exams_raw/普通高考/2013/2013上海理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、填空题 · 极限
答案：
题目标签：数列极限
数列极限
分子分母同除以 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“分子分母同除以 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 复数
答案：
题目标签：纯虚数确定实参数
纯虚数确定实参数
纯虚数要求实部为零、虚部不为零。
为什么从这里入手：复数题先判断目标需要代数形式还是模与辐角。“纯虚数要求实部为零、虚部不为零。”与“识别结构并建立关系”直接相连，先利用共轭、模或实虚部关系，通常能避免把复数完全展开成冗长乘积。
详细展开： 给 ； 时虚部也为零，舍去，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 行列式
答案：
题目标签：行列式恒等式
行列式恒等式
展开两边并移项配方。
为什么从这里入手：代数题要寻找能减少未知量或降低次数的关系。“展开两边并移项配方。”正好提供了因式、根或参数之间的等式，所以先识别结构并建立关系，再代入、消元或比较系数，计算链条会更短也更容易复核。
详细展开：左边为 ，右边为 ，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 解三角形
答案：
题目标签：余弦定理反求角
余弦定理反求角
把已知式除以 3 后与余弦定理比较。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把已知式除以 3 后与余弦定理比较。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：，所以 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项展开指定幂系数
二项展开指定幂系数
设选取 的次数为 ，先由指数求 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“设选取 的次数为 ，先由指数求 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 的指数为 ，令其为 7 得 ；系数 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 指数函数
答案：
题目标签：指数换元方程
指数换元方程
令 ，原式乘 3 后与文科同型。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“令 ，原式乘 3 后与文科同型。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，合法根 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 极坐标
答案：
题目标签：极坐标曲线交点距离
极坐标曲线交点距离
公共点同时满足 与 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“公共点同时满足 与 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：令 ，则 ，，故 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 概率
答案：
题目标签：两数乘积为偶数
两数乘积为偶数
用对立事件“两球编号都为奇数”。
为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“用对立事件“两球编号都为奇数”。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。
详细展开：总取法 ，两奇数有 ，故概率 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 椭圆
答案：
题目标签：长轴端点和椭圆上一点
长轴端点和椭圆上一点
建立以长轴为 轴的坐标，由角度和距离确定点 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“建立以长轴为 轴的坐标，由角度和距离确定点 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 ，则 。代入 得 ，所以 ，焦距 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 方差
答案：
题目标签：等差数列均匀取值方差
等差数列均匀取值方差
均值是中间项 ，各项偏差为 到 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“均值是中间项 ，各项偏差为 到 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：和差化积求正弦
和差化积求正弦
第一式是 ，第二式用和差化积。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“第一式是 ，第二式用和差化积。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 函数与不等式
答案：
题目标签：奇函数与基本不等式参数
奇函数与基本不等式参数
先用奇性写出 的解析式，再求其最小值。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“先用奇性写出 的解析式，再求其最小值。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开： 时 ，且 。由 及 ，得 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
一、填空题 · 空间几何体
答案：
题目标签：祖暅原理求旋转体体积
祖暅原理求旋转体体积
对给出的水平截面积在高度 上累加。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“对给出的水平截面积在高度 上累加。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 反函数
答案：
题目标签：反函数区间映射与不动点
反函数区间映射与不动点
固定点必须同时属于一个区间及其像区间。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“固定点必须同时属于一个区间及其像区间。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开： 被映到 ， 被映到 ，两段均不可能有固定点；剩余定义域 与剩余值域 只交于 2。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 集合
答案：
题目标签：集合并集覆盖实数
集合并集覆盖实数
要使并集为实数，只需让 未覆盖的左半轴全部落入 。
为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“要使并集为实数，只需让 未覆盖的左半轴全部落入 。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。
详细展开：，而 。要求 ，等价于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 充分必要条件
答案：必要而不充分条件
题目标签：命题的逆否关系
命题的逆否关系
“便宜没好货”写成便宜推出非好货，再取逆否命题。
为什么从这里入手：逻辑题必须先拆成可独立判断的原子命题。““便宜没好货”写成便宜推出非好货，再取逆否命题。”给出了真值判断依据，先识别结构并建立关系，再代入且、或、非或充分必要关系，能避免被复合句式干扰。
详细展开：逆否命题是“好货推出不便宜”，所以不便宜是好货的必要条件；原话没有保证不便宜就一定是好货。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 数列与计数
答案：
题目标签：矩阵元素不同值计数
矩阵元素不同值计数
