1一、选择题 · 集合
已知集合 A={1,2,3,4}, B={x∣x=n2,n∈A}, 则 A∩B= ( )
答案：A；{1,4}
题目标签：集合交集
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
先列出平方集合，再保留仍属于原集合的元素。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“先列出平方集合，再保留仍属于原集合的元素。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开：B={1,4,9,16}，故 A∩B={1,4}。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 复数
(1−i)21+2i= ( )
答案：B；−1+21i
题目标签：复数除法
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
先算分母，再乘以 1/(−2i)=i/2。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先算分母，再乘以 1/(−2i)=i/2。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：(1−i)2=−2i，所以 (1+2i)/(−2i)=(1+2i)i/2=−1+i/2。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 概率
从 1, 2, 3, 4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( )
答案：B；31
题目标签：古典概型计数
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
把任取两数视为无序组合。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“把任取两数视为无序组合。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：共有 (24)=6 对，差的绝对值为 2 的是 {1,3},{2,4} 两对，概率 2/6=1/3。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 双曲线
已知双曲线 C:a2x2−b2y2=1 (a>0,b>0) 的离心率为 25，则 C 的渐近线方程为 ( )
答案：C；y=±21x
题目标签：离心率求渐近线
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
用 e2=1+b2/a2 直接求斜率。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“用 e2=1+b2/a2 直接求斜率。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：5/4=1+b2/a2，故 b/a=1/2，渐近线为 y=±(b/a)x。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 常用逻辑用语
已知命题 p:∀x∈R,2x<3x; 命题 q:∃x∈R,x3=1−x2, 则下列命题中为真命题的是 ( )
答案：B；¬p∧q
题目标签：全称与存在命题
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
用一个反例否定全称命题，用连续性确认存在命题。
为什么从这里入手：逻辑题必须先拆成可独立判断的原子命题。“用一个反例否定全称命题，用连续性确认存在命题。”给出了真值判断依据，先识别结构并建立关系，再代入且、或、非或充分必要关系，能避免被复合句式干扰。
详细展开：取 x=−1 有 2x>3x，故 p 假；h(x)=x3+x2−1 在 0,1 处异号，故 q 真。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 数列
设首项为 1，公比为 32 的等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，则 ( )
答案：D；Sn=3−2an
题目标签：等比数列前项和
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
把前项和与通项都写成 (2/3)n。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“把前项和与通项都写成 (2/3)n。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 n 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：Sn=3[1−(2/3)n]，而 2an=2(2/3)n−1=3(2/3)n，故 Sn=3−2an。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 算法初步
执行下面的程序框图，若输入的 t∈[−1,3]，则输出的 s 属于 ( )
答案：A；[−3,4]
题目标签：分段流程输出范围
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
先把框图翻译成分段函数，再分别求值域。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先把框图翻译成分段函数，再分别求值域。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：当 −1≤t<1 时 s=3t∈[−3,3)；当 1≤t≤3 时 s=4t−t2=4−(t−2)2∈[3,4]，合并为 [−3,4]。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 抛物线
O 为坐标原点，F 为抛物线 C:y2=42x 的焦点，P 为 C 上一点，若 ∣PF∣=42，则 △POF 的面积为 ( )
答案：C；23
题目标签：抛物线焦半径与面积
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
焦半径先给横坐标，再由方程求纵坐标。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“焦半径先给横坐标，再由方程求纵坐标。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：焦点 F(2,0)，由 PF=xP+2=42 得 xP=32，继而 ∣yP∣=26；面积为 212⋅26=23。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 函数图象
函数 f(x)=(1−cosx)sinx 在 [−π,π] 的图象大致为 ( )
答案：C
题目标签：函数图象识别
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
