exams_raw/普通高考/2010/2010北京理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：B；{0,1,2}
题目标签：整数集合交集
逐个列出元素后取公共部分
两个集合都把元素限制在整数中。
为什么从这里入手：整数集合最稳妥的做法是直接列举，避免把连续区间误当成元素。集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“两个集合都把元素限制在整数中。”给出了元素筛选规则，因此先列出两个集合，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开：由 得 ；由 得 。
交集只保留同时属于两个集合的元素。
为什么从这里入手：列举完成后逐项比对即可，不需要再解新的不等式。集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“交集只保留同时属于两个集合的元素。”给出了元素筛选规则，因此先保留公共元素，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开： 的三个元素都在 中，因此 ，对应选项 B。
一、选择题 · 数列
答案：C；11
题目标签：等比数列下标
把等式两边都写成首项和公比的幂
，所以 。
为什么从这里入手：题面中的“，所以 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。
，且公比满足题设的非退化条件。
为什么从这里入手：题面中的“，且公比满足题设的非退化条件。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：由 得 ，所以 ，选 C。
一、选择题 · 三视图
答案：C
题目标签：组合体的俯视图
同时满足两个投影中的缺口位置
正视图和左视图都显示上部被挖去一个矩形。
为什么从这里入手：正视图确定缺口的左右范围，左视图确定缺口的前后范围；单看一幅图不能唯一定位。目标是“读取两个投影约束”，而“正视图和左视图都显示上部被挖去一个矩形。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把两幅投影对应的缺口范围投回水平面，俯视图中缺口必须同时落在这两个范围的交叠处。
选项的差别正是缺口位于哪一角以及轮廓线怎样连接。
为什么从这里入手：逐项投影回正面和左面，只有 C 能同时还原题图给出的两幅视图。三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“选项的差别正是缺口位于哪一角以及轮廓线怎样连接。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先比对四个俯视图可以同时确定数值和正负号。
详细展开：因此俯视图选 C。
一、选择题 · 排列组合
答案：A；A₈⁸A₉²
题目标签：师生不相邻排列
先排学生，再把老师插入不同空隙
两位老师不相邻，而学生之间没有限制。
为什么从这里入手：题面中的“两位老师不相邻，而学生之间没有限制。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：先把 8 名互不相同的学生排成一列，共有 种；排好后形成包括两端在内的 9 个空隙。
老师互不相同且不能占同一空隙，否则会相邻。
为什么从这里入手：题面中的“老师互不相同且不能占同一空隙，否则会相邻。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：从 9 个空隙中有顺序地选 2 个放老师，共 种。乘法原理得 ，选 A。
一、选择题 · 极坐标
答案：C；一个圆和一条射线
题目标签：极坐标图形
利用乘积为零拆成两个分支
两个实因式的乘积为零，至少一个因式为零。
为什么从这里入手：题面中的“两个实因式的乘积为零，至少一个因式为零。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开： 等价于 或 。
固定到原点的距离， 固定方向。
为什么从这里入手：题面中的“ 固定到原点的距离， 固定方向。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：前者是以极点为圆心、半径 1 的圆；因 ，后者是从极点沿负极轴方向的一条射线。因此选 C。
一、选择题 · 平面向量
答案：B；必要而不充分
题目标签：向量垂直的充要性
先展开函数，再分别检验充分性和必要性
展开后，二次项和常数项都由 控制。
为什么从这里入手：题面中的“展开后，二次项和常数项都由 控制。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。若它是一次函数，二次项必须为 0，故 ，即 。
垂直只消去二次项和常数项，还不能保证一次项系数非零。
为什么从这里入手：题面中的“垂直只消去二次项和常数项，还不能保证一次项系数非零。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：若再有 ，则 ，不是一次函数。因此垂直是必要而不充分条件，选 B。
一、选择题 · 函数与线性规划
答案：A；(1,3]
题目标签：指数图象与可行域
先确定区域顶点，再寻找指数曲线的临界位置
三条边界直线两两相交，可确定封闭区域。
为什么从这里入手：题面中的“三条边界直线两两相交，可确定封闭区域。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：联立可得三个顶点 。区域位于 下方，且位于另两条直线上方。
指数函数经过固定点 ，当 时递增；临界上界来自区域顶点 。
为什么从这里入手：题面中的“指数函数经过固定点 ，当 时递增；临界上界来自区域顶点 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：曲线经过 时 ，得 ，此时可取； 时曲线仍穿过区域， 或 时不相交。
一、选择题 · 立体几何
答案：D；只与z有关
题目标签：动点四面体体积
用混合积消去不影响体积的平移变量
四个动点都沿正方体棱运动，坐标法可以直接显示哪些参数会保留。
为什么从这里入手：题面中的“四个动点都沿正方体棱运动，坐标法可以直接显示哪些参数会保留。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：取 ，则 。
沿 轴，参数 只造成与该方向平行的平移，预计会在行列式中消去。
为什么从这里入手：题面中的“ 沿 轴，参数 只造成与该方向平行的平移，预计会在行列式中消去。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：计算得 ，故四面体体积 ，只与 有关，选 D。
二、填空题 · 复数
答案：
题目标签：复数除法
乘以分母的共轭复数
复数对应点需要先得到标准形式 。
