exams_raw/普通高考/2013/2013新课标2理(贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,海南,宁夏,内蒙古,新疆,云南).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、选择题 · 集合
答案：A；
题目标签：一元二次不等式与交集
一元二次不等式与交集
先把平方不等式化成开区间。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“先把平方不等式化成开区间。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开： 得 ，与有限集相交为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 复数
答案：A；
题目标签：复数方程
复数方程
分子分母同乘共轭。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“分子分母同乘共轭。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 等比数列
答案：C；
题目标签：等比数列前项和条件
等比数列前项和条件
展开 后约去非零首项，只需求公比的平方。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“展开 后约去非零首项，只需求公比的平方。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：，故 ；又 ，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 空间位置关系
答案：D
题目标签：异面直线与平面法向量
异面直线与平面法向量
分别是两平面的法向方向，交线方向同时垂直这两个法向。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“ 分别是两平面的法向方向，交线方向同时垂直这两个法向。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：因 异面，二者不平行，所以 不平行而相交；，其方向就是两平面交线的方向，故交线平行于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 二项式定理
答案：D；
题目标签：二项式指定项系数
二项式指定项系数
来自两种乘积，分别取系数相加。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 来自两种乘积，分别取系数相加。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：系数为 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 算法初步
答案：A
题目标签：循环求调和和
循环求调和和
跟踪循环变量可见第 轮累加 ，终止于 10。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“跟踪循环变量可见第 轮累加 ，终止于 10。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：输出 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 三视图
答案：A
题目标签：四面体正视图
四面体正视图
向 平面投影时只保留每个顶点的 坐标。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“向 平面投影时只保留每个顶点的 坐标。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：四点投影为 ，外轮廓是单位正方形，相应可见与遮挡棱的画法对应图 A。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 对数函数
答案：D；
题目标签：不同底数对数比较
不同底数对数比较
写成 ，只需比较同一真数、不同底数。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“写成 ，只需比较同一真数、不同底数。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：；底数越大， 越小，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 线性规划
答案：B；
题目标签：含参线性规划
含参线性规划
目标函数在可行域下边界的左端点取得最小。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“目标函数在可行域下边界的左端点取得最小。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：下边界为 ，其上 随 增大；最小点 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 导数
答案：C
题目标签：三次函数性质辨析
三次函数性质辨析
一般三次函数可能同时有极大、极小点，不能把一个极小点左侧全部判为递减。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“一般三次函数可能同时有极大、极小点，不能把一个极小点左侧全部判为递减。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三次多项式必有实根、图象关于拐点中心对称，极值点处导数为零；但存在极大值点时，极小值点左侧含有递增区间，所以 C 错误。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 抛物线
答案：C； 或
题目标签：抛物线焦半径与直径圆
抛物线焦半径与直径圆
设点坐标并利用圆周角为直角，把条件写成点积为零。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设点坐标并利用圆周角为直角，把条件写成点积为零。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：设 。焦半径给 ；点 在以 为直径的圆上给 ，再与 联立，化为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、选择题 · 解析几何
答案：D；
题目标签：三角形等面积截线
三角形等面积截线
按直线与三角形哪两边相交分类，用小三角形面积为总面积一半。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“按直线与三角形哪两边相交分类，用小三角形面积为总面积一半。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：联立三边方程并分别计算截得三角形面积，可得参数端点对应 ，另一端随斜率趋于临界值得 但不能取；全部可行情形合并为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：正方形向量数量积
正方形向量数量积
建立边长为 2 的直角坐标系。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“建立边长为 2 的直角坐标系。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 ，则 ，数量积为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 概率
答案：
题目标签：组合概率反求总数
组合概率反求总数
和为 5 的数对始终只有两对。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“和为 5 的数对始终只有两对。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，故 ，正整数解为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：正切和角求三角函数和
正切和角求三角函数和
把正切等式交叉相乘，直接得到正弦余弦的线性关系。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把正切等式交叉相乘，直接得到正弦余弦的线性关系。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 。第二象限给 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、填空题 · 数列
答案：
题目标签：等差数列前项和最值
等差数列前项和最值
先求 的显式二次式，再在正整数上比较邻近极小点。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先求 的显式二次式，再在正整数上比较邻近极小点。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：由 得 ，所以 ，；比较 及单调性，最小值在 为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 解三角形
