exams_raw/普通高考/2011/2011北京理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：C；
题目标签：集合包含关系
求参数范围
等价于新元素 已属于 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 等价于新元素 已属于 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，所以必须且只需 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：端点满足平方等于 1，应保留，故选择 C。
一、选择题 · 复数
答案：A；
题目标签：复数除法
把分母实数化
复数除法应同时乘分母的共轭 。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“复数除法应同时乘分母的共轭 。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：分子变为 ，分母为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：约分得到 ，其实部为零、虚部为 1，对应选项 A。
一、选择题 · 极坐标
答案：B；
题目标签：极坐标圆心
确定圆心极坐标
利用 与 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“利用 与 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 化为 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：圆心为 ，其极径为 1、极角可取 ，选择 B。
一、选择题 · 算法初步
答案：D；2
题目标签：迭代程序框图
求输出的
初值 ；当 时先令 加 1，再作 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“初值 ；当 时先令 加 1，再作 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 依次变为 ，同时 依次为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：到 时条件不再成立，输出 ，选择 D。
一、选择题 · 圆
答案：A；①②
题目标签：切线段与圆幂
判断三个结论
从同一圆外点引出的两条切线段相等，并可使用切割线定理。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“从同一圆外点引出的两条切线段相等，并可使用切割线定理。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：，，，故 ；又 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：①②成立。③若成立会要求额外的边比关系，不能由切线弦角推出，一般不成立，所以选择 A。
一、选择题 · 函数模型
答案：D；
题目标签：分段函数参数
求
第 4 件仍处于学习阶段，且第 件使用稳定用时。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“第 4 件仍处于学习阶段，且第 件使用稳定用时。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 得 ；再由 得 ，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所得 与所用分支一致，选择 D。
一、选择题 · 立体几何
答案：C；10
题目标签：三视图还原四面体
找出最大面面积
三视图可还原为顶点 的四面体。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“三视图可还原为顶点 的四面体。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：四个面面积分别为 ；例如含边向量 与 的面面积为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：最大面积为 10，选择 C；三个投影中的 3、4、4 均已使用。
一、选择题 · 计数与几何
答案：C；
题目标签：整点计数值域
求 的值域
内部整点只可能落在 三层。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“内部整点只可能落在 三层。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：第 层横坐标位于 ，每层有 3 或 4 个整数。三层全为整数端点时总数 9；恰一层端点为整数时为 11；均非整数时为 12，不能只出现两层整数端点。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：例如 分别取得 ，故值域为 ，选择 C。
二、填空题 · 解三角形
答案：；
题目标签：正切与正弦定理
求
三角形内角且 ，所以 为锐角。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“三角形内角且 ，所以 为锐角。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：构造直角三角形两直角边比 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：正号由内角范围确定。
求边
已知 与 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“已知 与 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：边长为正并与角的大小一致。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：向量共线
求共线参数
先算 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先算 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：与 共线要求二维行列式为零：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：解得 ；此时两向量均非零且确实成比例。
二、填空题 · 数列
答案：；
题目标签：绝对值等比和
确定
。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：代回原项核验符号正确。
求绝对值和
，绝对值公比为 2。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“，绝对值公比为 2。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 时结果为 ，与首项一致。
二、填空题 · 排列组合
答案：
题目标签：二元数字组成四位数
统计同时出现 2、3 的四位数
每一位可独立选择 2 或 3。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“每一位可独立选择 2 或 3。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所有字符串有 个；删去全为 2 和全为 3 的两个字符串。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：得到 14 个，不存在首位为零的问题。
二、填空题 · 函数与方程
答案：
题目标签：分段函数根的个数
求有两个实根的参数范围
两段都单调，因此每段至多贡献一个根，关键是比较值域重叠。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“两段都单调，因此每段至多贡献一个根，关键是比较值域重叠。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：当 时 的值域为 ；当 时 的值域为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：恰有两根要求 同时落在两段值域中，交集为 ；端点 都只有一根。
二、填空题 · 解析几何
