概率依次为 除以 81；。
三、解答题 · 导数
答案：y=x；分类见解析；[-1,0)∪(0,1]
题目标签：指数型函数导数
求原点处切线方程
与 直接决定切线。
详细展开：；，所以 。
切线过原点且斜率为 1。
详细展开：由 得 。
按 k 的符号分类
指数因子恒正，导数符号由 决定。
详细展开：唯一临界点为 。当 时导数先负后正；当 时先正后负。
根据一次因子的方向读取符号。
详细展开： 时在 递减、 递增； 时两区间的单调性相反。
使函数在 (-1,1) 递增
线性因子须在整个开区间内不变负。
详细展开：若 ，最小值趋近 ，需 ；若 ，最小值趋近 ，需 。
题设规定 k 不等于 0，端点只在区间端部使导数趋于零，仍严格递增。
详细展开： 时开区间内导数仍为正；删除 即得最终范围。
三、解答题 · 解析几何
答案：x²-y²/2=1；π/2
题目标签：双曲线与切线定角
求双曲线方程
使用 和右准线 。
详细展开：，而 ，所以 、。
双曲线满足 。
详细展开：，因此标准方程为 。
证明圆的切线所截双曲线弦对原点张直角
圆上点 满足 ，切线为 。
详细展开：设过 O 的射线斜率为 ，即 。它与切线交点横坐标为 。
把交点还需位于双曲线的条件化为关于 t 的二次方程。
详细展开：代入 得 。两根积为 ，故 。
三、解答题 · 集合与证明
答案：否、是；见证明
题目标签：有限数集性质 P
判断两个给定数集
只需找到一对反例即可否定。
详细展开：在 中取 3 与 4，乘积 12、商 都不在集合中，所以不具有性质 P。
含 1 的配对自动满足，检查 2、3、6 之间即可。
详细展开：，，；相同元素之商为 1。故所有配对都满足。
证明 a1=1 及给定比值
对最大元 与自身使用性质 P。
详细展开：，不可能属于 A，因此 必须属于 A；按升序即 。
对每个 与 使用性质。
详细展开：当 时 ，故 。这些商严格倒序，且连同 恰为全体 A，所以 。于是 。
证明五个数构成等比数列
把第二问的倒序对应专用于 n=5。
详细展开：记 。则 、，因为 。
对 x、y 应用性质 P 可强制相邻比相同。
详细展开：商 若属于 A，只能等于 x；积 若属于 A，也只能等于 。两种情况都给 。故五项为 。