exams_raw/普通高考/2010/2010北京文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：B；{0,1,2}
题目标签：整数集合交集
逐个列出元素后取公共部分
两个集合都把元素限制在整数中。
为什么从这里入手：整数集合最稳妥的做法是直接列举，避免把连续区间误当成元素。集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“两个集合都把元素限制在整数中。”给出了元素筛选规则，因此先列出两个集合，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开：由 得 ；由 得 。
交集只保留同时属于两个集合的元素。
为什么从这里入手：列举完成后逐项比对即可，不需要再解新的不等式。集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“交集只保留同时属于两个集合的元素。”给出了元素筛选规则，因此先保留公共元素，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开： 的三个元素都在 中，因此 ，对应选项 B。
一、选择题 · 复数
答案：C；2+4i
题目标签：复数对应点的中点
分别平均实部与虚部
复数 在复平面对应点 。
为什么从这里入手：中点问题应先从复数语言转成平面坐标。复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“复数 在复平面对应点 。”与“写出两点坐标”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开： 与 分别对应 、。
线段中点的两个坐标分别是端点对应坐标的平均数。
为什么从这里入手：实部和虚部分开平均能直接得到中点对应复数。解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“线段中点的两个坐标分别是端点对应坐标的平均数。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先使用中点公式后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，所以对应复数为 ，选 C。
一、选择题 · 概率
答案：D；1/5
题目标签：随机选数的概率
枚举等可能的有序数对
分别独立地从 5 个数和 3 个数中等可能选取。
为什么从这里入手：把结果写成有序对 后，乘法原理给出样本空间大小。统计量都来自明确的样本计数或加权。“ 分别独立地从 5 个数和 3 个数中等可能选取。”给出了数据与权重，先确定样本总数可以避免把频数、频率和概率混为一谈，并能用总数或概率和反查计算。
详细展开：所有结果共有 个，并且每个有序对等可能。
条件 限制了每个 可搭配的 。
为什么从这里入手：逐个固定 不会重计： 时有 ， 时有 ，其余没有。
详细展开：有利结果共 个，所以概率为 ，选 D。
一、选择题 · 平面向量
答案：A；一次奇函数
题目标签：向量数量积函数
展开并使用垂直条件
函数含有两个向量二项式的数量积。
为什么从这里入手：先按分配律展开，才能看出二次项、一次项和常数项分别受什么条件控制。空间关系只靠观察容易漏条件，而“函数含有两个向量二项式的数量积。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先完整展开数量积，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：。由 ，首尾两项均为 0。
题设另给 。
为什么从这里入手：这个条件保证一次项系数非零，函数确为一次函数；又因没有常数项而满足 。
详细展开：故 是一次函数且是奇函数，对应 A。
一、选择题 · 三视图
答案：C
题目标签：组合体的俯视图
同时满足两个投影中的缺口位置
正视图和左视图都显示上部被挖去一个矩形。
为什么从这里入手：正视图确定缺口的左右范围，左视图确定缺口的前后范围；单看一幅图不能唯一定位。目标是“读取两个投影约束”，而“正视图和左视图都显示上部被挖去一个矩形。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把两幅投影对应的缺口范围投回水平面，俯视图中缺口必须同时落在这两个范围的交叠处。
选项的差别正是缺口位于哪一角以及轮廓线怎样连接。
为什么从这里入手：逐项投影回正面和左面，只有 C 能同时还原题图给出的两幅视图。三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“选项的差别正是缺口位于哪一角以及轮廓线怎样连接。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先比对四个俯视图可以同时确定数值和正负号。
详细展开：因此俯视图选 C。
一、选择题 · 函数
答案：B；②③
题目标签：区间单调性判断
逐个函数限制到 检查
幂函数和对数函数的底数直接决定单调方向。
为什么从这里入手：题面中的“幂函数和对数函数的底数直接决定单调方向。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开： 在正数范围递增； 的底数在 内，而 递增，所以复合函数递减。
绝对值函数要先确定区间位于折点哪一侧。
为什么从这里入手：题面中的“绝对值函数要先确定区间位于折点哪一侧。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：在 上，，故递减； 的底数大于 1，故递增。因此递减的是 ②③，选 B。
一、选择题 · 平面几何
答案：A；2sinα-2cosα+2
题目标签：八边形班徽面积
分成中心正方形与四个等腰三角形
四个等腰三角形的两腰都为 1，夹角为 。
为什么从这里入手：两边及夹角已知时，面积公式 最直接。三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“四个等腰三角形的两腰都为 1，夹角为 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先求四个三角形面积可以同时确定数值和正负号。
详细展开：每个三角形面积为 ，四个共 。
中心正方形的边长就是等腰三角形的底边。
为什么从这里入手：题面中的“中心正方形的边长就是等腰三角形的底边。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：余弦定理给底边平方 ，这也就是正方形面积。总面积为 ，选 A。
二、填空题 · 立体几何
答案：C；与x有关、与y无关
题目标签：动点三棱锥体积
建立坐标并写行列式
正方体边长固定，动点都在棱上，坐标法能把“是否有关”变成代数消元。
