2014 年高考数学（大纲卷理科）

集合 M 用不等式描述，应先因式分解求出区间；随后特别检查交集端点是开还是闭。

为什么从这里入手：集合题不能只看式子的外形，必须回到“元素是否满足条件”。这里的“集合 M 用不等式描述，应先因式分解求出区间；随后特别检查交集端点是开还是闭。”给出了元素筛选规则，因此先识别结构并建立关系，再逐项保留或删除元素，思路最直接。

详细展开：$\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{x}^{\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{2}}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{-}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{3}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{x}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{-}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{4}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{=}\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{(}\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{x}\htmlData{tutor-start=13,tutor-end=14}{-}\htmlData{tutor-start=14,tutor-end=15}{4}\htmlData{tutor-start=15,tutor-end=16}{)}\htmlData{tutor-start=16,tutor-end=17}{(}\htmlData{tutor-start=17,tutor-end=18}{x}\htmlData{tutor-start=18,tutor-end=19}{+}\htmlData{tutor-start=19,tutor-end=20}{1}\htmlData{tutor-start=20,tutor-end=21}{)}$。二次项系数为正，小于 0 的区间在两个根之间，所以 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{M}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{=}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{(}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{-}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{1}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{,}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{4}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{)}$。$\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{N}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=2}{=}\htmlData{tutor-start=2,tutor-end=3}{[}\htmlData{tutor-start=3,tutor-end=4}{0}\htmlData{tutor-start=4,tutor-end=5}{,}\htmlData{tutor-start=5,tutor-end=6}{5}\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{]}$。二者公共部分从 0 到 4：0 同时属于 M 和 N，可以取；4 使原二次式等于 0，不满足严格小于 0，不能取。因此 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{M}\htmlData{tutor-start=1,tutor-end=6}{\cap }\htmlData{tutor-start=6,tutor-end=7}{N}\htmlData{tutor-start=7,tutor-end=8}{=}\htmlData{tutor-start=8,tutor-end=9}{[}\htmlData{tutor-start=9,tutor-end=10}{0}\htmlData{tutor-start=10,tutor-end=11}{,}\htmlData{tutor-start=11,tutor-end=12}{4}\htmlData{tutor-start=12,tutor-end=13}{)}$。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：区间内部任取 x=2，原不等式为 -6<0 且属于 N；右端点 4 被 M 排除，左端点 0 同时满足两个集合条件。故选择 B。

正弦与余弦角度不同，不便直接比较。先用 cos55度=sin35度，再利用正弦在第一象限递增；tan35度可写成 sin35度/cos35度。

为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“正弦与余弦角度不同，不便直接比较。先用 cos55度=sin35度，再利用正弦在第一象限递增；tan35度可写成 sin35度/cos35度。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。

详细展开：因为 cos55度=sin(90度-55度)=sin35度，所以 b=sin35度。正弦函数在 (0,90度) 上递增，33度<35度，故 a=sin33度<sin35度=b。又 0<cos35度<1，所以 c=tan35度=sin35度/cos35度>sin35度=b。因此完整次序为 c>b>a。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验数值约为 a=0.545、b=0.574、c=0.700，与严格不等式 c>b>a 一致。故选择 C。

向量垂直等价于点积为 0。第一个条件可先求 a 点 b，第二个条件再把它代入求 |b|^2。

为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“向量垂直等价于点积为 0。第一个条件可先求 a 点 b，第二个条件再把它代入求 |b|^2。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。

详细展开：由 (a+b) 垂直 a，得 (a+b)点a=0，即 |a|^2+a点b=0。由于 |a|=1，所以 a点b=-1。再由 (2a+b) 垂直 b，得 (2a+b)点b=0，即 2a点b+|b|^2=0。代入 a点b=-1，得到 -2+|b|^2=0，因此 |b|^2=2。向量的模非负，所以 |b|=sqrt2。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：由 |a||b|=sqrt2 和 a点b=-1，可得夹角余弦 -1/sqrt2，在 [-1,1] 内，确实存在这样的向量，不会产生虚假的代数解。故选择 B。

