一、选择题 · 集合
已知集合 , , 则 (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：集合补集与交集
解题过程
集合运算
选择交集
(1)
求补集
先从自然数中排除 B。
详细展开：A 中属于 B 的元素是 3、9，因此它们不在 中。
(2)
写交集
只保留 A 中不属于 B 的元素。
详细展开：故 。
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2009 年高考数学（新课标卷理科）
exams_raw/普通高考/2009/2009新课标理(海南,宁夏).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
24 题33 个小问/题组
一、选择题 · 复数
复数 (A) 0 (B) 2 (C) (D) 2
答案：D（2i）
题目标签：复数除法
解题过程
复数除法
化简复数
(1)
分别有理化
分子分母同乘分母共轭。
详细展开：，而 。
(2)
作差
把两个纯虚数相减。
详细展开：。
一、选择题 · 统计
对变量 有观测数据 , 得散点图 1; 对变量 有观测数据 , 得散点图 2. 由这两个散点图可以判断 (A) 变量 与 正相关, 与 正相关 (B) 变量 与 正相关, 与 负相关 (C) 变量 与 负相关, 与 正相关 (D) 变量 与 负相关, 与 负相关
答案：C
题目标签：散点图相关性
解题过程
散点图相关性
判断两组相关方向
(1)
读取图一
观察 x 增大时 y 的总体变化。
详细展开：图一各点总体从左上向右下分布，所以 x 与 y 负相关。
(2)
读取图二
观察 u 增大时 v 的总体变化。
详细展开：图二总体从左下向右上分布，所以 u 与 v 正相关。
一、选择题 · 双曲线
双曲线 的焦点到渐近线的距离为 (A) (B) 2 (C) (D) 1
答案：A（2√3）
题目标签：焦点到渐近线距离
解题过程
焦点到渐近线距离
求距离
(1)
写焦点与渐近线
由标准方程读取 a、b、c。
详细展开：，右焦点为 ，渐近线为 。
(2)
使用点线距离
代入点到直线距离公式。
详细展开：距离为 。
一、选择题 · 三角函数
有四个关于三角函数的命题: ; ; ; . 其中假命题的是 (A) (B) (C) (D)
答案：A
题目标签：三角命题真假
解题过程
三角命题真假
找出假命题
(1)
判断前三项
用恒等式与绝对值逐项判断。
详细展开： 左端恒为 1，故假； 取 成立，故真； 在 上化为 ，故真。
(2)
判断 p4
正弦等于余弦有周期与多解。
详细展开：例如 时前件不成立，但取 之外还有周期解，并不能推出唯一和角；故 假。
一、选择题 · 不等式
设 满足 则 (A) 有最小值 2, 最大值 3 (B) 有最小值 2, 无最大值 (C) 有最大值 3, 无最小值 (D) 既无最小值, 也无最大值
答案：B（最小值2，无最大值）
题目标签：线性规划范围
解题过程
线性规划范围
判断最值存在性
(1)
求下界
把三条边界联立并考察目标直线。
详细展开：可行域的最低目标支撑线经过 ，此时 ；由约束相加也可验证 。
(2)
判断上界
沿可行域的一条无界方向检查 z。
详细展开：取 且 充分大，三式均成立，而 ，故无最大值。
一、选择题 · 数列
等比数列 的前 项和为 , 且 成等差数列. 若 , 则 (A) 7 (B) 8 (C) 15 (D) 16
答案：C（15）
题目标签：等比数列求和
解题过程
等比数列求和
求 S4
(1)
由等差条件求公比
写 。
详细展开： 成等差数列，故 ，即 。
(2)
求和
代入首项 1、公比 2。
详细展开：。
一、选择题 · 立体几何
如图, 正方体 的棱线长为 1, 线段 上有两个动点 , 且 , 则下列结论中错误的是 (A) (B) 平面 (C) 三棱锥 的体积为定值 (D) 异面直线 所成的角为定值
答案：D
题目标签：正方体动点命题