先看奇偶性，再看零点附近和端点的符号。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先看奇偶性，再看零点附近和端点的符号。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：1−cosx 为偶函数、sinx 为奇函数，故 f 为奇函数；在 (0,π) 为正，在 (−π,0) 为负，且 −π,0,π 均为零，符合图 C。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 解三角形
已知锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6, 则 b= ( )
答案：D；5
题目标签：余弦条件解三角形
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
先由二倍角条件求 cosA，再用余弦定理。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“先由二倍角条件求 cosA，再用余弦定理。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：23cos2A+cos2A=25cos2A−1=0，锐角给 cosA=1/5；49=b2+36−12b/5，正根为 b=5。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 空间几何体
某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为 ( )
答案：A；16+8π
题目标签：三视图组合体体积
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
把三视图还原成半圆柱与长方体的叠合。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“把三视图还原成半圆柱与长方体的叠合。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：半圆柱半径 2、长 4，体积 21π⋅22⋅4=8π；长方体为 4×2×2，体积 16。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 函数与不等式
已知函数 f(x)={−x2+2x,ln(x+1),x⩽0,x>0, 若 ∣f(x)∣⩾ax，则 a 的取值范围是 ( )
答案：D；[−2,0]
题目标签：分段函数恒成立参数
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
在 x<0 与 x>0 两侧分别利用符号和端点极限。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“在 x<0 与 x>0 两侧分别利用符号和端点极限。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：当 x<0 时 ∣f∣=x2−2x，除以负数 x 后不等号反向，得 a≥x−2，故需 a≥−2；当 x>0 时 ln(1+x)≥ax，令 x→∞ 得 a≤0，而 a≤0 时显然成立。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 平面向量
已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60∘, c=ta+(1−t)b, 若 b⋅c=0, 则 t= \underline{\hspace{2cm}}.
答案：2
题目标签：单位向量数量积
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
把垂直条件直接展开为数量积方程。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“把垂直条件直接展开为数量积方程。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：b⋅c=tcos60∘+(1−t)=t/2+1−t=0，故 t=2。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 线性规划
设 x,y 满足约束条件 {1⩽x⩽3,−1⩽x−y⩽0, 则 z=2x−y 的最大值为\underline{\hspace{2cm}}.
答案：3
题目标签：线性规划最大值
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
由约束写出 x≤y≤x+1，再让目标函数中的 y 取最小。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“由约束写出 x≤y≤x+1，再让目标函数中的 y 取最小。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：z=2x−y≤x，且 1≤x≤3；取 x=y=3 时等号成立。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 球
已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH:HB=1:2, AB⊥ 平面 α, H 为垂足，平面 α 截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为\underline{\hspace{2cm}}.
答案：29π
题目标签：球的平面截面
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
直径分点把球心到截面的距离写成半径的比例。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直径分点把球心到截面的距离写成半径的比例。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：令 AH=k,HB=2k，则 R=3k/2,OH=k/2。截面半径为 1，所以 R2−OH2=1，得 R2=9/8，表面积 4πR2=9π/2。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 三角函数
设当 x=θ 时，函数 f(x)=sinx−2cosx 取得最大值，则 cosθ= \underline{\hspace{2cm}}.
答案：−525
题目标签：辅助角求最值点
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
最大值出现时，正弦、余弦组成的单位向量与系数向量同向。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“最大值出现时，正弦、余弦组成的单位向量与系数向量同向。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：sinx−2cosx=5sin(x−φ)，其中 cosφ=1/5,sinφ=2/5；取最大值时 cosθ=−2/5。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 数列
已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=−5.
(1) 求 {an} 的通项公式；
(2) 求数列 {a2n−1a2n+11} 的前 n 项和.