先化简矩阵元素，发现只依赖于下标和。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“先化简矩阵元素，发现只依赖于下标和。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：。 可取从 2 到 19 的每个整数。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
二、选择题 · 平面向量
答案：
题目标签：正六边形向量组合极值
正六边形向量组合极值
给正六边形建立坐标，分别枚举五个向量中任取三个的十种和。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“给正六边形建立坐标，分别枚举五个向量中任取三个的十种和。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：将两端各 10 个三向量和两两作数量积，最小值为 ，最大值为 。由于只有 100 种且对称成组，可逐类核验。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：把所得关系代回题设，定义域、符号、端点或几何位置均满足要求，因此结论成立。
三、解答题 · 立体几何
答案： 平面 ；距离
题目标签：长方体中的线面平行与距离
证明线面平行
建立长方体标准坐标。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“建立长方体标准坐标。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取 。则 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：直线不在该平面内。
求两者距离
平行线到平面的距离等于线上任一点到平面的距离。
为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“平行线到平面的距离等于线上任一点到平面的距离。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。
详细展开：平面 法向量可取 ，模为 3；取点 ，代入平面方程得距离 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：距离小于长方体各相关尺度。
三、解答题 · 函数应用
答案：；最优 ，最大利润 元
题目标签：生产速度约束与利润最优化
求允许速度
直接把小时利润乘 2。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“直接把小时利润乘 2。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，乘正数 后得 ，结合 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：另一根为 ，不在生产区间。
求最优速度和最大利润
总量固定，只需最大化括号内函数。
为什么从这里入手：最值与范围题要先找到变量受限方式以及等号何时成立。“总量固定，只需最大化括号内函数。”给出了可行域或关键界，先识别结构并建立关系能把‘可能有多大’转成单调性、基本不等式或边界比较。
详细展开：，所以在 递增、 递减，最优 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：唯一极大点位于允许区间内。
解答题 · 三角函数
答案：；最小长度
题目标签：正弦函数区间单调与密集零点
求频率范围
原区间含 0，所以相位不能跨越相邻的单调分界点。
为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“原区间含 0，所以相位不能跨越相邻的单调分界点。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。
详细展开：需 ，两端条件分别给 、。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：端点导数为零不破坏单调递增。
求容纳 30 个零点的最短区间
零点交替间隔为 与 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“零点交替间隔为 与 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：30 个零点之间有 29 个间隔。选择从短间隔开始，可含 15 个短间隔、14 个长间隔，总长 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：以相应两个零点为端点可取等号。
解答题 · 解析几何
答案：可取 ；原点及圆 内点都不是型点
题目标签：双曲线与折线的公共截线型点
给出一条验证直线
左焦点为 ，竖直线既容易与双曲线相交，也会穿过折线。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“左焦点为 ，竖直线既容易与双曲线相交，也会穿过折线。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：取直线 。它与双曲线交于 ，与 交于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两类公共点均存在。
证明原点不是型点
过原点的非竖直线统一写成 。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“过原点的非竖直线统一写成 。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：与 相交需 ，故 ；与 相交则由 得 ，矛盾。竖直线 也不与双曲线相交。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：已覆盖所有过原点直线。
排除小圆内部所有点
把一般直线代入两曲线，公共相交条件会给出直线到原点的统一下界。
为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“把一般直线代入两曲线，公共相交条件会给出直线到原点的统一下界。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。
详细展开：设非竖直直线为 。分别用判别式和分段直线 的交点条件消元，可得若它同时与 相交，则 ；竖直情形同样有到原点距离至少 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：若 在开圆内且 ，则 ，矛盾。
解答题 · 数列与函数迭代
答案：；相邻差不小于 ；等差初值 或
题目标签：含参数绝对值迭代数列
求前两项
落在中间分支。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“ 落在中间分支。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：，。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：使用了 。
证明统一下界
分界点是 。
为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“分界点是 。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：三段中 分别为 、、；利用各段端点可知它们都不小于 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：第一段为严格大于，中间段可在左端取等。
求所有等差初值
若为等差数列，公差至少为 ，故项最终进入 分支。
为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“若为等差数列，公差至少为 ，故项最终进入 分支。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。
详细展开：最终公差必为 。再要求首步差也为 ，分段求解得到孤立解 ，或整段 。
上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。
为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。
详细展开：两类代入后每一步差确为 。