解题过程
正方体动点命题
找出错误结论
(1)
验证前三项
用坐标与同底等高关系检查。
详细展开：设 ，则 ；EF 平行顶面对角线，故平行底面；EF 长度固定且所在直线固定，点 A 到平面 BEF 的相应体积也固定。
(2)
检验异面角
让 E 沿对角线移动，F 与 E 保持定距。
详细展开： 与 的点积和长度都含参数 t，取端部与中部可得不同余弦，因此夹角不固定。
一、选择题 · 平面向量
已知 在 所在平面内, 且 , , , 则点 依次是 的 (A) 重心、外心、垂心 (B) 重心、外心、内心 (C) 外心、重心、垂心 (D) 外心、重心、内心
答案：C
题目标签：三角形特殊点
解题过程
三角形特殊点
识别 O、N、P
(1)
识别前两点
直接使用等距和向量和条件。
详细展开： 表明 O 是外心； 等价于 N 的位置向量为三顶点平均，故 N 是重心。
(2)
识别 P
把相等点积两两相减。
详细展开：得到 ，三条高交于 P，所以 P 是垂心。
一、选择题 · 算法
如果执行如图的程序框图, 输入 , 那么输出的各个数的和等于 (A) 3 (B) 3.5 (C) 4 (D) 4.5
答案：B（3.5）
题目标签：程序框图求和
解题过程
程序框图求和
求全部输出之和
(1)
列出循环输出
从 -2 起每次增加 0.5，先输出再判断是否到 2。
详细展开： 输出 0； 输出 x； 输出 1。非零输出为 。
(2)
相加
终值 x=2 也先输出 1 后结束。
详细展开：总和为 。
一、选择题 · 立体几何
一个棱锥的三视图如图, 则该棱锥的全面积 (单位: ) 为 (A) (B) (C) (D)
答案：A（48+12√2）
题目标签：棱锥三视图
解题过程
棱锥三视图
求全面积
(1)
还原棱锥
由三视图还原底面与四个侧面并读取 3、4、6。
详细展开：底面及两个直角侧面的面积和为 48；另外两个斜侧面的高均为 ，面积各为 。
(2)
汇总
把所有可见投影对应的实际面面积相加。
详细展开：全面积为 。
一、选择题 · 函数
用 表示 三个数中的最小值. 设 , 则 的最大值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
答案：C（6）
题目标签：三函数下包络
解题过程
三函数下包络
求 min 函数最大值
(1)
找控制函数切换点
比较三个候选函数。
详细展开： 在 相交， 在 相交；在三段上最小函数依次为 。
(2)
读取峰值
下包络在 x=4 前递增、之后递减。
详细展开：，故最大值为 6。
二、填空题 · 解析几何
设已知抛物线 的顶点在坐标原点, 焦点为 , 直线 与抛物线 相交于 两点. 若 的中点为 , 则直线 的方程为______.
答案：
题目标签：抛物线中点弦
解题过程
抛物线中点弦
求直线方程
(1)
设直线并用根和
抛物线为 ，设弦线 。
详细展开：交点横坐标根和为 ；中点还满足 。
(2)
联立
解两个中点条件。
详细展开：得到 ，所以直线为 。
二、填空题 · 三角函数
已知函数 的图象如图所示, 则 ______.
答案：9π/10
题目标签：正弦图象初相
解题过程
正弦图象定初相
求 φ
(1)
读取相邻极值
图中 为最小值点， 为其后最大值点。
详细展开：两横坐标差 对应半周期，故周期 ，。
(2)
代入最大点
最大点相位可取 。
详细展开：，所以 ，符合规定范围。
二、填空题 · 计数原理
7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动. 若每天安排 3 人, 则不同的安排方案共有______种. (用数字作答)
答案：
题目标签：志愿者安排
解题过程
志愿者两日安排
求安排方案数
(1)
选择未参加者
七人中只安排六人。
详细展开：先选一名不参加者，有 7 种。
(2)
分配两天
从余下六人中选三人参加周六，其他三人参加周日。
详细展开：共有 种。
二、填空题 · 数列
等差数列 前 项和为 . 已知 , 则 ______.