为什么从这里入手：题面中的“正方体边长固定，动点都在棱上，坐标法能把“是否有关”变成代数消元。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：取 ，则可设 。
四面体体积是三个棱向量混合积绝对值的六分之一。
为什么从这里入手：题面中的“四面体体积是三个棱向量混合积绝对值的六分之一。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，代入混合积得 ，故 。参数 被消去，所以体积只与 有关，选 C。
二、填空题 · 算法
答案：x<2?；y=log₂x
题目标签：分段函数程序框图
让判断分支与解析式区间一一对应
“是”分支已经计算 。
为什么从这里入手：题面中的““是”分支已经计算 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：分段定义中 对应 ，因此菱形中应询问 。
“否”表示条件 不成立，即 。
为什么从这里入手：题面中的““否”表示条件 不成立，即 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：这正对应分段函数的对数支，所以②应为 。
二、填空题 · 解三角形
答案：
题目标签：余弦定理解三角形
把已知角视为边 的对角
的对边是 ，而不是待求边 。
为什么从这里入手：题面中的“ 的对边是 ，而不是待求边 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：余弦定理写成 ，代入 。
边长必须为正数。
为什么从这里入手：题面中的“边长必须为正数。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“边长必须为正数。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先解方程并舍去负根，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：，即 ；只保留正根 。
二、填空题 · 解析几何
答案：
题目标签：点到直线距离
先求距离方程的两个候选值
点坐标和直线一般式都已给出。
为什么从这里入手：题面中的“点坐标和直线一般式都已给出。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，即 ，解得 或 。
距离条件产生两个解，题目额外给出的区域条件就是用来排除一个。
为什么从这里入手：题面中的“距离条件产生两个解，题目额外给出的区域条件就是用来排除一个。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：把 代入 ，得 ，即 ，所以只剩 。
二、填空题 · 统计
答案：0.030；3
题目标签：频率直方图与分层抽样
先用总面积为 1 求未知纵坐标
频率直方图每个矩形的面积等于该组频率。
为什么从这里入手：题面中的“频率直方图每个矩形的面积等于该组频率。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：组距均为 10，故 ，解得 。
后三组频率之比为 。
为什么从这里入手：题面中的“后三组频率之比为 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开： 组占后三组总人数的 ，分层抽样应选 人。
三、解答题 · 圆锥曲线
答案：(±4,0)；y=±√3x
题目标签：共焦双曲线
先从椭圆得到共同焦距
椭圆长半轴平方为 25，短半轴平方为 9。
为什么从这里入手：题面中的“椭圆长半轴平方为 25，短半轴平方为 9。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：椭圆半焦距 ，所以椭圆及双曲线的焦点均为 。
双曲线离心率满足 。
为什么从这里入手：题面中的“双曲线离心率满足 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：由 得 ，再由 得 。渐近线 。
三、解答题 · 函数与几何
答案：4；π+1
题目标签：滚动正方形轨迹
按每次绕落地点转过 分段
正方形每滚动四次，四个顶点依次落地，姿态恢复且沿 轴平移 4。
为什么从这里入手：函数比较的是纵坐标，完整四次翻转后运动规律首次重复。三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“正方形每滚动四次，四个顶点依次落地，姿态恢复且沿 轴平移 4。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先确定最小正周期可以同时确定数值和正负号。
详细展开：边长为 1，每次落地点横坐标增加 1，因此一个完整循环的水平长度为 4。
相邻零点之间，点 依次绕相邻顶点作半径 1、、1 的四分之一圆弧。
为什么从这里入手：两段半径 1 的四分之一圆面积合为 ；中段半径 的对应扇形与三角形分割后，和其余直线下方区域合为 。故总围成面积为 。
详细展开：\boxed{S=\pi+1}
不能把顶点轨迹误认为同一个圆，转动中心和半径都会改变。
三、解答题 · 三角函数
答案：-1/4；最大值2，最小值-1
题目标签：三角函数求值与最值
代入特殊角并逐项计算
时，倍角为 。
为什么从这里入手：题面中的“ 时，倍角为 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，。
原式是 ，应分别代入。
为什么从这里入手：题面中的“原式是 ，应分别代入。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。
化为 的一次式
原式同时含 和 。
为什么从这里入手：题面中的“原式同时含 和 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：用 ，得 。
，且两个端点都能取到。
为什么从这里入手：题面中的“，且两个端点都能取到。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：当 时取最大值 2；当 时取最小值 。
三、解答题 · 数列
答案：aₙ=2n-12；Sₙ=4(1-3ⁿ)
题目标签：等差与等比数列
由两项之差先求公差
跨越三个公差。
为什么从这里入手：题面中的“ 跨越三个公差。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，所以 。
已知 。
为什么从这里入手：题面中的“已知 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，因此 。
先由等差数列求出第二项
由前三个等差数列项的和给出。
为什么从这里入手：题面中的“ 由前三个等差数列项的和给出。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，而 ，故公比 。
