exams_raw/普通高考/2013/2013新课标1理(河南,河北,山西).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：B；
题目标签：区间集合并集
区间集合并集
解二次不等式后在数轴上观察覆盖。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“解二次不等式后在数轴上观察覆盖。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：，，中间空隙及两侧均被覆盖，故并集为实数集。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 复数
答案：D；
题目标签：复数方程
复数方程
模长先化为 5，再乘共轭。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“模长先化为 5，再乘共轭。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：，虚部为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 统计
答案：C；按学段分层
题目标签：分层抽样选择
分层抽样选择
分层依据应选总体内部差异显著的因素。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“分层依据应选总体内部差异显著的因素。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三个学段视力差异大而性别差异小，所以按小学、初中、高中分层最合理。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 双曲线
答案：C；
题目标签：离心率求渐近线
离心率求渐近线
用 直接求斜率。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“用 直接求斜率。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 ，渐近线为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 算法初步
答案：A；
题目标签：分段流程输出范围
分段流程输出范围
先把框图翻译成分段函数，再分别求值域。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先把框图翻译成分段函数，再分别求值域。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：当 时 ；当 时 ，合并为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 球
答案：A；
题目标签：球与正方体容器
球与正方体容器
取过球心和容器口边中点的截面，列直角三角形。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“取过球心和容器口边中点的截面，列直角三角形。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：设球半径 。球最低点在水面高 6 处，球心比容器口高 ；容器口半宽为 4，故 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 等差数列
答案：C；
题目标签：相邻前项和求下标
相邻前项和求下标
相邻前项和之差就是相应通项。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“相邻前项和之差就是相应通项。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：，，故公差 。又 ，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 空间几何体
答案：A；
题目标签：三视图组合体体积
三视图组合体体积
把三视图还原成半圆柱与长方体的叠合。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“把三视图还原成半圆柱与长方体的叠合。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：半圆柱半径 2、长 4，体积 ；长方体为 ，体积 16。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 二项式定理
答案：B；
题目标签：二项式系数最大项
二项式系数最大项
偶次和奇次展开的最大系数都在中央项。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“偶次和奇次展开的最大系数都在中央项。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：，； 化为 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 椭圆
答案：D；
题目标签：中点弦确定椭圆
中点弦确定椭圆
用点差法把弦斜率与中点坐标联系起来。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“用点差法把弦斜率与中点坐标联系起来。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：弦过 且中点为 ，斜率 。点差法给 ；又 ，解得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 函数与不等式
答案：D；
题目标签：分段函数恒成立参数
分段函数恒成立参数
在 与 两侧分别利用符号和端点极限。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“在 与 两侧分别利用符号和端点极限。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：当 时 ，除以负数 后不等号反向，得 ，故需 ；当 时 ，令 得 ，而 时显然成立。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 数列与三角形
答案：B； 递增
题目标签：递推三角形面积单调性
递推三角形面积单调性
固定一边后，用海伦公式比较另外两边的和与差。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“固定一边后，用海伦公式比较另外两边的和与差。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 不变且 保持为 ；而 ，绝对值严格减小。海伦公式中面积随 减小而增大，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：单位向量数量积
单位向量数量积
把垂直条件直接展开为数量积方程。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“把垂直条件直接展开为数量积方程。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 数列
答案：
题目标签：前项和递推通项
前项和递推通项
用 消去前项和。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“用 消去前项和。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 得 ；对 作差得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：辅助角求最值点
辅助角求最值点
最大值出现时，正弦、余弦组成的单位向量与系数向量同向。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“最大值出现时，正弦、余弦组成的单位向量与系数向量同向。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，其中 ；取最大值时 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 函数
答案：
题目标签：轴对称四次函数最大值
轴对称四次函数最大值
轴对称条件先确定参数，再对多项式求导。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“轴对称条件先确定参数，再对多项式求导。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：由 解得 。求导得临界点 ；代入并结合两端趋于 ，最大值为 16。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 解三角形
答案：；
题目标签：直角三角形内动点
