exams_raw/普通高考/2013/2013北京理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：B；
题目标签：求集合交集
求集合交集
离散集合与区间求交时逐个检验端点最稳妥。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“离散集合与区间求交时逐个检验端点最稳妥。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开： 都属于 ，而 不属于，所以 ，选 B。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 复数
答案：D；第四象限
题目标签：复数对应象限
复数对应象限
展开平方并观察实部、虚部符号。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“展开平方并观察实部、虚部符号。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：，实部正、虚部负。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 常用逻辑用语
答案：A；充分而不必要
题目标签：判断充分必要条件
判断充分必要条件
把“过原点”直接写成 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“把“过原点”直接写成 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 必使函数过原点；反之只需 ，不必等于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 算法初步
答案：C；
题目标签：执行循环框图
执行循环框图
严格按照赋值、计数、判断的先后顺序记录状态。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“严格按照赋值、计数、判断的先后顺序记录状态。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：初值 ；第一轮得 ，第二轮得 。此时 ，退出并输出。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 函数图象变换
答案：D；
题目标签：函数图象平移与对称
函数图象平移与对称
把每次图象变换翻译为自变量替换。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“把每次图象变换翻译为自变量替换。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：右移 1 后是 ； 关于 轴对称为 ，故 ，令 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 双曲线
答案：B；
题目标签：由离心率求渐近线
由离心率求渐近线
利用 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“利用 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 给出 ，所以渐近线斜率为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 定积分
答案：C；
题目标签：抛物线弓形面积
抛物线弓形面积
焦点弦垂直对称轴，因此直线方程和交点可直接确定。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“焦点弦垂直对称轴，因此直线方程和交点可直接确定。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：焦点为 ，直线 与 交于 ；面积为直线与抛物线之间的积分。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 线性规划
答案：C；
题目标签：不等式区域与直线相交
不等式区域与直线相交
把目标直线 代入三个严格不等式，化为同一变量的区间非空条件。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把目标直线 代入三个严格不等式，化为同一变量的区间非空条件。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：令 ，得到 、、。存在解等价于 ，化简为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 极坐标
答案：
题目标签：极坐标点到直线距离
极坐标点到直线距离
先转直角坐标识别直线。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“先转直角坐标识别直线。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：点为 ， 即 ，距离为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 数列
答案：，
题目标签：等比数列求公比与前项和
求公比
两组和的下标整体相差 1，可直接作比。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“两组和的下标整体相差 1，可直接作比。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 ，得到 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：公比非零且回代两式一致。
求前 项和
公比确定后用任一已知和求首项。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“公比确定后用任一已知和求首项。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 ；再代入等比求和公式。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取 回代可核对首两项。
二、填空题 · 圆
答案：，
题目标签：切线割线定理与直角三角形
求
从点 引切线和割线，立即有切线平方等于割线乘积。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“从点 引切线和割线，立即有切线平方等于割线乘积。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：设 ，则 ； 给出 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：长度取正根。
求直径
切线 ，所以 为直角三角形。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“切线 ，所以 为直角三角形。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：，由勾股定理 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三边为 。
二、填空题 · 排列组合
答案：
题目标签：相邻券成对分配
相邻券成对分配
五张券分给四人且每人至少一张，恰有一人拿两张。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“五张券分给四人且每人至少一张，恰有一人拿两张。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：连号二元组有 4 种，拿两张者有 4 种，余下三张与三人一一对应有 种。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：网格向量线性表示
网格向量线性表示
从网格读出三个向量的水平、竖直分量，建立二元方程。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“从网格读出三个向量的水平、竖直分量，建立二元方程。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：把图中单位格分量代入 ，消元得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 空间向量