题目只关心选出哪些人，不安排职务或次序，所以使用组合。男、女医生的选择相互独立，应用分步乘法计数原理。

为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“题目只关心选出哪些人，不安排职务或次序，所以使用组合。男、女医生的选择相互独立，应用分步乘法计数原理。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：从 6 名男医生中选 2 名，有 C(6,2)=6乘5/2=15 种；从 5 名女医生中选 1 名，有 C(5,1)=5 种。每一种男医生组合都可与任一种女医生选择配成一个小组，所以总数为 15乘5=75。不能再乘 3!，因为小组成员没有排列顺序。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：先选女医生有 5 种，对每位女医生都能搭配 15 对男医生，共 5 组各 15 种，仍为 75。故选择 C。

直线经过焦点 F2 并与椭圆交于 A、B，焦点在弦 AB 内部。把 AB 拆成 AF2+BF2 后，周长会出现两组椭圆定义中的焦距和。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“直线经过焦点 F2 并与椭圆交于 A、B，焦点在弦 AB 内部。把 AB 拆成 AF2+BF2 后，周长会出现两组椭圆定义中的焦距和。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：由于 F2 位于弦 AB 上，AB=AF2+BF2。三角形 AF1B 的周长为 (AF1+AF2)+(BF1+BF2)=2a+2a=4a。题设周长为 4sqrt3，所以 a=sqrt3，a^2=3。离心率 e=c/a=sqrt3/3，故 c=1。由 b^2=a^2-c^2 得 b^2=2，因此椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：该方程的 c=sqrt(3-2)=1，离心率为 1/sqrt3=sqrt3/3；三角形周长按椭圆定义恒为 4a=4sqrt3。故选择 A。

切线斜率就是函数在该点的导数。函数是 x 与 e^(x-1) 的乘积，需要使用乘积求导法则。

为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“切线斜率就是函数在该点的导数。函数是 x 与 e^(x-1) 的乘积，需要使用乘积求导法则。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。

详细展开：对 y=x e^{x-1} 求导，第一项对 x 求导得 1乘e^{x-1}，第二项保留 x 再对指数函数求导，仍为 x e^{x-1}。所以 y'=(1+x)e^{x-1}。代入 x=1，得到 y'(1)=2e^0=2。题给点 (1,1) 也确实在曲线上，因为 1乘e^0=1。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：切线方程为 y-1=2(x-1)，斜率就是 2。选项中对应 C。

正四棱锥关于高所在直线对称，所以球心必在高上。设球心到底面的距离，列到两类顶点的距离相等。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“正四棱锥关于高所在直线对称，所以球心必在高上。设球心到底面的距离，列到两类顶点的距离相等。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：设底面中心 O，球心到底面平面的距离为 x。底面边长为 2，故 O 到底面顶点的距离为 sqrt2。于是 R^2=x^2+2；球心到棱锥顶点距离为 4-x，又有 R^2=(4-x)^2。相等得 x=7/4，进而 R^2=81/16。球表面积为 4piR^2=81pi/4。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：球心到底面顶点与棱锥顶点的距离都等于 9/4，五个顶点均在球面上。故选择 A。

点 A 在双曲线上，两个焦半径之差的绝对值恒为 2a；离心率又给出焦距 2c。这样三角形 AF1F2 的三边都能用 a 表示。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“点 A 在双曲线上，两个焦半径之差的绝对值恒为 2a；离心率又给出焦距 2c。这样三角形 AF1F2 的三边都能用 a 表示。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：设 |AF2|=r。由 |AF1|=2|AF2| 得 |AF1|=2r，两焦半径之差为 r。双曲线定义给出 r=2a，所以 |AF2|=2a、|AF1|=4a。离心率 e=c/a=2，故 |F1F2|=2c=4a。在三角形 AF2F1 中，对角 AF2F1 使用余弦定理：cos=(AF2^2+F2F1^2-AF1^2)/(2 AF2 F2F1)=(4+16-16)/(16)=1/4。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：三边比例为 2:4:4，满足三角形两边之和大于第三边；所求角为锐角，余弦 1/4 合理。故选择 A。