由 求
点 在以 为直径的圆上，先在直角三角形 中定角。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“点 在以 为直径的圆上，先在直角三角形 中定角。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开： 且 ，故 ，于是 。余弦定理给 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取长度正根。
求角的正切
设 ，在两个含 的三角形中建立关系。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“设 ，在两个含 的三角形中建立关系。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：由直角三角形 得 ；在 中用正弦定理并代入 ，化简为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：内角范围保证正切为正。
三、解答题 · 立体几何
答案：；正弦值
题目标签：三棱柱中的垂直与线面角
证明垂直
与文科同题，等腰底面和等边侧面都对同一底边作中线。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“与文科同题，等腰底面和等边侧面都对同一底边作中线。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取 中点 ，则 ，所以 平面 ，进而 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两条相交线判定线面垂直。
求线面角正弦
面面垂直使 垂直侧面，适合用空间向量。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“面面垂直使 垂直侧面，适合用空间向量。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：令 ，取 。平面 的法向量可取 ，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：线面角正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。
解答题 · 离散型随机变量
答案：通过概率 ； 元
题目标签：二阶段质量检验
求通过概率
两条通过路径互斥，分别乘条件概率。
为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“两条通过路径互斥，分别乘条件概率。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：覆盖了题设规定的全部通过情形。
求费用分布与期望
费用只可能对应检验 4、5、8 件。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“费用只可能对应检验 4、5、8 件。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：；所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三项概率和为 1。
解答题 · 圆与椭圆
答案：； 或
题目标签：两圆相切的圆心轨迹与公切线弦长
求圆心轨迹
外切给半径和，内切给半径差，相加即可消去动圆半径。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“外切给半径和，内切给半径差，相加即可消去动圆半径。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：设动圆半径为 ，则 ，所以 。焦点为 ，故 ；左顶点对应退化位置，应排除。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：椭圆定义和相切位置同时满足。
求公切线所截弦长
由 ，最大半径在椭圆右顶点取得。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“由 ，最大半径在椭圆右顶点取得。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：最大时 。一条公切线为 ，在椭圆上截弦长 ；其余公切线过两圆外位似中心 ，设 ，由到圆 的距离为 1 得 ，联立椭圆得弦长 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：竖直公切线与两条斜公切线均已覆盖。
解答题 · 导数
答案：；
题目标签：两曲线共切线与参数不等式
求四个参数
过同一点给两个函数值，公切线给两个导数值。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“过同一点给两个函数值，公切线给两个导数值。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：逐一满足点和切线条件。
求 的范围
令 ，必要条件可从 直接读出。
为什么从这里入手：逻辑题必须先拆成可独立判断的原子命题。“令 ，必要条件可从 直接读出。”给出了真值判断依据，先识别结构并建立关系，再代入且、或、非或充分必要关系，能避免被复合句式干扰。
详细展开： 给 ， 给 。对 ，，分区间考察可得最小值均非负。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两个端点也分别在 取等号。
解答题 · 圆与相似三角形
答案：；外接圆半径
题目标签：切线角平分线与外接圆
证明
切弦角与角平分线先给出等腰三角形。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“切弦角与角平分线先给出等腰三角形。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：连接 。切弦定理给 ，又 平分 ，故 ，从而 。因 ， 为直径，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：长度为正，所以两弦相等。
求外接圆半径
半径 1、弦长 对应圆心角 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“半径 1、弦长 对应圆心角 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：由上一问及中垂线关系可得 ，继而 。所以 是以 为斜边的直角三角形。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：直角三角形外接圆半径为斜边一半。
解答题 · 参数方程与极坐标
答案：；
题目标签：圆的极坐标方程与交点
化为极坐标方程
参数方程表示圆心 、半径 5 的圆。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“参数方程表示圆心 、半径 5 的圆。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：直角坐标式为 ，代入 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：保留 可避免除去极点。
求两个交点
直接把 代入第一条极坐标方程。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直接把 代入第一条极坐标方程。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：化简得 ，在规定角域解得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两组均满足 和两圆方程。
解答题 · 绝对值不等式
答案：；
题目标签：绝对值不等式与区间恒成立
解 时的不等式
零点为 ，逐段去绝对值。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“零点为 ，逐段去绝对值。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三段分别得到 、、，合并即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：严格不等式使两个端点均不取。
求参数范围
由 可知 ，区间内两个绝对值符号固定。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“由 可知 ，区间内两个绝对值符号固定。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：区间内 ，所以需 恒成立。右边在左端点最小，故 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：左端点属于区间，等号参数可取。