一、选择题 · 集合
答案：D；空集
题目标签：集合交集
先解不等式，再与有限集逐项比较
集合 M 用不等式描述，先把它化为区间条件。
详细展开：由 得 ，再除以正数 ，不等号方向不变，所以 ，即 。
本步核对：除以正数时不等号不变；若除以负数才需要改变方向。
有限集 N 只有三个元素，逐个检查是否满足 x>3。
详细展开： 都不大于 ，其中 也不满足严格不等式 。因此没有元素同时属于 M 与 N，交集为空集，选 D。
本步核对：严格大于不包含端点 3，不能把 3 留在交集中。
一、选择题 · 复数
答案：B；2sqrt(2)
题目标签：复数方程与模
先孤立 z，再使用复数模公式
把常数项移到右边，再除以虚数单位 i。
详细展开：由 得 。因为 ，所以 。可回代检查：。
本步核对：除以 等价于乘 ，不要误写成乘 。
复数 a+bi 的模是实部、虚部平方和的算术平方根。
详细展开： 的实部和虚部都是 ，故 ，对应选项 B。
本步核对：模一定非负，化简根式时 。
一、选择题 · 双曲线
答案：B；sqrt(5)/2
题目标签：双曲线离心率
化标准方程后确定 a、b、c
把方程两边同除以 4，读出半实轴与半虚轴参数。
详细展开： 两边除以 ，得到 。与 比较，有 、。
本步核对：原方程右边不是 1 时不能直接把 x² 的系数当作 a²。
双曲线满足 c²=a²+b²，再用 e=c/a。
详细展开：由 得 。因此 ，对应选项 B。离心率大于 1，也符合双曲线的基本性质。
本步核对：双曲线是 c²=a²+b²，不能误用椭圆的 a²=b²+c²。
一、选择题 · 函数
答案：A
题目标签：指数函数图象变换
把 9^x 改写成 3 的幂
两个函数底数不同，先利用 9=3² 化成同一个母函数。
详细展开：。若记 ，目标函数就是 。这说明变化发生在自变量内部，而不是在函数值外乘常数。
本步核对： 不等于 ，不能解释成纵坐标放大 2 倍。
函数 y=f(2x) 的图象由 y=f(x) 横向压缩为原来的一半。
详细展开：原图上一点 要在新图上保持同一纵坐标，就令 ，得到新横坐标 。因此所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，选 A。
本步核对：自变量内乘 2 对应横坐标除以 2，方向容易记反。
一、选择题 · 数列
答案：C；16
题目标签：等差与等比数列
用公差表示三项，再列中项平方关系
等差数列每一项都可由 a1+(n-1)d 表示。
详细展开：由 ，得到 、、。三项按此顺序成等比数列，必须满足中项平方等于前后项乘积。
本步核对：成等比的是 a3、a4、a6，不是下标成等比。
列出 a4²=a3a6，解方程后用 d≠0 筛根。
详细展开：代入得 ，展开整理为 ，即 。题设公差不为零，故 。于是 ，选 C。
本步核对：不能保留 d=0，因为题目明确说公差不为零。
一、选择题 · 不等式
答案：C
题目标签：正数不等式判断
对严格不等式看等号，对其余命题给证明或反例
全称命题只需一个合法反例即可否定。
详细展开：A 在 时等号成立，不满足严格大于。B 的原题右端为 ；取 ，左端为 ，右端为 ，故 B 错。D 取 ，左端 ，右端 ，也不成立。
本步核对：B 的分母已按原 PDF 核对为 ab，不是 OCR 曾误写的根号 ab。
使用基本不等式给出严格下界。
详细展开：因为 ，由均值不等式 。又 ，所以 对所有正数 a、b 都成立，故选 C。
本步核对：即使 a=b，第一处可取等号，第二处仍严格大于。
一、选择题 · 函数
答案：A；充分不必要
题目标签：充分必要条件
分别证明正向推出并构造反例否定逆向
值域覆盖全体实数时，可以主动指定一个绝对值很大的函数值。
详细展开：若 ，对任意实数 M：当 时取目标值 ，由满射性存在 使 ，于是 ；当 时任取定义域中的点也有绝对值不小于 0 而大于 M。因此前一命题推出后一命题。
本步核对：M 可以是负数，完整证明需说明负数情形虽然是自动成立的。
找一个绝对值无界但值域不是全体实数的函数。