等比数列相邻项之比固定，取对数后相邻项之差固定，因此 {lg a_n} 是等差数列。八项和可利用首尾和等于中间对称两项和。

为什么从这里入手：含分母、根号或对数的式子必须先合法，后续变形才有意义。“等比数列相邻项之比固定，取对数后相邻项之差固定，因此 {lg a_n} 是等差数列。八项和可利用首尾和等于中间对称两项和。”正好暴露了限制条件；先识别结构并建立关系，可以防止约分或平方时把禁值偷偷带回答案。

详细展开：令 c_n=lg a_n，则 c_n 为等差数列。已知 c4=lg2、c5=lg5。等差数列中下标和相等的两项之和相等，所以 c1+c8=c4+c5=lg2+lg5=lg10=1。前 8 项和为 8(c1+c8)/2=4。这个做法不必先求公比 5/2，也避免展开每一项。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：若直接令公差 d=lg(5/2)，则 c1=c4-3d、c8=c5+3d，两者相加仍为 c4+c5=1。故选择 C。

AB 在平面 alpha 内且垂直棱 l，可把它看作 alpha 中垂直 l 的方向。平面 beta 中垂直 l 的方向与 AB 的夹角就是二面角 60 度；再把 CD 按平行 l 和垂直 l 分解。

为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“AB 在平面 alpha 内且垂直棱 l，可把它看作 alpha 中垂直 l 的方向。平面 beta 中垂直 l 的方向与 AB 的夹角就是二面角 60 度；再把 CD 按平行 l 和垂直 l 分解。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。

详细展开：设 u 是 AB 的单位方向，v 是平面 beta 内垂直 l 的单位方向，则 u点v=cos60度=1/2。C、A 都在 l 上，角 ACD=135度，说明直线 CD 与 l 的锐角为 45 度。因此 CD 的单位方向在 v 方向上的分量大小为 sin45度=sqrt2/2，而平行 l 的分量与 u 垂直。故 u 与 CD 单位方向的点积绝对值为 (sqrt2/2)(1/2)=sqrt2/4，这就是异面直线所成锐角的余弦。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：若二面角变为 0，公式会退化为 sin45度，正是同一平面内两个方向的余弦；本题再乘 cos60度，数值应更小，sqrt2/4 符合。故选择 B。

不要把关于 y=x 的反函数对称直接套用到 y=-x。先写出点 (x,f(x)) 关于直线 y=-x 的像点坐标，再解出 f^{-1}。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“不要把关于 y=x 的反函数对称直接套用到 y=-x。先写出点 (x,f(x)) 关于直线 y=-x 的像点坐标，再解出 f^{-1}。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：点 (x,f(x)) 关于直线 y=-x 对称后变为 (-f(x),-x)，该点在 g 的图象上，所以 g(-f(x))=-x。令 y=f(x)，则 x=f^{-1}(y)。上式变成 g(-y)=-f^{-1}(y)，故 f^{-1}(y)=-g(-y)。把自变量字母 y 改写为 x，得到反函数 y=-g(-x)。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：若两图象恰好都是直线 y=-x，则 g(x)=-x，公式给出 f^{-1}(x)=-g(-x)=-x，与 f 自身的反函数一致。故选择 D。

两个二项式因子都含分数指数，不能只盯住 x。写出选择第二项 k 次的通项，同时计算 x、y 的指数，二者应给出同一个 k。

为什么从这里入手：数列题要先识别相邻项之间保持不变的结构。“两个二项式因子都含分数指数，不能只盯住 x。写出选择第二项 k 次的通项，同时计算 x、y 的指数，二者应给出同一个 k。”提示了差、比或可累加关系，先识别结构并建立关系能把第 $\htmlData{tutor-start=0,tutor-end=1}{n}$ 项问题改写成已经会处理的等差、等比或裂项模型。

