exams_raw/普通高考/2013/2013北京文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：B；
题目标签：求集合交集
求集合交集
离散集合与区间求交时逐个检验端点最稳妥。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“离散集合与区间求交时逐个检验端点最稳妥。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开： 都属于 ，而 不属于，所以 ，选 B。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 不等式
答案：D；
题目标签：判断不等式恒成立项
判断不等式恒成立项
只知道 ，应选在整个实数域严格单调的变换。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“只知道 ，应选在整个实数域严格单调的变换。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：函数 在 上严格递增，所以 ；其余选项均受 、正负号影响。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 函数性质
答案：C；
题目标签：判断偶函数及单调性
判断偶函数及单调性
逐项同时核对定义域关于原点对称、偶性和正半轴单调性。
为什么从这里入手：含分母、根号或对数的式子必须先合法，后续变形才有意义。“逐项同时核对定义域关于原点对称、偶性和正半轴单调性。”正好暴露了限制条件；先识别结构并建立关系，可以防止约分或平方时把禁值偷偷带回答案。
详细展开： 满足 ，且在 上导数 ；其他选项至少缺一项性质。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 复数
答案：A；第一象限
题目标签：复数对应象限
复数对应象限
先展开复数，再由实部、虚部的符号判定象限。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“先展开复数，再由实部、虚部的符号判定象限。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：，实部和虚部均为正。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 解三角形
答案：B；
题目标签：利用正弦定理求角的正弦
利用正弦定理求角的正弦
边角对应关系直接提示使用正弦定理。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“边角对应关系直接提示使用正弦定理。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：由 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 算法初步
答案：C；
题目标签：执行循环框图
执行循环框图
严格按照赋值、计数、判断的先后顺序记录状态。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“严格按照赋值、计数、判断的先后顺序记录状态。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：初值 ；第一轮得 ，第二轮得 。此时 ，退出并输出。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 双曲线
答案：C；
题目标签：由离心率求参数范围
由离心率求参数范围
先把离心率写成参数 的函数。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“先把离心率写成参数 的函数。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：曲线要求 ，且 ； 等价于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 空间几何
答案：B；4 个
题目标签：正方体内距离分类
正方体内距离分类
把正方体顶点设为 坐标，三等分点坐标固定，比较距离平方即可。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把正方体顶点设为 坐标，三等分点坐标固定，比较距离平方即可。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 （另一三等分点对称）。八个顶点到 的距离平方经合并只有 四种。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 抛物线
答案：，准线
题目标签：抛物线焦点与准线
求参数和准线
标准式 的焦点是 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“标准式 的焦点是 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：由 得 ，准线与焦点关于顶点对称，所以为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：焦点到准线的距离等于 。
二、填空题 · 空间几何体
答案：
题目标签：由三视图求四棱锥体积
由三视图求四棱锥体积
先由俯视图确定底面，再由主、侧视图读取垂直高度。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先由俯视图确定底面，再由主、侧视图读取垂直高度。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：底面可分成面积分别为 和 的两个三角形，总面积 ；高为 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 数列
答案：，
题目标签：等比数列求公比与前项和
求公比
两组和的下标整体相差 1，可直接作比。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“两组和的下标整体相差 1，可直接作比。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 ，得到 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：公比非零且回代两式一致。
求前 项和
公比确定后用任一已知和求首项。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“公比确定后用任一已知和求首项。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 ；再代入等比求和公式。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取 回代可核对首两项。
二、填空题 · 线性规划
答案：
题目标签：线性规划区域内的最短距离
线性规划区域内的最短距离
先判断点 到哪条可行域边界最近。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先判断点 到哪条可行域边界最近。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：可行域满足 。点 到直线 的垂足为 ，同时满足另外两条约束，因此距离可取。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 函数值域
答案：
题目标签：求分段函数值域
求分段函数值域
分别求两段的值域，再取并集并注意端点是否取得。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“分别求两段的值域，再取并集并注意端点是否取得。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开： 时 ； 时 ，故并集为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：参数平行四边形面积
参数平行四边形面积
参数 在单位矩形变化，像区域面积由两生成向量行列式给出。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“参数 在单位矩形变化，像区域面积由两生成向量行列式给出。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：，，故面积为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 三角函数
