目标函数 z=x+y 可以变形为 y=−x+z。这是一组斜率为 −1 的平行直线，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距。我们需要找到这组直线与可行域有公共点时，截距 z 的最大值和最小值。
详细展开：
1. 分析最小值：
我们要找最小的截距 z。想象一条斜率为 −1 的直线从下方往上平移，直到第一次接触到可行域。
可行域的“底部”边界主要由线段 AB 以及相关的射线构成。我们需要比较顶点处的 z 值以及边界趋势。
计算顶点 A(1,2) 处的 z 值：zA=1+2=3。
计算顶点 B(2,0) 处的 z 值：zB=2+0=2。
我们需要确认是否还有更小的值。考察可行域的边界方向：
- 边界 l1 (2x+y=4) 的斜率是 −2。目标函数斜率 −1。因为 −2<−1，所以在 AB 线段上，随着 x 增加（从 1 到 2），y 减小得更快，但 z=x+y 的变化取决于具体组合。在线段 AB 上，y=4−2x，则 z=x+(4−2x)=4−x。因为 x∈[1,2]，所以 z∈[2,3]。在此线段上，最小值为 2（在 B 点），最大值为 3（在 A 点）。
- 接下来看从 B(2,0) 出发的边界。B 是 l1 和 l3 的交点。可行域在 l3 (x−2y⩽2⇒y⩾21x−1) 的上方。从 B 点往右，x 增大，y 至少为 rac12x−1。此时 z=x+y⩾x+21x−1=23x−1。当 x>2 时，z>23(2)−1=2。所以沿此方向 z 增大。
- 再看从 A(1,2) 出发的边界。A 是 l1 和 l2 的交点。可行域在 l2 (x−y⩾−1⇒y⩽x+1) 的下方。同时受 l1 (2x+y⩾4) 限制。但在 A 点右侧，l1 不再是紧约束（因为内部区域满足 2x+y>4），主要的边界约束变成了 l2 和 l3 形成的开口？不，让我们重新审视可行域的连通性。
可行域是由 A(1,2) 和 B(2,0) 连线，以及从 A 沿 l2 往右上（x 增，y 增）和从 B 沿 l3 往右（x 增，y 增较慢）围成的吗？
检查点 (3,1)：
2(3)+1=7⩾4 (OK)
3−1=2⩾−1 (OK)
3−2(1)=1⩽2 (OK)
点 (3,1) 在可行域内。z=4。
检查点 (10,5)：
20+5=25⩾4 (OK)
10−5=5⩾−1 (OK)
10−10=0⩽2 (OK)
点 (10,5) 在可行域内。z=15。
由此可见，z 可以无限增大，因此**无最大值**。
关于最小值：
我们已经知道在顶点 B(2,0) 处 z=2，在 A(1,2) 处 z=3。
由于可行域在 l1:2x+y=4 的右上方，且目标函数梯度 (1,1) 与 l1 法向量 (2,1) 夹角为锐角，或者直接通过代数推导：
在可行域内，必须满足 2x+y⩾4 和 x−2y⩽2 以及 x−y⩾−1。
我们已知在线段 AB 上 z 的最小值是 2。
在可行域的其他部分，例如 x>2 的区域，前面推导了 z⩾23x−1>2。
那 x<1 的区域呢？
如果 x<1，由 x−y⩾−1⇒y⩽x+1<2。
由 2x+y⩾4⇒y⩾4−2x。
所以需要 4−2x⩽y⩽x+1。
这意味着 4−2x⩽x+1⇒3⩽3x⇒x⩾1。
这与假设 x<1 矛盾。说明可行域中不存在 x<1 的点。
因此，可行域的 x 范围是 x⩾1。
既然 x⩾1，且在 x∈[1,2] 时，可行域被夹在 l1 和 l2/l3 之间，最小值必然出现在边界顶点或边上。经比较，B(2,0) 给出最小值 2。
结论：z 有最小值 2，无最大值。