详细展开：选择第二项 k 次的通项为 C(8,k)(x/y^{1/2})^{8-k}(-y/x^{1/2})^k。x 的指数是 (8-k)-k/2=8-3k/2，y 的指数是 -(8-k)/2+k=-4+3k/2。令 x 指数等于 2，得 8-3k/2=2，所以 k=4；此时 y 指数也为 2。系数为 C(8,4)(-1)^4=70。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：k=4 时两项各取四次，x 的净指数为 4-2=2，y 的净指数也为 4-2=2；偶数次负号变为正，所以系数 70。

目标函数和约束都是一次式，最大值若存在必在可行多边形的顶点取得。先把三条边界直线两两联立，再判断顶点。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“目标函数和约束都是一次式，最大值若存在必在可行多边形的顶点取得。先把三条边界直线两两联立，再判断顶点。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：边界直线为 y=x、x+2y=3、x-2y=1。前两条相交于 (1,1)，第一、三条相交于 (-1,-1)，后两条相交于 (2,1/2)。三点都满足全部约束并构成可行三角形。目标函数在这三点的值依次为 5、-5、4，因此最大值为 5，在 (1,1) 处取得。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：把直线 x+4y=z 平行向增大方向移动，最后接触可行域的点为 (1,1)，与顶点比较一致。

两条切线关于圆心与外点的连线对称。连接圆心和一个切点，可先在直角三角形中求半角，再使用正切二倍角。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“两条切线关于圆心与外点的连线对称。连接圆心和一个切点，可先在直角三角形中求半角，再使用正切二倍角。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：圆心 O=(0,0)，半径 r=sqrt2，外点 P=(1,3)，故 OP=sqrt10。设切点 T，两切线较小夹角为 theta。OT 垂直 PT，且 OP 平分 theta。由勾股定理 PT=sqrt(10-2)=2sqrt2，所以 tan(theta/2)=OT/PT=1/2。正切二倍角给出 tan theta=2(1/2)/(1-1/4)=4/3。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：sin(theta/2)=r/OP=1/sqrt5、cos(theta/2)=2/sqrt5，同样得到半角正切 1/2；较小夹角为锐角，正切为正。

单调递减要求导数在整个区间不大于 0。求导后可提取 cosx；在本题区间 cosx 始终为正，符号只由 a-4sinx 决定。

为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“单调递减要求导数在整个区间不大于 0。求导后可提取 cosx；在本题区间 cosx 始终为正，符号只由 a-4sinx 决定。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。

详细展开：f'(x)=-2sin2x+a cosx=cosx(a-4sinx)。在 (pi/6,pi/2) 内 cosx>0，因此需对所有区间内的 x 都有 a<=4sinx。sinx 在该区间递增，其下确界是 1/2，所以 4sinx 的下确界为 2，得到 a<=2。当 a=2 时，对每个 x>pi/6 都有 sinx>1/2，故 f'(x)<0，边界值可以取。若 a>2，则在足够接近 pi/6 的右侧有 4sinx<a，导数为正，不满足。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：充分性和必要性都已检查：a<=2 时导数在整个开区间为负；a>2 时存在靠近左端点的子区间导数为正。因此范围完整。

等式中边 a、c 分别与角 A、C 对应，用正弦定理把边换成对应角的正弦，就能得到 A、C 的正切关系。

为什么从这里入手：三角题先把未知角转成特殊角、同一角或已知边角关系。“等式中边 a、c 分别与角 A、C 对应，用正弦定理把边换成对应角的正弦，就能得到 A、C 的正切关系。”指出了可用的象限、恒等式或几何关系，先识别结构并建立关系可以同时确定数值和正负号。

详细展开：由正弦定理 a/c=sinA/sinC，把 3a cosC=2c cosA 化为 3sinA cosC=2sinC cosA，因此 3tanA=2tanC。已知 tanA=1/3，得 tanC=1/2。A、C 的正切为正且都是三角形内角，所以二者均为锐角。于是 tan(A+C)=(1/3+1/2)/(1-1/6)=1，只能有 A+C=pi/4。故 B=pi-A-C=3pi/4。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：A+C=45度，B=135度，三个角均在合法范围且和为 180度；将 tanA、tanC 代回原正切关系也成立。

