exams_raw/普通高考/2013/2013上海文.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、填空题 · 不等式
答案：
题目标签：分式不等式
分式不等式
按分子、分母零点作符号表。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“按分子、分母零点作符号表。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：临界点为 ，分式只在二者之间为负。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 等差数列
答案：
题目标签：等差数列对称项和
等差数列对称项和
四项等差数列首尾和等于中间两项和。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“四项等差数列首尾和等于中间两项和。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 复数
答案：
题目标签：纯虚数确定实参数
纯虚数确定实参数
纯虚数要求实部为零、虚部不为零。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“纯虚数要求实部为零、虚部不为零。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开： 给 ； 时虚部也为零，舍去，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 行列式
答案：
题目标签：二阶行列式方程
二阶行列式方程
依次展开两个行列式。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“依次展开两个行列式。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开： 得 ； 得 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 解三角形
答案：
题目标签：余弦定理反求角
余弦定理反求角
把题式改写成 并与余弦定理比较。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把题式改写成 并与余弦定理比较。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，故 ，即 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 统计
答案：
题目标签：分层平均数
分层平均数
按男女生比例作加权平均。
为什么从这里入手：统计量都来自明确的样本计数或加权。“按男女生比例作加权平均。”给出了数据与权重，先识别结构并建立关系可以避免把频数、频率和概率混为一谈，并能用总数或概率和反查计算。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项展开指定幂系数
二项展开指定幂系数
设选取 的次数为 ，先由指数求 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“设选取 的次数为 ，先由指数求 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 的指数为 ，令其为 7 得 ；系数 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 指数函数
答案：
题目标签：指数换元方程
指数换元方程
令 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“令 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 化为 ，合法正根为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：二倍角余弦
二倍角余弦
题设左边就是 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“题设左边就是 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 空间几何
答案：
题目标签：圆柱中的异面直线夹角
圆柱中的异面直线夹角
取 的水平、竖直分量，和母线方向作数量积。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“取 的水平、竖直分量，和母线方向作数量积。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，其与竖直母线夹角满足 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 概率
答案：
题目标签：两数乘积为偶数
两数乘积为偶数
用对立事件“两数均为奇数”。
为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“用对立事件“两数均为奇数”。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。
详细展开：总取法 ，两奇数取法 ，故概率 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 椭圆
答案：
题目标签：长轴端点和椭圆上一点
长轴端点和椭圆上一点
建立以长轴为 轴的坐标，由角度和距离确定点 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“建立以长轴为 轴的坐标，由角度和距离确定点 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 ，则 。代入 得 ，所以 ，焦距 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 不等式
答案：
题目标签：基本不等式恒成立参数
基本不等式恒成立参数
对正数 求左端的最小值。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“对正数 求左端的最小值。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：，等号可取；恒成立要求且只要求 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 平面向量
答案：
题目标签：正方形向量组合最值
正方形向量组合最值
建立单位正方形坐标并枚举每端三种两向量和。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“建立单位正方形坐标并枚举每端三种两向量和。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：从 出发的两向量和为 ；从 出发的三种和为 ，九个数量积中最小为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 反函数
答案：
题目标签：反函数函数值
反函数函数值
先写反函数 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先写反函数 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 集合
答案：
题目标签：集合并集覆盖实数
集合并集覆盖实数
要使并集为实数，只需让 未覆盖的左半轴全部落入 。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“要使并集为实数，只需让 未覆盖的左半轴全部落入 。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开：，而 。要求 ，等价于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 充分必要条件