答案：；
题目标签：三角恒等条件与面积最大值
求角
把边换成正弦后，与 展开式比较。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把边换成正弦后，与 展开式比较。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：题设化为 ；而 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三角形内 。
求面积最大值
面积取决于 ，余弦定理与 给上界。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“面积取决于 ，余弦定理与 给上界。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：等号在 时可取。
三、解答题 · 立体几何
答案：平行成立；正弦值
题目标签：直三棱柱中的线面平行与二面角
证明线面平行
把目标直线方向写成平面内两条相交线方向的组合。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把目标直线方向写成平面内两条相交线方向的组合。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：以 为起点，利用 为 中点可得 ，故该方向平行于平面 。又 不在此平面内。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：方向平行且直线不共面，线面平行成立。
求二面角正弦
令公共长度为 1，底面是等腰直角三角形。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“令公共长度为 1，底面是等腰直角三角形。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：取 。平面 、 的法向量可取 、。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：二面角取两法向量夹角或其补角，正弦相同。
解答题 · 统计
答案：利润函数同文科；概率 ； 元
题目标签：频率分布下的利润期望
写出利润函数
售出量是 ，未售量是正部 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“售出量是 ，未售量是正部 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：当 ，；当 ，全部售出，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：在 处两式同为 65000。
估计所求概率
在第一段解一次不等式，第二段自动满足。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“在第一段解一次不等式，第二段自动满足。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开： 等价于 。直方图中 的频率分别为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：频率柱面积而非柱高表示概率。
求利润期望
五组中值概率分别是直方图各柱面积。
为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“五组中值概率分别是直方图各柱面积。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。
详细展开： 的概率为 ；对应利润为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：概率和为 1，超过库存的两组利润相同。
解答题 · 椭圆
答案：；最大面积
题目标签：中点弦确定椭圆与垂直弦面积
求椭圆方程
直线与 轴交点就是右焦点，先得 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直线与 轴交点就是右焦点，先得 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：右焦点为 ，故 。弦斜率为 ，中点满足 ；点差法给 ，所以 。结合 得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：长轴确在 轴上。
求四边形面积最大值
固定弦 ，令垂直弦 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“固定弦 ，令垂直弦 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：联立可得 ，。四边形面积 ，在 时最大。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：此时判别式为正且两对角线相交于内部。
解答题 · 导数
答案：，先减后增；对 恒有
题目标签：指数与对数差函数
求参数并讨论单调性
定义域内极值点必须满足 。
为什么从这里入手：含分母、根号或对数的式子必须先合法，后续变形才有意义。“定义域内极值点必须满足 。”正好暴露了限制条件；先识别结构并建立关系，可以防止约分或平方时把禁值偷偷带回答案。
详细展开：，故 。此时导数与 同号；后者在 递增并在 0 为零。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：极小值为 。
证明恒正
当 时，用 消去参数。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“当 时，用 消去参数。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：定义域内 ，只需证 。 的唯一极小点满足 。令 ，则该点 ，从而 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：等号条件 与极值方程不相容，所以严格大于零。
解答题 · 圆与相似三角形
答案： 为直径；面积比
题目标签：切线、相似与两圆面积比
证明 是直径
题给边长乘积可改写成比例，并与切弦角配合。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“题给边长乘积可改写成比例，并与切弦角配合。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：切弦定理给 ，且 ，所以 ，得 。又 共圆，，故 ，从而 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：圆周角为直角所对弦是直径。
求两圆面积比
四点圆以 为直径，原外接圆以 为直径。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“四点圆以 为直径，原外接圆以 为直径。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：设 。切割线定理给 、；由图中直角关系 ，且 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：圆面积比等于直径平方比。
解答题 · 参数方程
答案：；，过原点
题目标签：圆上倍角点中点轨迹
求中点参数方程
原圆半径为 2，中点坐标是两端点坐标和的一半。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“原圆半径为 2，中点坐标是两端点坐标和的一半。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：参数范围沿用题设。
求距离并判断过原点
平方后用和角公式最简。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“平方后用和角公式最简。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：取 时 ，且参数允许。
解答题 · 不等式证明
答案：；
题目标签：正数和约束下的基本不等式
证明第一问
平方和非负可控制两两乘积和。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“平方和非负可控制两两乘积和。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。又 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：等号在 取得。
证明第二问
分式和的分母总和已知，适合 Engel 形式。
为什么从这里入手：含分母、根号或对数的式子必须先合法，后续变形才有意义。“分式和的分母总和已知，适合 Engel 形式。”正好暴露了限制条件；先识别结构并建立关系，可以防止约分或平方时把禁值偷偷带回答案。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：正数条件保证所有分母合法，等号仍在三者相等时取得。