答案：
题目标签：等差数列中项
解题过程
等差数列中项
求 m
(1)
化简局部条件
等差数列满足相邻对称项和为两倍中项。
详细展开：，故 。结合和不为零可知 。
(2)
使用奇数项和
。
详细展开：，解得 。
三、解答题 · 解三角形
为了测量两山顶 间的距离, 飞机沿水平方向在 两点进行测量. 在同一个铅垂平面内 (如示意图), 飞机能够测量的数据有俯角和 间的距离, 请设计一个方案, 包括: ①指出需要测量的数据 (用字母表示, 并在图中标出); ②用文字和公式写出计算 间的距离的步骤.
答案：方案见解析
题目标签：山顶测距设计
解题过程
设计测距方案
给出测量量与 MN 计算公式
(1)
测量四个俯角
设 ，在同一铅垂平面内测量两端对 M、N 的方向角。
详细展开：记 ；这些俯角及 d 均可由飞机测得。
(2)
两次正弦定理再用余弦定理
先在 ABM、ABN 中求 AM、AN。
详细展开：，；再以夹角 用余弦定理求 。
解答题 · 概率统计
某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 类工人），现用分层抽样方法（按 类、 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）. (1) 求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 类工人，乙为 类工人； (2) 从 类工人中的抽查结果和从 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表 1： \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 生产能力分组 & & & & & \\ \hline 人数 & 4 & 8 & & 5 & 3 \\ \hline \end{tabular} 表 2： \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline 生产能力分组 & & & & \\ \hline 人数 & 6 & & 36 & 18 \\ \hline \end{tabular} ①先确定 ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图. 就生产能力而言， 类工人中个体间的差异程度与 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ②分别估计 类工人和 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
答案：1/100；x=5,y=15；均值见解析
题目标签：分层抽样统计
解题过程
（1）两人同时入样
求跨层两人均被抽到概率
(1)
确定层样本量
按 1:3 分层抽取 100 人。
详细展开：A 类抽 25 人，B 类抽 75 人。
(2)
相乘
两层独立实施简单随机抽样。
详细展开：甲入样概率 ，乙入样概率 ，乘积为 。
（2）补表与差异比较
求 x、y 并比较离散程度
(1)
利用层样本总数
两表人数分别应为 25、75。
详细展开：，。
(2)
观察直方图
比较频率分布的集中程度。
详细展开：B 类频率更集中在 130 至 150，A 类跨越区间更宽，故 B 类个体差异较小。
（3）估计平均生产能力
求两层及总体均值
(1)
用组中值加权
各组用中点代表。
详细展开：A 类均值为 ；B 类为 。
(2)
按总体层权重合并
A、B 类权重为 1/4、3/4。
详细展开：总体估计均值 。
解答题 · 立体几何
如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍， 为侧棱 上的点. (1) 求证：； (2) 若 平面 ，求二面角 的大小； (3) 在 (2) 的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 . 若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.
答案：见证明；π/6；2:1
题目标签：正四棱锥空间关系
解题过程
（1）证明 AC⊥SD
利用等腰侧棱与正方形对角线
(1)
确定顶点投影
四条侧棱相等，S 在底面的投影是正方形中心 O。
详细展开：SO\perpDOAC\perp DB$。
AC\perp SO,\quad AC\perp DO
(2)
应用线面垂直
SO、DO 是平面 SDO 内相交直线。
详细展开：故 平面 SDO，特别有 。
（2）求二面角
在 SD⊥平面 PAC 时求 P-AC-D
(1)
确定几何尺度
设底边 1，则 、。