答案：an=2−n；Tn=1−2nn
题目标签：等差数列与裂项求和
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
前项和条件最适合直接解首项、公差。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“前项和条件最适合直接解首项、公差。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：3a1+3d=0,5a1+10d=−5，解得 a1=1,d=−1。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：代回 S3,S5 均吻合。
（2）把相邻奇下标乘积裂项
求前 n 项和
(1)
识别结构并建立关系
两因子相差 2，可用倒数差。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“两因子相差 2，可用倒数差。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：a2k−1=3−2k,a2k+1=1−2k，且 (3−2k)(1−2k)1=21[1−2k1−3−2k1]。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：中间项首尾相消。
三、解答题 · 统计
为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）。试验的观测结果如下：
服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
答案：xˉA=2.3,xˉB=1.6，A 药更好
题目标签：两组药效数据比较
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
两组样本量相同，比较总和或平均数等价。
为什么从这里入手：统计量都来自明确的样本计数或加权。“两组样本量相同，比较总和或平均数等价。”给出了数据与权重，先识别结构并建立关系可以避免把频数、频率和概率混为一谈，并能用总数或概率和反查计算。
详细展开：A 组总和 46，B 组总和 32，所以平均数分别为 46/20=2.3、32/20=1.6。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：平均睡眠增加更多的是 A 药。
(1)
识别结构并建立关系
把每个一位小数按十分位排序放入对应行。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“把每个一位小数按十分位排序放入对应行。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：整理后 A 组数据整体集中在 2～3 小时，B 组更多集中在 0～1 小时；A 组中位数和高值比例均更大。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：茎叶分布与平均数结论一致。
解答题 · 立体几何
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60∘.
(1) 证明：AB⊥A1C；
(2) 若 AB=CB=2，A1C=6，求三棱柱 ABC−A1B1C1 的体积.
答案：AB⊥A1C；V=3
题目标签：斜三棱柱的垂直与体积
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
取 AB 中点 O，等腰条件与等边侧面各给一条垂线。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“取 AB 中点 O，等腰条件与等边侧面各给一条垂线。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：CA=CB 得 CO⊥AB；AB=AA1 且 ∠BAA1=60∘ 使 △ABA1 为等边三角形，故 A1O⊥AB。于是 AB⊥ 平面 A1OC。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：目标直线位于该平面内。
(1)
识别结构并建立关系
底面三边均为 2，是等边三角形；再由 A1C 长度确定侧棱垂直分量。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“底面三边均为 2，是等边三角形；再由 A1C 长度确定侧棱垂直分量。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：取 A(−1,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0)。设 AA1=(1,u,w)，由长度 2 得 u2+w2=3；A1C=6 给 u=0，故高 ∣w∣=3。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：底面积为 3。
解答题 · 导数
已知函数 f(x)=ex(ax+b)−x2−4x，曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 y=4x+4.
(1) 求 a,b 的值；
(2) 讨论 f(x) 的单调性，并求 f(x) 的极大值.
答案：a=b=4；极大值 4−4e−2
题目标签：指数多项式函数的切线与极值
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
切线纵截距给函数值，斜率给导数值。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“切线纵截距给函数值，斜率给导数值。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：f(0)=b=4，f′(0)=a+b−4=4，故 a=b=4。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两条件与切线 y=4x+4 完全对应。
(1)
识别结构并建立关系
代入参数后导数可分成两个简单因子。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“代入参数后导数可分成两个简单因子。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：f′(x)=2(x+2)(2ex−1)，零点为 −2,−ln2。故在 (−∞,−2)、(−ln2,∞) 递增，在 (−2,−ln2) 递减。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：导数在 −2 处由正变负，故为极大值。
解答题 · 圆与椭圆
已知圆 M:(x+1)2+y2=1，圆 N:(x−1)2+y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1) 求 C 的方程；
(2) l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A,B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 ∣AB∣.
答案：4x2+3y2=1 (x=−2)；∣AB∣=23 或 718
题目标签：两圆相切的圆心轨迹与公切线弦长
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
外切给半径和，内切给半径差，相加即可消去动圆半径。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“外切给半径和，内切给半径差，相加即可消去动圆半径。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：设动圆半径为 R，则 PM=R+1,PN=3−R，所以 PM+PN=4。焦点为 (−1,0),(1,0)，故 a=2,c=1,b=3；左顶点对应退化位置，应排除。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：椭圆定义和相切位置同时满足。
(1)
识别结构并建立关系
由 PM=R+1，最大半径在椭圆右顶点取得。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“由 PM=R+1，最大半径在椭圆右顶点取得。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：最大时 P=(2,0),R=2。一条公切线为 x=0，在椭圆上截弦长 23；其余公切线过两圆外位似中心 (4,0)，设 y=k(x−4)，由到圆 M 的距离为 1 得 k=±3/2，联立椭圆得弦长 18/7。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：竖直公切线与两条斜公切线均已覆盖。
解答题 · 圆与相似三角形
如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D.