详细展开：取 、。它的值域是 ，不是 ；但对任意 M，若 M≥0 可取足够大的 x 使 ，若 M<0 则任意 x 都满足 。所以后一命题不能推出前一命题，前者是充分不必要条件，选 A。
本步核对：不要用有界函数作反例，否则连后一命题也不成立。
一、选择题 · 三角函数
答案：C；4
题目标签：三角函数周期与零点
周期条件先离散化 omega，再用零点筛选
把函数合成为单一正弦，比较平移 pi 后的相位。
详细展开：。若 对所有 x 恒成立，则相位增量 必须是 的整数倍，所以 ，其中 为正整数。
本步核对：相位增加奇数个 pi 会使函数变号，不满足恒等相等。
求最靠近区间的零点并与右端点比较。
详细展开：零点满足 。在 中第一个零点取 ，即 。要使它不超过 ，需 。结合 必须为正偶数，最小只能是 ；此时零点 确在区间内，故选 C。
本步核对：不能直接取 omega=3，因为它不满足上一部得到的偶整数条件。
一、选择题 · 函数应用
答案：B；4 h
题目标签：对数增长模型
对数差化为数据量倍数的对数
训练时间差只取决于新旧数据量的比值。
详细展开：第一次数据量倍数为 ，所以时间增加 。题设该增量为 20 小时，故 。
本步核对：1.024×10^9 除以 10^6 是 1024，不是 1.024。
第二次数据量扩大 4 倍，直接代入同一个 k。
详细展开： 是 的 倍，因此时间增加 小时，对应选项 B。
本步核对：第二次不能继续使用第一次的 1024 倍，应重新计算为 4 倍。
一、选择题 · 平面向量
答案：D；[8,12]
题目标签：向量模长范围
先化简向量式，再转为两个定长向量的距离
利用向量差模长公式求两向量夹角。
详细展开：记 、。由 ，代入 ，得点积为 0。因此 a、b 垂直，且 。
本步核对：AB 对应向量 b-a，不能误写成 a+b。
把 C 的位置向量代入，目标成为长度 2 的动向量与长度 10 的定向量之差。
详细展开：。其中 ，而 。随着垂直向量组转动，a+b 可取任意方向，故差的模从 到 ，两端均能取得，选 D。
本步核对：下界是两长度之差的绝对值，不是 10-4 或 10-√2。
二、填空题 · 抛物线
答案：
题目标签：抛物线焦点参数
把题设方程与 y²=4ax 对照
标准抛物线 y²=4ax 的顶点到焦点距离是 a。
详细展开：题目给的是 ，与 比较，有 ，所以 。焦点为 ，顶点为原点。
本步核对：不要套用 y²=2px 时焦点为 (p,0) 的错误记忆。
顶点到焦点的距离就是焦点横坐标的绝对值。
详细展开：因为 ，顶点 O 到焦点 F 的距离为 。题设该距离等于 3，所以 ，解得 。
本步核对：最后应填写 p 而不是中间参数 a=3。
二、填空题 · 二项式定理
答案：1；15
题目标签：二项式系数
逐项对应组合数，再求和
按二项式定理写出一般项，注意题目已把 (-2x)^i 的幂因子分离。
详细展开：，所以各项依次为 。与题设逐项比较可得 。
本步核对：不能把 a1 误认成实际 x 项系数 -8；实际系数是 -2a1。
从识别出的组合数直接取值和求和。
详细展开：常数项给出 。其余四项之和为 。也可用全部组合数之和 再减去 ，得到 15。
本步核对：第二个空不包含 a0，使用 2⁴ 后必须减 1。
二、填空题 · 三角函数
答案：一组为 pi/2，pi/2
题目标签：三角恒等条件构造
先把两个条件化成乘积，再给出一组特解
把两边移到一起，使用正弦差公式。
详细展开：，所以第一个条件等价于 。另一方面，余弦不等要求 ，即 且 。于是只能令 。
本步核对：只满足正弦相等还不够，必须同时检查两个余弦不相等。
在给定区间内取最简单的特殊角即可。
详细展开：取 、。则 ，；同时 。两角都在 内，因此这是一组合法答案。
本步核对：构造后要逐条代回两个原条件，不能只检查化简后的部分条件。
二、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：多面体体积
先求共同高，再把半个多面体拆成棱柱和棱锥
RA=RF 与 AF=4 给出三角形 RAF 的底边中点和高，另一端同理。
