exams_raw/普通高考/2011/2011新课标理(河南,黑龙江,吉林,海南,宁夏,山西,新疆).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 复数
答案：C；
题目标签：共轭复数
求复数商的共轭
乘分母共轭 。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“乘分母共轭 。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：原商为 ，所以它的共轭复数为 ，对应选项 C。
一、选择题 · 函数性质
答案：B；
题目标签：偶函数与单调性
选出目标函数
偶函数要求 ，并且正半轴上要递增。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“偶函数要求 ，并且正半轴上要递增。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 为奇函数； 为偶函数且在正半轴等于 递增； 递减； 在正半轴递减。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：只有 B 同时满足两个条件。
一、选择题 · 算法初步
答案：B；720
题目标签：阶乘程序
求输出的
框图每轮把当前整数乘入 ，直到 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“框图每轮把当前整数乘入 ，直到 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：依次得到 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，选择 B。
一、选择题 · 古典概型
答案：A；
题目标签：独立选择同组概率
求同组概率
甲乙各有 3 种等可能选择。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“甲乙各有 3 种等可能选择。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：共有 个有序结果，同组结果为 共 3 个。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：约分得 ，选择 A。
一、选择题 · 三角函数
答案：B；
题目标签：二倍角余弦
求
终边在 上给出 ，二倍角余弦不受终边反向影响。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“终边在 上给出 ，二倍角余弦不受终边反向影响。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：结果对应选项 B。
一、选择题 · 三视图
答案：D
题目标签：组合体的侧视图
判断侧视图
正视图与俯视图共同表明几何体由半圆锥和三棱锥组合。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“正视图与俯视图共同表明几何体由半圆锥和三棱锥组合。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：沿左侧观察时，保留可见外轮廓并把被遮挡的棱按虚线处理；宽度由俯视图、高度由正视图确定。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：四个候选图中只有 D 同时满足轮廓和虚实线关系。
一、选择题 · 圆锥曲线
答案：B；
题目标签：双曲线通径与离心率
求离心率
设双曲线 ，过焦点垂直实轴的弦长为 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设双曲线 ，过焦点垂直实轴的弦长为 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：题设弦长等于实轴长的 2 倍，即 ，所以 。于是 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：离心率大于 1，取正根得 ，对应选项 B。
一、选择题 · 二项式定理
答案：D；40
题目标签：二项式常数项
求常数项
各项系数和等于令 后的值。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“各项系数和等于令 后的值。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，得 。常数项来自 中 项和 中 项。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：前一贡献为 ，后一贡献为 ，合计 40，选择 D。
一、选择题 · 定积分
答案：C；
题目标签：定积分求面积
求围成面积
直线与曲线交于 ，令 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直线与曲线交于 ，令 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开： 得 。在 上曲线 位于直线 上方。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：积分为 ，选择 C。
一、选择题 · 平面向量
答案：A；
题目标签：单位向量模与夹角
判断四个命题
单位向量和差的模由夹角余弦决定。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“单位向量和差的模由夹角余弦决定。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：；。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以真命题为 ，选择 A。
一、选择题 · 三角函数
答案：A
题目标签：三角函数周期奇偶与单调
判断单调区间
最小周期 ，故 。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“最小周期 ，故 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：偶函数条件使 （在给定初相范围内确定 ）。其导数为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：在 导数为负，严格递减，选择 A。
一、选择题 · 函数图象
答案：C；6
题目标签：函数图象交点对称
求横坐标之和
两个函数满足关于直线 的配对关系：若 是交点，则 也是交点。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“两个函数满足关于直线 的配对关系：若 是交点，则 也是交点。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：在 内由分区单调性可验证共有 12 个交点，组成 6 对，每对横坐标和为 1。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：故所有横坐标之和为 ，选择 C。
二、填空题 · 线性规划
答案：
题目标签：线性规划最小值
最小化
令 ，原约束直接化为两个独立区间。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“令 ，原约束直接化为两个独立区间。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：；解回 ，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 取最小 3、 取最大 9 时 最小，得到 ，对应点满足全部边界条件。
二、填空题 · 圆锥曲线
答案：
题目标签：焦点弦周长定椭圆
求椭圆方程
直线过焦点 ，两交点位于焦点两侧。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直线过焦点 ，两交点位于焦点两侧。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 。又 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：焦点在 轴，方程为 。
二、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：球内接矩形棱锥体积
计算棱锥体积
矩形中心是其外接圆圆心，半对角线为截面圆半径。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“矩形中心是其外接圆圆心，半对角线为截面圆半径。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：矩形对角线 ，截面半径 ；球心到平面距离 。底面积为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：体积 。
