exams_raw/普通高考/2012/2012上海文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、填空题 · 复数
答案：
题目标签：复数除法
计算复数商
分子分母同乘 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“分子分母同乘 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以结果为 。
一、填空题 · 集合
答案：
题目标签：一元不等式集合交集
求
两个集合都由严格不等式给出，先分别写成开区间。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“两个集合都由严格不等式给出，先分别写成开区间。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开： 给出 ，绝对值不等式给出 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：共同部分为 ，两个端点都不取。
一、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：行列式三角函数周期
求最小正周期
按主对角线积减副对角线积展开。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“按主对角线积减副对角线积展开。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：常数平移不改变周期，所以最小正周期是 。
一、填空题 · 直线
答案：
题目标签：方向向量确定倾斜角
求倾斜角
方向向量横坐标非零，斜率为纵分量除以横分量。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“方向向量横坐标非零，斜率为纵分量除以横分量。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，倾斜角位于第一象限并满足 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以答案为 。
一、填空题 · 空间几何体
答案：
题目标签：圆柱表面积
求圆柱表面积
底面周长 ，所以半径为 1。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“底面周长 ，所以半径为 1。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：表面积为两个底面与侧面之和：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以表面积为 。
一、填空题 · 指数函数
答案：
题目标签：指数方程换元
解指数方程
，方程可化成一元二次方程。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“，方程可化成一元二次方程。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：令 ，则 ，正根为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以 。
一、填空题 · 数列极限
答案：
题目标签：正方体体积无穷等比和
求体积总和极限
体积是棱长的三次方，所以公比应立方。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“体积是棱长的三次方，所以公比应立方。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：，体积公比为 ，无穷和为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：公比绝对值小于 1，极限存在。
一、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项式常数项
求常数项
通项中选取 共 次， 指数为 。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“通项中选取 共 次， 指数为 。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：令指数为 0 得 ，系数为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以常数项为 。
一、填空题 · 函数奇偶性
答案：
题目标签：奇函数平移求值
求
，所以 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“，所以 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：奇函数给 ，因此 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以结果为 3。
一、填空题 · 线性规划
答案：
题目标签：菱形约束的线性目标
求目标函数最小值
是顶点为 的菱形。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 是顶点为 的菱形。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把 代入四个顶点，值为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：线性函数最小值在顶点 取得。
一、填空题 · 古典概型
答案：
题目标签：三人选择项目的古典概型
求恰有两人选择相同的概率
无论每人选一个项目还是从三项中选两个项目，每人都有 3 种等可能选择。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“无论每人选一个项目还是从三项中选两个项目，每人都有 3 种等可能选择。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：总结果 。恰有两人相同：选重复标签 3 种、单独标签 2 种、选单独者 3 种，共 18 种。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三人全同和三人全异均已排除。
一、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：矩形边上动点向量积
求数量积范围
取 ，公共比例记为 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“取 ，公共比例记为 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，所以数量积为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：端点都允许，因此取值范围是闭区间 。
一、填空题 · 定积分
答案：文科 ，理科
题目标签：折线函数乘积图象面积
求图象与横轴围成面积
折线在 与 分别是两条一次函数，且 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“折线在 与 分别是两条一次函数，且 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：若顶点高度为 ，则 或 。面积为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：代入各卷顶点高度即可得到文科 、理科 。
一、填空题 · 数列
答案：
题目标签：隔项递推与不动点
求
偶数下标形成迭代 ，且该映射单射。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“偶数下标形成迭代 ，且该映射单射。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故该值为正不动点，满足 。向前利用单射可知所有偶数项相同。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取正根符合各项正数。
求 并相加
奇数子列从 开始同样迭代，产生相邻斐波那契数之比。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“奇数子列从 开始同样迭代，产生相邻斐波那契数之比。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此所求和如上。
二、选择题 · 复数
答案：
题目标签：实系数方程的共轭根
求实系数