详细展开：在等腰三角形 中，底边 ，腰 。顶点 R 到 AF 中点的距离为 。因平面 RAF 垂直底面，这个距离就是 R 到底面的高；同理 T 到底面的高也为 。由平行关系，R、S、T 位于同一高度。
本步核对：2 是底边 AF 的一半，不是整条 AF=4。
延长 AB 交 ED 于 M，再过 B 作 BK 平行 CT 交 ST 于 K。
详细展开：由平行关系和 、，可得 、。三角形 与 全等，底均为 4，高均为 ，面积都是 3；同时 。三角形 为直角三角形，两直角边均为 4，面积为 8。
本步核对：各体积使用的“高”对应不同底面，不能把 3/2、2、8 混用。
半个多面体 CDEBST 可拆成一个三棱柱和两个三棱锥。
详细展开：三棱柱 的体积为 ；棱锥 的体积为 ；棱锥 的体积为 。故半个多面体体积为 30。另一半与它全等，所以总体积为 。
本步核对：最后必须乘 2；括号内只计算了由 C、D、E、B、S、T 围成的一半。
二、填空题 · 函数
答案：
题目标签：抽象函数存在性
构造法与奇偶性约束逐项判断
单调性与函数方程右端的增减方向可直接比较，也可构造线性函数。
详细展开：若 f 单调递增，则 也是单调递增函数，不可能恒等于严格递减的 ，故①错。对②，取 ，它在实数上单调递减，且 ，所以②正确。
本步核对：② 的方程是相减，不能误看成①中的相加。
把 f 分解成偶部和奇部，观察等式左右的奇偶性。
详细展开：③ 中令 ，其中 h 是任意奇函数，则 ；奇函数 h 有无穷多个，所以③正确。④ 的左边 必为奇函数，而且在 x=0 时恒为 0；右边 是偶函数且 ，因此连一个解都没有，④错误。
本步核对：④ 只需代入 x=0 就产生矛盾，不必尝试构造函数。
三、解答题 · 解三角形
答案：(1) 6；(2) 选②或③，高为20sqrt(2)/9
题目标签：解三角形
先求 sin A，再利用 a sin C 这个整体
已知 cos A 且 A 是三角形内角，正弦取正根。
详细展开：由 ，有 。三角形内角满足 ，故 ，所以 。
本步核对：不能写正负号；内角 A 的正弦一定为正。
把 c/sin C=a/sin A 改写，使题设的 a sin C 整体出现。
详细展开：由正弦定理 ，交叉相乘得 。题设 ，代入上一部的 ，得到 。
本步核对：不要先尝试单独求 C；现有条件只能直接确定 a sin C。
选择条件②确定 b，再由面积求高
条件①会导致不存在的三角形，条件②能够直接求出边 b。
详细展开：若选①， 会推出 ，但 表明 A 为钝角，两个内角不可能同时为钝角，所以①不可选。选择②：由正弦定理 ，得 。条件③与②等价，也会得到相同结果。
本步核对：a=c 且 A 为钝角时会造成两个钝角，这是排除①的关键。
已知 b、c 和夹角 A 后，第三边 a 唯一确定。
详细展开：由余弦定理 ，代入 ，得 ，所以 。并且 ，三边满足三角形不等式，因此所选条件确实使三角形存在。
本步核对：求出正边长后仍应检查 5+6>9，避免得到退化或不存在的三角形。
同一个三角形面积分别用两边夹角和底乘高表示。
详细展开：设 BC 边上的高为 h。面积一方面为 ，另一方面为 。令两式相等，得到 。代入 ，可得 。
本步核对：不能直接写 h=c sin A；那是从其他顶点向另一条边作高时的关系。
三、解答题 · 立体几何
答案：(1) 见证明；(2) sqrt(3)/3
题目标签：线面平行与线面角
先用中位线得到 FG∥DE，再证 DE∥AB
F、G 分别是 PD、PE 的中点，直接触发三角形中位线定理。
详细展开：在 中，F 是 PD 的中点，G 是 PE 的中点，因此连接两中点的线段平行于第三边，即 。
本步核对：第三边是 DE，不是 DP 或 EP。
把底面两个等腰直角三角形放入平面坐标可看清方向。
详细展开：设 ，在底面取 、、。因 在 D 处为等腰直角三角形，D 可取 ；E 是 BC 中点，所以 。于是 DE 与 y 轴平行，而 AB 也与 y 轴平行，故 。从而 。又 平面 PAB 且 FG 不在该平面内，所以 平面 PAB。