为什么从这里入手：题面中的“复数对应点需要先得到标准形式 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。
实部是横坐标，虚部是纵坐标。
为什么从这里入手：题面中的“实部是横坐标，虚部是纵坐标。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：因此对应点坐标为 。
二、填空题 · 解三角形
答案：
题目标签：余弦定理解三角形
把已知角视为边 的对角
的对边是 ，而不是待求边 。
为什么从这里入手：题面中的“ 的对边是 ，而不是待求边 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：余弦定理写成 ，代入 。
边长必须为正数。
为什么从这里入手：题面中的“边长必须为正数。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“边长必须为正数。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先解方程并舍去负根，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：，即 ；只保留正根 。
二、填空题 · 统计
答案：0.030；3
题目标签：频率直方图与分层抽样
先用总面积为 1 求未知纵坐标
频率直方图每个矩形的面积等于该组频率。
为什么从这里入手：题面中的“频率直方图每个矩形的面积等于该组频率。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：组距均为 10，故 ，解得 。
后三组频率之比为 。
为什么从这里入手：题面中的“后三组频率之比为 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开： 组占后三组总人数的 ，分层抽样应选 人。
二、填空题 · 平面几何
答案：5；2√7
题目标签：圆幂与直径
先从点 的两条割线求完整长度
与 是从圆外点 引出的两条割线。
为什么从这里入手：题面中的“ 与 是从圆外点 引出的两条割线。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，其中 ，所以 ，得 ，进而 。
且 共线，所以 。
为什么从这里入手：题面中的“ 且 共线，所以 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：因此 是直径， 在圆上给出 。在直角三角形 中，。
二、填空题 · 圆锥曲线
答案：(±4,0)；y=±√3x
题目标签：共焦双曲线
先从椭圆得到共同焦距
椭圆长半轴平方为 25，短半轴平方为 9。
为什么从这里入手：题面中的“椭圆长半轴平方为 25，短半轴平方为 9。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：椭圆半焦距 ，所以椭圆及双曲线的焦点均为 。
双曲线离心率满足 。
为什么从这里入手：题面中的“双曲线离心率满足 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：由 得 ，再由 得 。渐近线 。
二、填空题 · 函数与几何
答案：4；π+1
题目标签：滚动正方形轨迹
按每次绕落地点转过 分段
正方形每滚动四次，四个顶点依次落地，姿态恢复且沿 轴平移 4。
为什么从这里入手：函数比较的是纵坐标，完整四次翻转后运动规律首次重复。三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“正方形每滚动四次，四个顶点依次落地，姿态恢复且沿 轴平移 4。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先确定最小正周期可以同时确定数值和正负号。
详细展开：边长为 1，每次落地点横坐标增加 1，因此一个完整循环的水平长度为 4。
相邻零点之间，点 依次绕相邻顶点作半径 1、、1 的四分之一圆弧。
为什么从这里入手：两段半径 1 的四分之一圆面积合为 ；中段半径 的对应扇形与三角形分割后，和其余直线下方区域合为 。故总围成面积为 。
详细展开：\boxed{S=\pi+1}
不能把顶点轨迹误认为同一个圆，转动中心和半径都会改变。
三、解答题 · 三角函数
答案：-1/4；最大值2，最小值-1
题目标签：三角函数求值与最值
代入特殊角并逐项计算
时，倍角为 。
为什么从这里入手：题面中的“ 时，倍角为 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，。
原式是 ，应分别代入。
为什么从这里入手：题面中的“原式是 ，应分别代入。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。
化为 的一次式
原式同时含 和 。
为什么从这里入手：题面中的“原式同时含 和 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：用 ，得 。
，且两个端点都能取到。
为什么从这里入手：题面中的“，且两个端点都能取到。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：当 时取最大值 2；当 时取最小值 。
三、解答题 · 立体几何
答案：见证明；π/6
题目标签：线面关系与二面角
在目标平面内寻找与 平行的直线
平面 中天然含有直线 ，还可借助 上的中点。
为什么从这里入手：题面中的“平面 中天然含有直线 ，还可借助 上的中点。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：设正方形对角线 交于 。因 ，故 、；又 且 。
一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形。
为什么从这里入手：题面中的“一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：四边形 为平行四边形，所以 。又 平面 且 不在该平面内，故 平面 。
证明 同时垂直于平面内两条相交直线
两平面沿 相交且互相垂直，坐标法能保留四边形 的一般形状。
为什么从这里入手：题面中的“两平面沿 相交且互相垂直，坐标法能保留四边形 的一般形状。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：取 ，令平面 为 平面。设 ，则 ；由 ，有 。
与 是平面 内相交的两条直线。
为什么从这里入手：题面中的“ 与 是平面 内相交的两条直线。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，，。两组点积均为 ，故 。
分别构造两个半平面内垂直于棱 的方向
由 可取 。
为什么从这里入手：题面中的“由 可取 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开： 且 ；在平面 内，指向 且垂直 的向量可取 。