实系数多项式的非实根成共轭对出现。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“实系数多项式的非实根成共轭对出现。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：另一根为 ；两根和为 2、积为 。由韦达定理 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以对应正确结论是 。
二、选择题 · 充分必要条件
答案：必要而不充分条件
题目标签：椭圆方程的必要条件
判断条件关系
曲线为实椭圆必须有 ，所以必有 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“曲线为实椭圆必须有 ，所以必有 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：反之 还允许 同为负数，此时方程左边非正，不可能等于 1，不表示实椭圆。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以是必要而不充分条件。
二、选择题 · 解三角形
答案： 为钝角
题目标签：三角函数平方判断角型
判断三角形形状
三角形内有恒等式 。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“三角形内有恒等式 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：题设左边小于零，而 均为正，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此 ，三角形是以 为钝角的钝角三角形。
二、选择题 · 三角数列
答案：
题目标签：正弦部分和符号计数
统计正的部分和
等差角正弦和可写成两个正弦的乘积。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“等差角正弦和可写成两个正弦的乘积。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：。每 14 项循环，其中 为正， 为零。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：正数个数为 。
三、解答题 · 立体几何
答案：；
题目标签：三棱锥体积与异面角
求三棱锥体积
底面 为两直角边 的直角三角形， 是高。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“底面 为两直角边 的直角三角形， 是高。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以体积为 。
求 与 所成角
取 ，则 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“取 ，则 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：方向向量可取 、，数量积为 6，模分别为 4 和 2。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所成角为 。
三、解答题 · 函数
答案：；反函数
题目标签：对数不等式与周期偶函数反函数
解对数不等式
先同时落实两个对数真数为正，再利用常用对数单调递增。
为什么从这里入手：含分母、根号或对数的式子必须先合法，后续变形才有意义。“先同时落实两个对数真数为正，再利用常用对数单调递增。”正好暴露了限制条件；先识别结构并建立关系，可以防止约分或平方时把禁值偷偷带回答案。
详细展开：差为 。条件等价于 ，在定义域 内解得 且 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以解集为开区间 。
求 上函数的反函数
对 ，周期和偶性给 。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“对 ，周期和偶性给 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：，值域为 。由 解得 ，交换变量。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：反函数定义域必须写成原函数值域。
解答题 · 函数最值
答案：半小时会合速度 海里/时；最小速度 海里/时
题目标签：抛物线路径追及
求 时速度
失事船位置为 ，救援船起点为 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“失事船位置为 ，救援船起点为 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 时 ，位移 ，路程为 ，除以半小时得速度 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：方向为北偏东 。
求能够追上的最小时速
任意 会合所需平均速度为 。
为什么从这里入手：统计量都来自明确的样本计数或加权。“任意 会合所需平均速度为 。”给出了数据与权重，先识别结构并建立关系可以避免把频数、频率和概率混为一谈，并能用总数或概率和反查计算。
详细展开：，等号在 取得。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以最小时速为 25 海里。
解答题 · 双曲线
答案：；面积 ；垂直关系成立
题目标签：双曲线焦点、渐近线与垂直弦
求点
双曲线参数为 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“双曲线参数为 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：右支上 ，题给 ，故 。两距离平方作差求得 ，代回曲线得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两个点关于 轴对称，均满足条件。
求平行四边形面积
渐近线为 ，过左顶点 作两条平行线。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“渐近线为 ，过左顶点 作两条平行线。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：四个交点形成菱形，两条对角线长度分别为 和 1。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：所以面积为 。
证明
设切线 ，与单位圆相切给出 。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“设切线 ，与单位圆相切给出 。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：联立双曲线后横坐标根满足 、。代入 ，利用切线条件化简为 0。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此 。
解答题 · 数列
答案：5 个数列见过程；；修正和
题目标签：控制数列的结构与求和
写出所有原数列
控制值每次上升时，原项必须等于新的最大值；保持不变时，原项可不超过当前最大值。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“控制值每次上升时，原项必须等于新的最大值；保持不变时，原项可不超过当前最大值。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：所以前四项依次为 ，第五项可为任一正整数 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：共有五个数列。
证明
题设给 。控制数列 随 不减。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“题设给 。控制数列 随 不减。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：当 增大时 减小，所以 不增，从而 不减。非降数列的前 项最大值就是第 项。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：结论对每个 成立。
求 100 项修正和
符号 按 周期变化。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“符号 按 周期变化。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：相邻差除 外均为正；在 后有一次下降，且 ，差为 。 到 中 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：其余项控制值等于原项，不贡献差。