答案：
题目标签：异面线段间最短距离
异面线段间最短距离
建立正方体坐标，把线段 参数化后求到直线 的距离平方。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“建立正方体坐标，把线段 参数化后求到直线 的距离平方。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 。消去直线 的竖直坐标后，距离平方化为关于 的二次式，在 取最小值 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 解三角形
答案：；
题目标签：倍角条件解三角形
求
已知 ，正弦定理把边比变成正弦比。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“已知 ，正弦定理把边比变成正弦比。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：该值对应锐角并满足三角形条件。
求
先求 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先求 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 给出 ，正根为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：负根舍去。
三、解答题 · 概率统计
答案：；，；5 月 5 日
题目标签：空气质量随机变量
求到达日优良概率
到达日共有 13 个等可能结果。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“到达日共有 13 个等可能结果。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：优良日为 1、2、3、7、12、13 日，共 6 天。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：严格小于 100 才算优良。
求 的分布列和期望
对 13 个到达日起点逐一统计两天内优良日个数。
为什么从这里入手：统计量都来自明确的样本计数或加权。“对 13 个到达日起点逐一统计两天内优良日个数。”给出了数据与权重，先识别结构并建立关系可以避免把频数、频率和概率混为一谈，并能用总数或概率和反查计算。
详细展开： 的起点数分别为 ，故概率为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：概率和为 1。
判断最大方差窗口
同文科题比较所有连续三项。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“同文科题比较所有连续三项。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：从 5 日起的 方差为 ，最大。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：故起始日唯一。
三、解答题 · 立体几何
答案：垂直成立；；
题目标签：三棱柱中的垂直、二面角与动点
证明 平面
正方形给出 ，垂直平面的性质再给出 。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“正方形给出 ，垂直平面的性质再给出 。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：AA_1\perp AC,\quad AA_1\perp AB
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两直线在底面相交。
求二面角余弦
由 可取三条互相垂直坐标轴。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“由 可取三条互相垂直坐标轴。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 。两平面法向量可取 、。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取所求二面角的锐角。
确定点
令 ，则 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“令 ，则 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，；垂直条件给 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，点在线段内部。
三、解答题 · 导数
答案：；除切点外曲线在其下方
题目标签：对数函数切线不等式
求切线方程
切点为 ，只需计算导数值。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“切点为 ，只需计算导数值。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：切线通过 。
证明曲线在切线下方
目标等价于 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“目标等价于 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：设 ，则 ，所以 在 取唯一最小值 0。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：等号仅在 。
三、解答题 · 椭圆
答案：面积 ；非顶点时不可能
题目标签：椭圆内接菱形
求右顶点情形面积
，对角线 水平，故弦 竖直且中点为 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“，对角线 水平，故弦 竖直且中点为 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：直线 与椭圆交于 ，所以 ，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：对角线互相垂直。
排除非顶点
设 ，沿用椭圆中点弦斜率公式。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设 ，沿用椭圆中点弦斜率公式。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：菱形要求 中点为 且 ，分别给出斜率 与 ，只有轴上顶点可能。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：非顶点条件排除所有解。
三、解答题 · 数列
答案：；充要条件成立；各项仅为 1、2 且 1 有无穷多项
题目标签：无限数列的前缀最大与后缀最小
写出前四个
后缀中始终会再次出现 1。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“后缀中始终会再次出现 1。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：按定义相减。
证明充要条件
等差递增数列的前缀最大和后缀最小都是相邻两项；反向用极值关系归纳。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“等差递增数列的前缀最大和后缀最小都是相邻两项；反向用极值关系归纳。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：若 ，则 ，故 。反之 迫使每一步 ，否则会破坏相邻前缀最大或后缀最小关系。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两方向均包含 。
证明项值和无限出现
由 先确定所有前缀最大与后缀最小只差 1。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“由 先确定所有前缀最大与后缀最小只差 1。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：若出现大于 2 的项，之后的后缀最小将至少为 2，与先前存在的尾部最小 1 矛盾；故各项只为 1 或 2。若 1 仅有限次，则充分靠后的 ，会有 ，再矛盾。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：结论同时满足非负整数条件。