答案：必要而不充分条件
题目标签：命题的逆否关系
命题的逆否关系
“便宜没好货”写成便宜推出非好货，再取逆否命题。
为什么从这里入手：逻辑题必须先拆成可独立判断的原子命题。““便宜没好货”写成便宜推出非好货，再取逆否命题。”给出了真值判断依据，先识别结构并建立关系，再代入且、或、非或充分必要关系，能避免被复合句式干扰。
详细展开：逆否命题是“好货推出不便宜”，所以不便宜是好货的必要条件；原话没有保证不便宜就一定是好货。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 椭圆与极限
答案：
题目标签：椭圆上线性函数最大值极限
椭圆上线性函数最大值极限
椭圆上 的最大值可由柯西不等式直接写出。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“椭圆上 的最大值可由柯西不等式直接写出。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：椭圆半轴平方为 与 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 立体几何
答案：，
题目标签：正三棱锥体积与表面积
求体积
底面为边长 2 的正三角形。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“底面为边长 2 的正三角形。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：高为题给 1。
求表面积
顶点投影为底面中心，先求侧棱再求等腰侧面高。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“顶点投影为底面中心，先求侧棱再求等腰侧面高。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：底面中心到顶点为 ，侧棱平方为 ；侧面斜高为 ，每个侧面面积 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：包含底面和三个侧面。
三、解答题 · 函数应用
答案：总利润公式见过程；最优速度 千克/小时，最大利润 元
题目标签：生产速度与总利润最优化
建立总利润函数
每小时利润乘生产总时长。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“每小时利润乘生产总时长。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：生产 千克需 小时，故总利润为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：单位与题意一致。
求最优速度和最大利润
总量固定，只需最大化括号内函数。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“总量固定，只需最大化括号内函数。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：，所以在 递增、 递减，最优 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：唯一极大点位于允许区间内。
三、解答题 · 三角函数
答案： 非奇非偶；零点数可能为 或
题目标签：三角函数平移与长区间零点计数
判断奇偶性
时 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 时 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：F(x)=2(\sin x+\cos x)F(-x)=F(x)F(-x)=-F(x)$。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：定义域为实数但两种对称均不成立。
统计长度 区间零点数
平移后函数周期为 ，每周期有两个零点。
为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“平移后函数周期为 ，每周期有两个零点。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。
详细展开：，零点为 、。长度正好为 10 个周期的闭区间通常含 20 个零点；若两端是同一零点列中相距 的点，则含 21 个。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：端点包含与否是两种计数差异来源。
三、解答题 · 数列与函数迭代
答案：； 或 ；等差仅
题目标签：绝对值迭代数列
计算前三次后继
从 逐项代入 。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“从 逐项代入 。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：形成 0、2 的二周期。
求等比初值
等比中项条件是 。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“等比中项条件是 。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开： 时解得 ； 时方程为 ，合法解 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两值后续三项均满足同一公比。
判断无限等差
非零公差会使项最终落入同一线性分支并与递推斜率冲突。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“非零公差会使项最终落入同一线性分支并与递推斜率冲突。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：若公差非零，等差数列单向无界，而 在正负两侧给出的相邻差不可能保持该常数；故只能公差 0。固定点方程 唯一解为 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：代入递推确实成立。
三、解答题 · 解析几何
答案：可取 ；原点及圆 内点都不是型点
题目标签：双曲线与折线的公共截线型点
给出一条验证直线
左焦点为 ，竖直线既容易与双曲线相交，也会穿过折线。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“左焦点为 ，竖直线既容易与双曲线相交，也会穿过折线。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取直线 。它与双曲线交于 ，与 交于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两类公共点均存在。
证明原点不是型点
过原点的非竖直线统一写成 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“过原点的非竖直线统一写成 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：与 相交需 ，故 ；与 相交则由 得 ，矛盾。竖直线 也不与双曲线相交。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：已覆盖所有过原点直线。
排除小圆内部所有点
把一般直线代入两曲线，公共相交条件会给出直线到原点的统一下界。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把一般直线代入两曲线，公共相交条件会给出直线到原点的统一下界。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：设非竖直直线为 。分别用判别式和分段直线 的交点条件消元，可得若它同时与 相交，则 ；竖直情形同样有到原点距离至少 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：若 在开圆内且 ，则 ，矛盾。