S_n<=S4 对所有 n 成立，特别可比较相邻的 S3、S4、S5。部分和之差就是对应项，因此能直接得到 a4>=0、a5<=0，再利用公差为整数。

为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“S_n<=S4 对所有 n 成立，特别可比较相邻的 S3、S4、S5。部分和之差就是对应项，因此能直接得到 a4>=0、a5<=0，再利用公差为整数。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：设公差为 d。因为 a1=10、a2=10+d 且 a2 为整数，所以 d 为整数。由 S3<=S4 得 a4=S4-S3>=0，即 10+3d>=0；由 S5<=S4 得 a5=S5-S4<=0，即 10+4d<=0。两式给出 d>=-10/3 且 d<=-5/2。唯一满足的整数是 d=-3。因此 a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n。验证可见 a1到a4为 10、7、4、1，之后各项均为负，所以部分和确在 n=4 取得最大。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验不仅代入了 a1、a2，还检查了全体 n：S1到S4 逐步增加，S4 之后每增加一项都加上负数，故所有 S_n 都不超过 S4。

a_{n+1}=a_n-3，分母是相差 3 的两个因子。利用 1/u-1/v=(v-u)/(uv)，可把每项写成相邻倒数之差并望远镜消去。

为什么从这里入手：目标是“识别结构并建立关系”，而“a_{n+1}=a_n-3，分母是相差 3 的两个因子。利用 1/u-1/v=(v-u)/(uv)，可把每项写成相邻倒数之差并望远镜消去。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：a_n=13-3n，a_{n+1}=10-3n。因为 a_n-a_{n+1}=3，所以 b_n=1/(a_na_{n+1})=(1/3)(1/a_{n+1}-1/a_n)。从 k=1 到 n 求和，中间的 1/a2、...、1/an 正负抵消，只剩 T_n=(1/3)(1/a_{n+1}-1/a1)=(1/3)(1/(10-3n)-1/10)=n/[10(10-3n)]。各 a_n 均不为 0，因为 13、10 都不是 3 的整数倍，分式有定义。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验 n=1 时公式给出 1/[10乘7]=1/70，正好等于 1/(a1a2)；并且 T_n-T_{n-1}=1/(a_na_{n+1})，说明通式逐项差与 b_n 一致。

现有裁图不完整，但原 PDF 整页显示 D 是 A1 在底面内的垂足且位于 AC。以 C 为原点、CA 和 CB 为坐标轴，D、A1 可用两个参数表示。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“现有裁图不完整，但原 PDF 整页显示 D 是 A1 在底面内的垂足且位于 AC。以 C 为原点、CA 和 CB 为坐标轴，D、A1 可用两个参数表示。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：令底面为 z=0，取 C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,1,0)。设 D(d,0,0)，A1(d,0,h)，h>0。侧棱向量 v=AA1=(d-2,0,h)，且 |v|=CC1=2，所以 d^2-4d+h^2=0。C1=C+v=(d-2,0,h)，故 AC1=(d-4,0,h)，A1B=(-d,1,-h)。二者点积为 -d(d-4)-h^2=-(d^2-4d+h^2)=0，所以 AC1 垂直 A1B。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：本问没有使用第 (2) 问的距离条件；只要满足题图中的投影、直角和棱长条件，点积恒为 0，因此证明具有一般性。

AA1 平行侧面 BCC1B1，线面距离等于点 A 到该面的距离。先由距离确定 h、d，再用两平面法向量夹角求二面角。

为什么从这里入手：空间关系只靠观察容易漏条件，而“AA1 平行侧面 BCC1B1，线面距离等于点 A 到该面的距离。先由距离确定 h、d，再用两平面法向量夹角求二面角。”可以直接翻译成垂直、平行、数量积或体积公式。先识别结构并建立关系，是在建立可验证的几何链条，而不是凭图形猜结论。