详细展开：平面 PAC 的法向量平行 SD，而底面 ACD 的法向量平行 SO。
(2)
读取夹角
两平面法向量的锐角就是题定二面角。
详细展开：因此 。坐标计算同时给出 ，条件可实现。
（3）判断平行点 E
求 SE:EC
(1)
参数化 E
取正方形坐标并令 。
详细展开：平面 PAC 的法向量平行 ，故 平面 PAC 等价于 。
(2)
解点积方程
代入 。
详细展开：点积化简为 ，故 ，点在侧棱内部。
解答题 · 解析几何
已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1) 求椭圆 的方程； (2) 若 为椭圆 上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点，，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
答案：x²/16+y²/7=1；分类见解析
题目标签：椭圆与轨迹分类
解题过程
（1）求椭圆方程
由顶点焦距求标准方程
(1)
求 a、c
同一长轴顶点到两焦点距离为 a-c 与 a+c。
详细展开：，所以 。
(2)
求 b
。
详细展开：焦点在 x 轴，故方程为 。
（2）求 M 的轨迹
按 λ 分类轨迹
(1)
消去 P 的纵坐标
设 。
详细展开：由椭圆得 ，由 得 。
(2)
判断二次曲线
比较 λ 与 3/4，并保留 。
详细展开： 为椭圆的一部分， 为两条平行线段 ， 为双曲线的相应部分。
解答题 · 导数
已知函数 。\n(1) 若 ，求 的单调区间；\n(2) 若 在 单调增加，在 单调减少，证明：。
答案：区间见解析；β-α>6
题目标签：指数乘多项式单调性
解题过程
（1）求单调区间
在 a=b=-3 时判导数
(1)
因式分解导数
对多项式与指数乘积求导。
详细展开：。
(2)
判号
指数因子恒正。
详细展开：递增区间为 、；递减区间为 、。
（2）证明极值点间距
证明 β-α>6
(1)
利用导数三根
题设符号变化表明导数三根依次为 α、2、β。
详细展开： 的二次项系数为 0，由韦达定理得 。
(2)
使用根次序
由 β>2 得 α=-2-β<-4。
详细展开：于是 。这也校正了 OCR 将原卷大于号识作小于号的问题。
解答题 · 平面几何
如图，已知 的两条角平分线 和 相交于 ，， 在 上，且 . (1) 证明： 四点共圆； (2) 证明： 平分 .
答案：见证明
题目标签：角平分线几何证明
解题过程
（1）证明四点共圆
证明 B、D、H、E 共圆
(1)
利用内心角
H 是内心，BH 也平分 60° 的 B 角。
详细展开：通过角平分线与三角形内角关系可得 。
(2)
应用圆内接判定
一组对角互补的四边形为圆内接四边形。
详细展开：因此 B、D、H、E 四点共圆。
（2）证明 CE 平分 DEF
证明两侧角均为 30°
(1)
由圆求一侧角
圆周角配合 B 角平分线。
详细展开：。
(2)
由等腰三角形求另一侧
AE=AF 使三角形 AEF 为等腰。
详细展开：；又 CE 平分 C，作角差得 。
解答题 · 参数方程
已知曲线 ( 为参数)， ( 为参数). (1) 化 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2) 若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 ( 为参数) 距离的最小值.
答案：圆、椭圆；8√5/5
题目标签：参数曲线与距离
解题过程
（1）化普通方程
识别两条曲线
(1)
消去 t
把正余弦平方相加。
详细展开：，是圆心 、半径 1 的圆。
(2)
消去 θ
分别除以半轴后平方相加。
详细展开：，是中心在原点、焦点在 x 轴的椭圆。
（2）中点到直线最短距离
求最小值
(1)
写 M 与直线
P=(-4,4)，Q=(8cosθ,3sinθ)。
详细展开：； 为 。
(2)
用辅助角取最值
。
详细展开：绝对值内恒为负，故最小距离为 。
解答题 · 函数
如图， 为数轴的原点， 为数轴上三点， 为线段 上的动点，设 表示 与原点的距离， 表示 到 距离 4 倍与 到 距离的 6 倍的和. (1) 将 表示成 的函数； (2) 要使 的值不超过 70， 应该在什么范围内取值？
答案：分段见解析；[9,23]
题目标签：数轴绝对值函数
解题过程
（1）写分段函数
将 y 表示为 x 的函数
(1)
写绝对值
原图给出 A=10、B=20、M=30。
详细展开： 且 。
(2)
按断点展开
在 10、20 处分段。
详细展开：（），（），（）。
（2）解不等式
求 y≤70 的 x 范围
(1)
逐段求解
分别在三个定义区间解线性不等式。
详细展开：第一段给 ；中段全部满足；第三段给 。
(2)
合并
相邻区间端点连通。
详细展开：最终范围为 。