这两个向量分别位于二面角的两个半平面内，且都垂直于棱。
为什么从这里入手：题面中的“这两个向量分别位于二面角的两个半平面内，且都垂直于棱。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，故 。
三、解答题 · 概率统计
答案：119/125；p=3/5,q=2/5；9/5
题目标签：独立课程优秀数
使用零门优秀的对立事件
分布列已直接给出 。
为什么从这里入手：题面中的“分布列已直接给出 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：“至少一门优秀”的对立事件是“三门都不优秀”，也就是 。
对立事件概率相加为 1。
为什么从这里入手：题面中的“对立事件概率相加为 1。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“对立事件概率相加为 1。”确定了基本事件或随机变量，所以先计算对立概率，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。
详细展开：。
分别利用三门全不优秀和全优秀
第一门优秀概率为 。
为什么从这里入手：题面中的“第一门优秀概率为 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，得 ；，得 。
展开第二式并代入 可得到 。
为什么从这里入手：题面中的“展开第二式并代入 可得到 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开： 给出 。故 是 的两根，即 ；由 确定顺序。
使用独立伯努利变量期望可加
等于三门课程是否优秀的 0-1 指示变量之和。
为什么从这里入手：题面中的“ 等于三门课程是否优秀的 0-1 指示变量之和。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：期望的线性性不要求再次计算完整分布列，直接把三门优秀概率相加。
已在上一问得到。
为什么从这里入手：题面中的“ 已在上一问得到。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。
三、解答题 · 导数
答案：切线3x-2y+2ln2-3=0；单调区间见解析
题目标签：含参对数函数
先求切点纵坐标和导数值
切线方程需要点 和斜率 。
为什么从这里入手：题面中的“切线方程需要点 和斜率 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：；，故 。
已知一点和斜率后直接使用 。
为什么从这里入手：题面中的“已知一点和斜率后直接使用 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，整理为 。
因式分解导函数并比较两个零点的位置
定义域是 ，分母 始终为正。
为什么从这里入手：题面中的“定义域是 ，分母 始终为正。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：。除 外， 时另一零点为 。
、、、 时，零点数量或次序不同。
为什么从这里入手：题面中的“、、、 时，零点数量或次序不同。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：：增 ，减 ；：增 ，减 ；：在 递增；：增 ，减 。
三、解答题 · 解析几何
答案：x²+3y²=4；P=(5/3,±√33/9)
题目标签：斜率乘积轨迹与面积
把两条斜率的乘积直接写成坐标方程
是 关于原点的对称点。
为什么从这里入手：题面中的“ 是 关于原点的对称点。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：故 。设 ，则 ，，并要求 。
斜率乘积等于 。
为什么从这里入手：题面中的“斜率乘积等于 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：，整理得 ，同时保留 。
利用共顶点直线上的长度比例比较面积
分别在射线 上，且横坐标同为 3。
为什么从这里入手：题面中的“ 分别在射线 上，且横坐标同为 3。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：沿直线的相似比例可把 、 写成横坐标差，面积公式中的夹角相同，最终得到必要且充分条件 。
轨迹限制 ，需分 与 。
为什么从这里入手：题面中的“轨迹限制 ，需分 与 。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：前一种情形给 ，后一种无实根。代入椭圆得 ，所以存在两个点。
三、解答题 · 组合数学
答案：见证明；平均距离≤mn/[2(m-1)]
题目标签：二进制向量平均距离
在每个二值坐标上分别验证
只可能是 0 或 1。
为什么从这里入手：题面中的“ 只可能是 0 或 1。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：因此 也只可能是 0 或 1，所有坐标都满足定义，故 。
减去二值坐标 相当于同时保持或同时翻转两位。
为什么从这里入手：题面中的“减去二值坐标 相当于同时保持或同时翻转两位。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：若 ，等式显然；若 ，则 、，二者之差绝对值仍为 。逐位求和即得结论。
按坐标统计三个距离总和的奇偶性
三个二值数 中，要么全相同，要么两个相同、一个不同。
为什么从这里入手：题面中的“三个二值数 中，要么全相同，要么两个相同、一个不同。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：全相同时三对距离贡献 0；否则恰有两对不同，贡献 2。因此每一坐标对 的贡献都是偶数。
三个奇数之和是奇数。
为什么从这里入手：题面中的“三个奇数之和是奇数。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。目标是“完成反证”，而“三个奇数之和是奇数。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：若三个距离全为奇数，其和应为奇数，与刚得出的偶数性矛盾，所以至少有一个距离为偶数。
把所有点对距离按坐标位置重新计数
固定第 位，设 个向量中有 个取 1。
为什么从这里入手：题面中的“固定第 位，设 个向量中有 个取 1。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：只有一边为 1、另一边为 0 的点对在该位贡献 1，因此该位对所有无序点对距离总和的贡献为 。
共有 个坐标、 个无序点对。
为什么从这里入手：题面中的“共有 个坐标、 个无序点对。”给出了最直接的计算入口，先处理它可以减少无关分支。
详细展开：总距离 ，所以 。