二、填空题 · 解三角形
答案：
题目标签：解三角形线性最值
求 最大值
设 ，由余弦定理及 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设 ，由余弦定理及 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：。对线性式 使用拉格朗日乘数或二次型柯西不等式，得 ，等号对应正边长。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此最大值为 ，取等条件可构成三角形。
三、解答题 · 数列
答案：；
题目标签：正项等比数列与裂项和
求通项
各项为正，所以公比 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“各项为正，所以公比 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 化为 ，得 ；再由 得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：故 。
求倒数数列前 项和
。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：求和后中间项抵消，得到 。
三、解答题 · 立体几何
答案：证明见解析；余弦
题目标签：四棱锥二面角
证明
先在底面内证明 ，再利用 垂直底面。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先在底面内证明 ，再利用 垂直底面。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：设 ，则 且夹角 ，；又 。
AD\perp BD,\quad PD\perp BD
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 相交且张成平面 ，故 平面 ，从而 。
求二面角
令 建立空间直角坐标系。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“令 建立空间直角坐标系。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：可取 。平面 与 的法向量可取 和 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所取法向量对应二面角内部，余弦为 。
解答题 · 概率统计
答案：优质品率 0.30、0.42； 分布为 ，
题目标签：离散分布与期望
求两配方优质品率
优质品指标值至少为 102，对应最后两组。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“优质品指标值至少为 102，对应最后两组。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：A 配方优质频数 ，B 配方为 ，各除以 100。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：频率均在 内且分母为各自样本量 100。
求利润分布与期望
B 配方中指标区间直接对应三档利润。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“B 配方中指标区间直接对应三档利润。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，概率和为 1。
解答题 · 解析几何
答案：；最小距离 2
题目标签：动点轨迹与切线距离
求轨迹方程
设 ，由 且 在 上得 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“设 ，由 且 在 上得 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把 展开，得到 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：整理为抛物线 。
求原点到切线最小距离
设切点参数为 。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“设切点参数为 。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：切线为 ，原点到它的距离 。令 ，则 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 时取等，最小距离为 2。
解答题 · 导数与不等式
答案：；
题目标签：切线定参与最佳常数
求
切线 在 处纵坐标为 1、斜率为 。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“切线 在 处纵坐标为 1、斜率为 。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：；，代入 得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：得到 。
确定 范围
代入 ，把不等式移项并乘以正数 。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“代入 ，把不等式移项并乘以正数 。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：目标等价于 。由 可证 ；且 时 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此 时恒成立，任何 都会被充分接近 1 的 破坏。
解答题 · 圆
答案：四点共圆；半径
题目标签：圆幂逆定理与圆半径
证明四点共圆
方程两根为 ，根积等于 。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“方程两根为 ，根积等于 。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：。从点 出发的两条射线分别过 与 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：由圆幂逆定理， 四点共圆。
求外接圆半径
时方程为 ，根为 2、12。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“ 时方程为 ，根为 2、12。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：取 。 的垂直平分线为 ， 的垂直平分线为 ，圆心为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：半径 。
解答题 · 坐标系与参数方程
答案：；
题目标签：参数方程与极坐标
求 方程
是圆 ，且 的坐标是 的 2 倍。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“ 是圆 ，且 的坐标是 的 2 倍。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：若 ，则 ；代入 得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：故 是圆心 、半径 4 的圆。
求
两圆都过极点，同一射线上的非原点交点可直接比较极径。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“两圆都过极点，同一射线上的非原点交点可直接比较极径。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 的极坐标方程为 ， 为 。当 时，极径分别为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两点同向，距离为极径之差 。
解答题 · 不等式
答案：；
题目标签：绝对值不等式
解 时不等式
两边都有 ，相减后只剩绝对值条件。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“两边都有 ，相减后只剩绝对值条件。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，所以 或 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：解集为 或 ，端点可取。
由解集反求
。当 时 ；当 时 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“。当 时 ；当 时 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此 的解集恒为 。与题给 比较端点。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：解得 ，满足 。