答案：②③
题目标签：定距积轨迹
判断三个命题
轨迹条件是 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“轨迹条件是 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：原点到两焦点距离积为 1，不等于 ，故①错；中心对称不改变两距离的积，故②对；，故③对。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以所有正确结论是②③。
三、解答题 · 三角函数
答案：周期 ；最大值 2，最小值
题目标签：三角函数周期与最值
求最小正周期
积化和差能把 化成二倍角。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“积化和差能把 化成二倍角。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：。角频率为 2。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此最小正周期为 。
求给定区间上的最值
令 ，原区间映为 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“令 ，原区间映为 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：该区间包含 ，故正弦最大为 1；最小值在左端，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：乘以 2 后最大值为 2、最小值为 ，相应点都在原区间内。
三、解答题 · 立体几何
答案：证明见解析；余弦 ；
题目标签：菱形四棱锥
证明 平面
菱形对角线互相垂直，且 垂直底面。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“菱形对角线互相垂直，且 垂直底面。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：，同时 ； 是平面 内相交直线。
BD\perp AC,\quad BD\perp PA
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：由线面垂直判定定理得 平面 。
求 与 所成角余弦
取 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“取 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，，数量积为 6，模长分别为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取锐角余弦得到 。
求棱高
仍用上述坐标，设 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“仍用上述坐标，设 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：平面 的法向量可取 与 。两平面垂直要求法向量点积为零，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，所以 。
解答题 · 概率统计
答案：均值 ，方差 ；分布见解析，
题目标签：茎叶图与随机变量
求均值和方差
时乙组数据为 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 时乙组数据为 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：均值为 ；平方离差和为 ，故方差为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：按定义逐项代入即可核验。
求 的分布列和期望
甲为 ，乙为 ，共有 16 个等可能组合。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“甲为 ，乙为 ，共有 16 个等可能组合。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 的概率依次为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：概率和为 1；期望也可用线性性核验：。
解答题 · 导数
答案：单调区间见解析；
题目标签：含参指数函数恒成立
求单调区间
定义式要求 ，指数因子恒正。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“定义式要求 ，指数因子恒正。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。若 ，在 递增，在 递减；若 ，方向相反。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：按 排列零点可核验所有区间。
解恒成立参数范围
若 ， 时函数无界，故只能 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“若 ， 时函数无界，故只能 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：令 ，，则 在 处取得正半轴最大值 。要求 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：还原 得 ； 无定义，不能取。
解答题 · 解析几何
答案：焦点 ，离心率 ；，最大值 2
题目标签：椭圆切线弦长
求焦点和离心率
椭圆半长轴为 2、半短轴为 1。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“椭圆半长轴为 2、半短轴为 1。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，所以焦点为 ，离心率为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：焦点位于长轴即 轴上。
求弦长函数及最大值
设切线 ，到原点距离为 1。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“设切线 ，到原点距离为 1。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：切圆条件给 ，。联立椭圆并用根差公式得 。令 ，导数符号由 决定。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 时达到最大值 2；该点满足 。
解答题 · 数列与组合
答案：示例 ；充要性成立；存在当且仅当
题目标签：E 数列的构造与判定
给出满足条件的
首末为 0 且相邻差绝对值为 1。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“首末为 0 且相邻差绝对值为 1。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取 ，项和为 4，大于 0。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：四个相邻差均为 ，条件全部满足。
证明递增与末项条件等价
共有 1999 次每次至多为 的变化。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“共有 1999 次每次至多为 的变化。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，且等号当且仅当全部增量为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以严格递增当且仅当末项等于 2011。
判断何时存在零和数列
从 0 出发时 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“从 0 出发时 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：故 ，零和要求 或 。充分性由重复块 构造： 取 个块， 再补一个 0。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：构造在块连接处仍相差 1，且每块和为 0，因此条件也是充分的。