详细展开：侧面由 CB=(0,1,0) 和 CC1=(d-2,0,h) 张成，法向量可取 n=(h,0,2-d)，其模为 2。点 A 到此平面的距离为 2h/2=h，所以 h=sqrt3。由 (d-2)^2+h^2=4 得 (d-2)^2=1；D 在线段 AC 上，故 d=1。底面法向量 n0=(0,0,1)。平面 A1AB 中 AB=(-2,1,0)、AA1=(-1,0,sqrt3)，法向量 n1=(sqrt3,2sqrt3,1)，模为 4。于是 cos theta=|n0点n1|/(|n0||n1|)=1/4。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：取 AB 两侧分别指向 A1、C 的截面方向核验，夹角余弦仍为正的 1/4，故题设二面角是锐角而不是补角。

四个人中至少三人只包含恰有三人、恰有四人两类。恰有三人可按唯一不需要设备的人分类，事件彼此互斥。

为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“四个人中至少三人只包含恰有三人、恰有四人两类。恰有三人可按唯一不需要设备的人分类，事件彼此互斥。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。

详细展开：四人都需要的概率为 0.6乘0.5乘0.5乘0.4=0.06。恰有三人需要时，分别令甲、乙、丙、丁为唯一不需要者，四项概率依次为 0.04、0.06、0.06、0.09，合计 0.25。故至少三人需要的概率为 0.25+0.06=0.31。独立性保证每种指定情形的概率等于各人相应概率的乘积。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：四种恰有三人的情况由不同的唯一不需要者区分，没有重叠；再加四人全需，完整覆盖 X>=3。

X 是四个是否需要设备的 0-1 变量之和。期望具有线性性，即使不列 X 的完整分布，也可直接把四人的需要概率相加。

为什么从这里入手：概率题的关键不是立刻代数，而是先说清随机试验与事件。“X 是四个是否需要设备的 0-1 变量之和。期望具有线性性，即使不列 X 的完整分布，也可直接把四人的需要概率相加。”确定了基本事件或随机变量，所以先识别结构并建立关系，再依据独立、互斥、对立或期望线性性计算。

详细展开：令 I甲、I乙、I丙、I丁 分别在对应人员需要设备时取 1，否则取 0，则 X=I甲+I乙+I丙+I丁。每个 0-1 变量的期望等于取 1 的概率，因此 E(X)=0.6+0.5+0.5+0.4=2。这里独立性虽然题目给出，但期望的可加性本身并不要求独立。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：X 的取值范围是 0 到 4，期望 2 位于范围中间；四人的平均需要概率为 0.5，乘 4 人也得到 2。

Q 的纵坐标为 4，代入抛物线先求横坐标。Q 到焦点的距离可用抛物线定义改写为 Q 到准线的距离。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“Q 的纵坐标为 4，代入抛物线先求横坐标。Q 到焦点的距离可用抛物线定义改写为 Q 到准线的距离。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：P=(0,4)。设 Q=(x_Q,4)，由 16=2px_Q 得 x_Q=8/p，所以 |PQ|=8/p。焦点为 F(p/2,0)，准线为 x=-p/2。按抛物线定义，|QF|=x_Q+p/2=8/p+p/2。由 8/p+p/2=(5/4)(8/p)=10/p，得 p^2=4。因 p>0，p=2，故 C:y^2=4x。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：Q=(4,4)、F=(1,0)，QF=5、PQ=4，比例恰为 5/4。

设非竖直焦点弦 l:y=k(x-1)。垂直平分线与 AB 交于中点 H；四点共圆时，圆内相交弦 AB、MN 在 H 处满足有向线段乘积相等。

为什么从这里入手：解析几何的目的，是把图形关系变成坐标等式。“设非竖直焦点弦 l:y=k(x-1)。垂直平分线与 AB 交于中点 H；四点共圆时，圆内相交弦 AB、MN 在 H 处满足有向线段乘积相等。”提供了点、斜率、距离或焦点条件，先识别结构并建立关系后，交点、弦长和轨迹都能交给方程与韦达定理处理。