本步核对：线与平面平行需要平行于平面内一条直线，并确认该线不包含在平面内。
建立空间坐标，计算方向向量与法向量夹角
利用 PA 垂直底面且 PA=AC，把三条互相垂直的方向作为坐标轴。
详细展开：仍记 。以 A 为原点，AC、AB、AP 方向分别为 x、y、z 轴，则 、、。由上一问底面构型可取 。直线 AB 的方向向量可取 。
本步核对：坐标整体乘 s 不影响最终角度，可在计算中约去。
在平面内取 PC、PD 两个不共线向量并作叉积或解垂直方程。
详细展开：除去公共因子 s，有 、。设法向量 n 同时垂直于两者，可取 ；检验点积分别为 0。
本步核对：只与 PC 垂直还不能保证是平面 PCD 的法向量。
线面角的正弦等于直线方向与平面法向量夹角余弦的绝对值。
详细展开：设直线 AB 与平面 PCD 所成角为 ，则 。这里点积绝对值为 1，两个模分别为 1 和 ，所以结果为 。
本步核对：题目问正弦，不要把结果误解释为线面角余弦。
三、解答题 · 概率统计
答案：(1) 0.8；(2) 0.35，1.55；(3) p1<p2
题目标签：频率估计与条件概率
用样本频率估计总体概率
抽查 100 人中有 80 人答对，频率就是人数之比。
详细展开：样本容量为 100，答对人数为 80，所以答对频率为 。题目明确要求用频率估计概率，因此将它作为甲校学生答对概率 p 的估计值。
本步核对：不要把错误人数 20 除以 100 当作 p。
估计值不是证明总体中恰好有 80% 答对，而是基于样本的点估计。
详细展开：因此本问写作 或“p 的估计值为 0.8”。后续计算按题意使用该估计值，而不额外引入抽样误差区间。
本步核对：不要把样本频率写成总体概率的绝对恒等式。
列出两种互斥情形，并利用指示变量期望可加
恰有一人答对包括甲对乙错、甲错乙对两种互斥情形。
详细展开：甲校答对概率估计为 ，乙校为 。由独立性，甲对乙错概率为 ，甲错乙对概率为 。两种情形不能同时发生，所以相加得到 。
本步核对：不能只算 0.8×0.25；那会漏掉乙对甲错。
X 是两名学生答对指示变量之和，期望可直接相加。
详细展开：令 分别表示甲、乙学生是否答对，则 。因此 。期望可加不要求独立，但本题本身也给出了独立性。
本步核对：期望 1.55 可以不是整数，它表示大量重复抽样的平均答对人数。
分别建立全概率方程
按“掌握”和“未掌握”两类分解答对概率。
详细展开：甲校掌握后答对概率为 1，未掌握时四选一答对概率为 。所以 ，解得 。
本步核对：未掌握不等于必错，随机猜测仍有 1/4 概率答对。
乙校掌握后也并非必然答对，要使用题设的 85%。
详细展开：乙校满足 ，所以 。比较 与 ，得到 。这说明答对率较低不必然意味着掌握率较低，因为掌握后的答对机制不同。
本步核对：乙校掌握者答对概率是 0.85，不是 1。
三、解答题 · 解析几何
答案：(1) x^2/4+y^2/2=1；(2) 两比值相等
题目标签：椭圆与面积距离比
由距离和求 a，由离心率求 c、b
椭圆定义规定任一点到两焦点距离之和恒为 2a。
详细展开：题设距离之和为 ，所以 ，由 得 ，即 。这里的 4 是完整长轴长度，不能直接当作半长轴 a。
本步核对：a 是半长轴，题给的两焦点距离和是 2a。
离心率 e=c/a，椭圆参数满足 a²=b²+c²。
详细展开：由 与 ，得 。所以 ，代入标准式得到 。
本步核对：椭圆使用 a²=b²+c²，不能误用双曲线的加法关系。
先求 A、B 坐标，再分别化简两个比值
把两条水平直线的纵坐标代入给定直线方程。
详细展开：当 时，，故 ；当 时，，故 。题设 保证这些横坐标有意义。又因 M 在椭圆上，有 。
本步核对：代入 y=-2 时第二项是 -4y0，移项后分子变为 4(1+y0)。
原点为一个顶点时，用二维行列式计算面积。
详细展开：。代入 并用 ，分子化为 ，故 。同理 。由于 ，两个括号都为正。
本步核对：绝对值不能直接删；先用 |y0|<2 判断 2±y0 为正。
分别平方长度，仍用同一个椭圆约束配成完全平方。
详细展开：；同理 。取算术平方根并利用 ，得到 。它与上一部面积比完全相同。