(1) 证明：DB=DC；
(2) 设圆的半径为 1，BC=3，延长 CE 交 AB 于点 F，求 △BCF 外接圆的半径.
答案：DB=DC；外接圆半径 23
题目标签：切线角平分线与外接圆
解题过程
（1）连接直径并配对圆周角
证明 DB=DC
(1)
识别结构并建立关系
切弦角与角平分线先给出等腰三角形。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“切弦角与角平分线先给出等腰三角形。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：连接 DE。切弦定理给 ∠ABE=∠BCE，又 BE 平分 ∠ABC，故 ∠CBE=∠BCE，从而 BE=CE。因 DB⊥BE，DE 为直径，∠DCE=90∘。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：长度为正，所以两弦相等。
(1)
识别结构并建立关系
半径 1、弦长 3 对应圆心角 120∘。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“半径 1、弦长 3 对应圆心角 120∘。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：由上一问及中垂线关系可得 ∠ABE=∠CBE=∠BCE=30∘，继而 CF⊥BF。所以 △BCF 是以 BC 为斜边的直角三角形。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：直角三角形外接圆半径为斜边一半。
解答题 · 参数方程与极坐标
已知曲线 C1 的参数方程为 {x=4+5cost,y=5+5sint (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ.
(1) 把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
(2) 求 C1 与 C2 交点的极坐标 (ρ⩾0，0⩽θ<2π).
答案：ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16=0；(2,4π),(2,2π)
题目标签：圆的极坐标方程与交点
解题过程
(1)
识别结构并建立关系
参数方程表示圆心 (4,5)、半径 5 的圆。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“参数方程表示圆心 (4,5)、半径 5 的圆。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：直角坐标式为 (x−4)2+(y−5)2=25，代入 x=ρcosθ,y=ρsinθ。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：保留 ρ2 可避免除去极点。
(1)
识别结构并建立关系
直接把 ρ=2sinθ 代入第一条极坐标方程。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直接把 ρ=2sinθ 代入第一条极坐标方程。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：化简得 4sin2θ−16sinθcosθ−20sin2θ+16=0，在规定角域解得 (ρ,θ)=(2,π/4),(2,π/2)。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两组均满足 ρ≥0 和两圆方程。
解答题 · 绝对值不等式
已知函数 f(x)=∣2x−1∣+∣2x+a∣，g(x)=x+3.
(1) 当 a=−2 时，求不等式 f(x)<g(x) 的解集；
(2) 设 a>−1，且当 x∈[−2a,21) 时，f(x)⩽g(x)，求 a 的取值范围.
答案：(0,2)；−1<a≤34
题目标签：绝对值不等式与区间恒成立
解题过程
（1）按两个零点分段
解 a=−2 时的不等式
(1)
识别结构并建立关系
零点为 1/2,1，逐段去绝对值。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“零点为 1/2,1，逐段去绝对值。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三段分别得到 0<x<1/2、1/2≤x<1、1≤x<2，合并即 (0,2)。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：严格不等式使两个端点均不取。
(1)
识别结构并建立关系
由 a>−1 可知 −a/2<1/2，区间内两个绝对值符号固定。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“由 a>−1 可知 −a/2<1/2，区间内两个绝对值符号固定。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：区间内 f(x)=a+1，所以需 a+1≤x+3 恒成立。右边在左端点最小，故 a+1≤3−a/2，即 a≤4/3。
(2)
完成计算并核验结论
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：左端点属于区间，等号参数可取。