详细展开：代入 y^2=4x 得 A、B 纵坐标之和 4/k、积 -4，中点 H=(1+2/k^2,2/k)，垂直平分线为 x+ky=3+2/k^2。设 M、N 纵坐标为 u、v，则 u+v=-4k，uv=-4(3+2/k^2)。由根差计算 HA^2=4(1+k^2)^2/k^4；沿垂直平分线计算有向积 HM乘HN=(1+k^2)(u-2/k)(v-2/k)=-4(1+k^2)^2/k^2。相交弦定理给出 -HA^2=HM乘HN，于是 k^2=1。水平线与竖直线都使其中一条弦退化为切线，不能产生四个题设交点。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：代回 k=正负1 时，两条直线及其垂直平分线都与抛物线有两个不同交点，且相交弦乘积相等，所以两解均成立且无遗漏。

先求定义域，再把导函数通分。分子会因式分解为 x 与另一个一次因子，第二个零点 r=a(a-2) 在 a=2 时穿过 0，因此按 a 与 2 的关系分类。

为什么从这里入手：含分母、根号或对数的式子必须先合法，后续变形才有意义。“先求定义域，再把导函数通分。分子会因式分解为 x 与另一个一次因子，第二个零点 r=a(a-2) 在 a=2 时穿过 0，因此按 a 与 2 的关系分类。”正好暴露了限制条件；先识别结构并建立关系，可以防止约分或平方时把禁值偷偷带回答案。

详细展开：定义域为 (-1,+infinity)，因为 a>1 时 x+a 在该区间恒正。求导得 f'(x)=1/(x+1)-a^2/(x+a)^2=x[x-a(a-2)]/[(x+1)(x+a)^2]，分母恒正。若 1<a<2，则 r=a(a-2)属于(-1,0)，f 在 (-1,r) 增、(r,0) 减、(0,+infinity) 增。若 a=2，f'(x)=x^2/[(x+1)(x+2)^2]>=0，f 在定义域递增。若 a>2，则 r>0，f 在 (-1,0) 增、(0,r) 减、(r,+infinity) 增。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：核验：每种情况都按两个零点的先后顺序列出符号，且定义域左端 -1 没被误取；a=2 时两零点合并，单独处理避免写出空区间。

要把 a_n 的分母 n+2 推进到 n+3，需要比较 ln(1+x) 与 2x/(x+2)、3x/(x+3)。这两条不等式正好是第 (1) 问分别取参数 a=2、a=3 后，由 f(0)=0 和单调性得到的。

为什么从这里入手：函数的局部变化由导数控制。“要把 a_n 的分母 n+2 推进到 n+3，需要比较 ln(1+x) 与 2x/(x+2)、3x/(x+3)。这两条不等式正好是第 (1) 问分别取参数 a=2、a=3 后，由 f(0)=0 和单调性得到的。”给出了函数值、斜率或导数符号的入口，因此先识别结构并建立关系，就能把图象语言转换成方程或符号表。

详细展开：由第 (1) 问，取参数 2 得 ln(1+x)>2x/(x+2) 对 x>0 成立；取参数 3，因对应函数在 (0,1] 递减且 f(0)=0，得 ln(1+x)<3x/(x+3) 对 0<x<=1 成立。用归纳法：n=1 时 2/3<1<=1。假设 2/(n+2)<a_n<=3/(n+2)。对数函数递增，结合第一条不等式，有 a_{n+1}>ln(1+2/(n+2))>2/(n+3)。又 3/(n+2)<=1，结合第二条，有 a_{n+1}<=ln(1+3/(n+2))<3/(n+3)。因此结论从 n 推到 n+1。

上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。

为什么从这里入手：目标是“完成计算并核验结论”，而“上一阶段已经得到可直接求值、判号或证明的核心关系。”恰好给出了它所缺的前置量或等价关系。先把这条信息写成可计算的等式，后续只需沿等价变形逐步推进；若跳过这一步，就无法说明答案为何由题设唯一确定。

详细展开：基例和归纳步骤均成立，所以对每个正整数 n 都有目标夹逼。下界保持严格不等号；上界在 n=1 取等，后续实际为严格小于，因而题目要求的 <= 当然成立。