，可直接用前 项和公式。
为什么从这里入手：题面中的“，可直接用前 项和公式。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。
三、解答题 · 立体几何
答案：见证明
题目标签：垂直平面中的线面关系
在目标平面内寻找与 平行的直线
平面 中天然含有直线 ，还可借助 上的中点。
为什么从这里入手：题面中的“平面 中天然含有直线 ，还可借助 上的中点。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：设正方形对角线 交于 。因 ，故 、；又 且 。
一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形。
为什么从这里入手：题面中的“一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：四边形 为平行四边形，所以 。又 平面 且 不在该平面内，故 平面 。
证明 同时垂直于平面内两条相交直线
两平面沿 相交且互相垂直，坐标法能保留四边形 的一般形状。
为什么从这里入手：题面中的“两平面沿 相交且互相垂直，坐标法能保留四边形 的一般形状。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：取 ，令平面 为 平面。设 ，则 ；由 ，有 。
与 是平面 内相交的两条直线。
为什么从这里入手：题面中的“ 与 是平面 内相交的两条直线。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，，。两组点积均为 ，故 。
三、解答题 · 导数
答案：f=x³-3x²+12x；1≤a≤9
题目标签：三次函数参数与极值
把导数方程按已知根因式分解
的首项系数为 ，根为 1 和 4。
为什么从这里入手：题面中的“ 的首项系数为 ，根为 1 和 4。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，比较系数得 。
过原点意味着 。
为什么从这里入手：题面中的“过原点意味着 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：当 时 ，所以 。
让导函数不发生符号改变
首项系数 ，若导函数有两个不同实根，就会依次正、负、正并产生极值。
为什么从这里入手：题面中的“首项系数 ，若导函数有两个不同实根，就会依次正、负、正并产生极值。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。无极值点等价于该二次式恒非负，即判别式不大于 0。
二重根时导数只在一点为零，不改变符号，也不会产生极值。
为什么从这里入手：题面中的“二重根时导数只在一点为零，不改变符号，也不会产生极值。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，结合 得 。
三、解答题 · 解析几何
答案：x²/3+y²=1；P=(0,±√3/2)；2
题目标签：椭圆弦为直径的圆
用焦距和离心率反求长半轴
且 。
为什么从这里入手：题面中的“ 且 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，所以 。
椭圆满足 。
为什么从这里入手：题面中的“椭圆满足 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，故椭圆方程为 。
把水平弦半长写成圆半径
直线 截椭圆得到关于 轴对称的两点。
为什么从这里入手：题面中的“直线 截椭圆得到关于 轴对称的两点。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：交点横坐标满足 ，故圆心 ，半径 。
圆心到 轴的距离必须等于半径。
为什么从这里入手：题面中的“圆心到 轴的距离必须等于半径。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，平方得 ，所以 。
先对固定圆取最高点，再对参数优化
圆上纵坐标最大值等于圆心纵坐标加半径。
为什么从这里入手：题面中的“圆上纵坐标最大值等于圆心纵坐标加半径。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：对给定 ，有 。
表达式是 与 的数量积。
为什么从这里入手：题面中的“表达式是 与 的数量积。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，在 时取等号。
三、解答题 · 组合数学
答案：(1,0,1,0,1)，3；见证明
题目标签：二进制向量距离
逐坐标比较 0 和 1 是否不同
定义中的差是每个坐标差的绝对值。
为什么从这里入手：题面中的“定义中的差是每个坐标差的绝对值。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：逐位计算得 。
距离就是差向量中 1 的个数。
为什么从这里入手：题面中的“距离就是差向量中 1 的个数。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：五个坐标差之和为 。
在每个二值坐标上分别验证
只可能是 0 或 1。
为什么从这里入手：题面中的“ 只可能是 0 或 1。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：因此 也只可能是 0 或 1，所有坐标都满足定义，故 。
减去二值坐标 相当于同时保持或同时翻转两位。
为什么从这里入手：题面中的“减去二值坐标 相当于同时保持或同时翻转两位。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：若 ，等式显然；若 ，则 、，二者之差绝对值仍为 。逐位求和即得结论。
按坐标统计三个距离总和的奇偶性
三个二值数 中，要么全相同，要么两个相同、一个不同。
为什么从这里入手：题面中的“三个二值数 中，要么全相同，要么两个相同、一个不同。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：全相同时三对距离贡献 0；否则恰有两对不同，贡献 2。因此每一坐标对 的贡献都是偶数。
三个奇数之和是奇数。
为什么从这里入手：题面中的“三个奇数之和是奇数。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。目标是“完成反证”，而“三个奇数之和是奇数。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：若三个距离全为奇数，其和应为奇数，与刚得出的偶数性矛盾，所以至少有一个距离为偶数。