答案：，最大值 ；
题目标签：三角函数化简与求角
求周期和最大值
式中同时出现二倍角和四倍角，先用积化和差。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“式中同时出现二倍角和四倍角，先用积化和差。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：由角频率 4 得周期 ，振幅给出最大值。
求
达到正振幅要求正弦值为 1。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“达到正振幅要求正弦值为 1。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 ；在 内只有 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：区间筛选后角度唯一。
三、解答题 · 概率统计
答案：；；3 月 5 日
题目标签：空气质量折线图概率与方差
求到达日优良概率
样本空间是 13 个等可能到达日，先圈出指数小于 100 的日期。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“样本空间是 13 个等可能到达日，先圈出指数小于 100 的日期。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：1、2、3、7、12、13 日共 6 天优良。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：分母只能取可选择的 1 至 13 日。
求恰有一天重度污染的概率
停留两天对应 13 个相邻日期对。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“停留两天对应 13 个相邻日期对。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：重度污染日在 5、8 日；从 4、5、7、8 日到达时，两天中恰含一个重污染日，共 4 种。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两个污染日不相邻，不会重复计数。
判断最大方差窗口
方差由三项相对均值的偏离决定，优先比较极差最大的窗口。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“方差由三项相对均值的偏离决定，优先比较极差最大的窗口。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：从 5 日开始的三项为 ，其方差为 ，大于其他连续三日窗口。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因此应从 3 月 5 日开始。
解答题 · 立体几何
答案：三项结论均成立
题目标签：四棱锥中的线面垂直
证明 底面
在垂直平面的交线 上寻找底面内垂线。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“在垂直平面的交线 上寻找底面内垂线。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：平面 底面且交线为 ， 平面 、，故 底面。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：线面垂直判定条件齐全。
证明 平面
由 且 ，中点 使 与 平行。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“由 且 ，中点 使 与 平行。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：在梯形 中， 为 中点，向量计算得 。又 平面 。
BE\parallel AD
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：且 不在平面 内，故线面平行。
证明两平面垂直
要证两平面垂直，只需在平面 内找到垂直平面 的直线。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“要证两平面垂直，只需在平面 内找到垂直平面 的直线。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：由中点关系 ，又 。底面中 ，且 底面；结合 的分解可得 、，故 平面 。
BF\perp PC,\quad BF\perp CD
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：因 平面 ，两平面垂直。
解答题 · 导数
答案：；
题目标签：导数研究切线与交点个数
求切点和切线
直线 的斜率为零。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直线 的斜率为零。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：；因 ，仅有 ，进而 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：导数零点唯一。
求两个交点对应的
导数符号与 同号，函数以 为唯一全局最小点。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“导数符号与 同号，函数以 为唯一全局最小点。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开： 在 递减、 递增，且两端趋于 ，最小值为 1。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：水平线高于最小值时左右各交一次。
解答题 · 椭圆
答案：；非顶点时不可能
题目标签：椭圆内接菱形判定
求
菱形 的对角线为 。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“菱形 的对角线为 。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：，故 的中点是 且 ，于是弦所在直线为 。代入椭圆得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两端点关于中点对称。
排除非顶点情形
设 ，菱形要求弦 中点为 且垂直 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设 ，菱形要求弦 中点为 且垂直 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：椭圆中点弦公式给 ，而垂直要求 ；非轴上点不能同时成立。轴上点恰是椭圆顶点。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：故题设排除顶点后不存在。
解答题 · 数列
答案：； 为等比数列； 为等差数列
题目标签：前缀最大与后缀最小数列
计算
分别写前缀最大值和后缀最小值。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“分别写前缀最大值和后缀最小值。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：，，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：每个后缀都含末项 1。
证明 等比
正首项且公比 使原数列严格递增。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“正首项且公比 使原数列严格递增。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：故 、，于是 ，相邻项之比恒为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：比例与下标无关。
反推原数列为等差
且递增意味着每次前缀最大值必须由新项取得，而后缀最小值保持为下一项。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“ 且递增意味着每次前缀最大值必须由新项取得，而后缀最小值保持为下一项。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：由 逐步比较 可归纳得 ，从而 ；再比较相邻式得到 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：二阶差分为零即等差。