exams_raw/普通高考/2011/2011大纲文(贵州,云南,甘肃,内蒙古,青海,西藏,河北,广西).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：D；
题目标签：集合交补运算
求目标集合
按括号先求 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“按括号先求 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，再从全集 中删去 2、3。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：余下 ，选择 D。
一、选择题 · 函数
答案：B；
题目标签：反函数
求反函数
原函数在 严格递增，值域也是 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“原函数在 严格递增，值域也是 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：由 得 ，交换 后为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：反函数定义域等于原函数值域，必须写 ，选择 B。
一、选择题 · 平面向量
答案：B；
题目标签：向量模
求向量和的模
数量积条件适合先计算模的平方。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“数量积条件适合先计算模的平方。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：模取非负平方根，得 ，选择 B。
一、选择题 · 线性规划
答案：C；5
题目标签：线性规划
求 最小值
约束给出 ，且 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“约束给出 ，且 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：目标系数均为正，最小点取最小允许的 与对应下界 ；该点还满足 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，选择 C。
一、选择题 · 常用逻辑用语
答案：A；
题目标签：充分不必要条件
判断充分不必要条件
充分条件必须保证 ，但不能与它等价。
为什么从这里入手：逻辑题必须先拆成可独立判断的原子命题。“充分条件必须保证 ，但不能与它等价。”给出了真值判断依据，先识别结构并建立关系，再代入且、或、非或充分必要关系，能避免被复合句式干扰。
详细展开： 必然推出 ，而 时未必有 ； 与 等价，其余选项不能保证。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以 A 是充分而不必要条件。
一、选择题 · 数列
答案：D；5
题目标签：等差数列片段和
求
。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：解得 ，选择 D。
一、选择题 · 三角函数
答案：C；6
题目标签：图象平移重合
求最小频率
右移 后重合，说明该平移量是周期的整数倍。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“右移 后重合，说明该平移量是周期的整数倍。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：最小时取 ，即一个完整相位周期。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：得到 ，选择 C。
一、选择题 · 立体几何
答案：C；
题目标签：直二面角中的距离
求
直二面角使 所在的两个垂直于棱的方向互相垂直，二者也都垂直 。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“直二面角使 所在的两个垂直于棱的方向互相垂直，二者也都垂直 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：因此 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：长度取正根 ，选择 C。
一、选择题 · 排列组合
答案：B；24
题目标签：课程选择计数
统计恰两人选甲
先从 4 人中选出恰好选甲的 2 人。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先从 4 人中选出恰好选甲的 2 人。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：有 种；剩余 2 人各自只能选乙或丙，有 种。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：乘法原理得 24，选择 B。
一、选择题 · 函数性质
答案：A；
题目标签：奇函数与周期性
求函数值
周期为 2，可将 加 2 化为 。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“周期为 2，可将 加 2 化为 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：奇函数给 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：结果为 ，选择 A。
一、选择题 · 圆
答案：C；8
题目标签：两切轴圆的圆心距
求两圆心距离
在第一象限同时与两坐标轴相切的圆心为 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“在第一象限同时与两坐标轴相切的圆心为 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：过 给 ，即 ，两根差为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两圆心都在直线 上，距离为 ，选择 C。
二、填空题 · 球
答案：D；
题目标签：球的斜截面
求截面圆面积
球半径 4，圆 半径 2。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“球半径 4，圆 半径 2。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：球心到 的距离为 。平面 过 且法向量与 法向量夹角 ，故球心到 的距离为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：截面圆 半径平方为 ，面积 ，选择 D。
二、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项式系数差
求系数差
通项系数为 。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“通项系数为 。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开： 的系数为 ， 的系数为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两者之差为 0。
二、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：由正切求余弦
求
在第三象限，正弦余弦都为负。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“ 在第三象限，正弦余弦都为负。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开： 给 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：按第三象限取负，得到 。
二、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：异面直线所成角
求夹角余弦
设正方体棱长为 1，用坐标表示方向。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设正方体棱长为 1，用坐标表示方向。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 ，，则 ； 方向为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：化简得 ，取异面直线锐角。
二、填空题 · 圆锥曲线
答案：
题目标签：双曲线焦点角平分线
求焦半径
双曲线 ，焦点为 ； 位于焦点连线上。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“双曲线 ，焦点为 ； 位于焦点连线上。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：角平分线定理给 。右支点满足 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：联立得 。
三、解答题 · 数列
答案： 时 ； 时
题目标签：等比数列的两种公比
求通项
由 消去首项。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“由 消去首项。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，代入 得 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两种公比都合法，分别得到 与 。
求
两个公比都不等于 1。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“两个公比都不等于 1。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：当 ，；当 ，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两组结果代回 均成立，不能漏解。
三、解答题 · 解三角形
答案：；
题目标签：正弦定理与恒等变形
求角
三边均可写成同一外接圆直径乘对应角正弦。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“三边均可写成同一外接圆直径乘对应角正弦。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：原式化为 。利用 得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：内角正弦均正，约去后得 。
求
，故 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“，故 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三边满足三角形不等式并回代原条件。
三、解答题 · 概率统计
答案：0.8；0.384
题目标签：购买保险的二项概率
求至少购买一种概率
“购买甲”与“购买乙但不购买甲”互斥。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而““购买甲”与“购买乙但不购买甲”互斥。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所求概率为 ，故两种都不购买的概率为 0.2。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：互斥性保证没有重复计数。
求三人中恰一人都不购买
每位车主都不购买的概率为 0.2，且相互独立。
为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“每位车主都不购买的概率为 0.2，且相互独立。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：选择哪一人不购买有 3 种，已由组合数计入。
三、解答题 · 立体几何
答案：证明见解析；线面角为
题目标签：四棱锥线面垂直与线面角
证明 平面
由底面梯形条件可算出 且 的位置关系。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“由底面梯形条件可算出 且 的位置关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：建立坐标可取 ，于是 同时垂直 。
SD\perp SA,\quad SD\perp SB
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 是平面 内相交直线，故 平面 。
求 与平面 所成角
在上述坐标中 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“在上述坐标中 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开： 方向为 ，平面 法向量可取 ，故线面角正弦为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：线面角取锐角，故大小为 。
三、解答题 · 导数
答案：切线恒过 ；
题目标签：三次函数切线与极值点
证明切线过定点
计算 与 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“计算 与 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，，切线为 ；代入 恒得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此不论 如何，切线均过 。
求参数范围
极值点 满足 且 。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“极值点 满足 且 。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：由 得 ；极小条件化为 。结合 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：该函数在此区间递减，端点像为 与 ，故开区间如结论。
三、解答题 · 解析几何
答案： 在椭圆上； 共圆
题目标签：椭圆焦点弦与共圆
证明 在椭圆上
焦点为 ，直线为 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“焦点为 ，直线为 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：联立椭圆得 ，故 ，且 。由向量和条件，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：代入 成立，因此 。
证明四点共圆
是 关于原点的对称点，即 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 是 关于原点的对称点，即 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把 的根关系以及各点坐标代入一般圆方程 ，由 解出的 同时满足点 ；等价地可验证 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：同弦 所对角相等，所以 四点共圆。