本步核对：长度必须取非负平方根，括号符号要由 y0 范围确认。
三、解答题 · 函数与导数
答案：(1) 1/e；(2) 见证明；(3) [(e^2-1)/(e^2+1),1)
题目标签：导数、切线与值域
令 t=1+x，研究 ln t/t
分母与对数中都出现 1+x，令 t=1+x 可统一结构。
详细展开：因为 ，令 后有 ，且 。记 ，则问题转化为求 h 在正半轴上的最大值。
本步核对：t 的范围是 (0,+∞)，不能只研究 t>1。
对商求导，导数符号只由 1-ln t 决定。
详细展开：。当 时导数为正，当 时导数为负，所以 h 先增后减，在 处取得唯一最大值 。对应 。
本步核对：最大值是 1/e，不是取到最大值时的 x=e-1。
构造曲线纵坐标减切线纵坐标的差函数
已知导数可以直接识别为平方对数的导数。
详细展开：因为 ，所以 。代入 得 。这个表达式也保证 f 在整个定义域连续可导。
本步核对：积分常数必须用 f(0)=0 确定。
令曲线值减切线值，目标转化为证明差函数除 a 外恒正。
详细展开：切线为 。设 ，则 ，且 。记 。由上一问的导数计算，g 在 上严格递增。特别地，当 时，。
本步核对：H 的导数不是 f''，而是 f'(x)-f'(a)。
分别比较 x<a 与 x>a 时 g(x) 和负数 g(a) 的大小。
详细展开：若 ，g 在 递增，所以 ，即 。若 ，则 ；若 ，则 ，仍有 。因此 H 在 a 左侧递减、右侧递增，在 x=a 处取得唯一最小值 0。
本步核对：不能声称 g 在整个 (-1,+∞) 上递增；它在 e-1 后会递减，但始终为正。
唯一最小值为 0 意味着除切点外差值都为正。
详细展开：由单调性，，且等号只在 成立。因此对定义域内任意 ，都有 ，即曲线 y=f(x) 除切点 A 外都在直线 上方。
本步核对：只证明 H≥0 不足以体现除切点外严格在上方。
用 L=ln(1+a) 表示截距，再化为 f'(a) 的函数
分别把切线和垂线方程中的 y 置为 0。
详细展开：令 、，则 。切线 给出 。垂线斜率为 ，由 得 。
本步核对：垂线斜率为 -1/m，解 x2 时两个负号会抵消。
把分子、分母都改写成 x1、x2 相对 a 的偏移量。
详细展开：代入两截距后，分子为 ，分母为 。约去公共正因子 ，得到 。由于 ，还可写成 。
本步核对：分母 x2-x1 为正，约分时不改变范围方向。
a>0 时 m=ln(1+a)/(1+a) 的取值是 (0,1/e]。
详细展开：由第一问，正半轴上 ；当 或 时 m 趋于 0 但不取 0。函数 在 上严格递减，因此最小值在 处取得，为 ；上确界 1 不取得。
本步核对：右端 1 必须使用圆括号；a>0 时 m 始终大于 0。
三、解答题 · 新定义与组合
答案：(1) (6,7)或(7,6)；(2) 不能；(3) 见证明
题目标签：K列与网格路径
枚举两种坐标差的合法符号
先令横坐标差 3、纵坐标差 4，并要求新坐标仍在 1 到 8。
详细展开：从 出发，若 ，则 或 0，只保留 6；若 ，则 或 -1，只保留 7。因此得到一个合法第二项 。
本步核对：0 和 -1 不属于 A，必须舍去。
第二种规则把两个坐标的变化量互换。
详细展开：若 、，同理只有 、 合法，得到 。所以第二项可以写 或 。
本步核对：“写出”允许写任一合法项，但完整答案列出全部两种更清楚。
同时利用序号奇偶与坐标和奇偶
题设按序号奇偶限制横坐标所属集合。
详细展开：点 与 的横坐标 3、4 都属于 ，所以如果它们出现在 中，它们的序号都必须是偶数。两个偶数序号之差为偶数，故从一个点走到另一个点要经过偶数次相邻移动。
本步核对：点的第二坐标不决定序号奇偶，本步只看 x 坐标。
每次移动的两个绝对变化量之和为 7，因此坐标和奇偶性每步翻转。
详细展开：对相邻两项， 与 同为奇数，所以坐标和的奇偶性每移动一次改变一次。经过偶数步后奇偶性应相同。但 的坐标和为 5，是奇数； 的坐标和为 8，是偶数，二者不同，产生矛盾。因此不能同时出现。
本步核对：必须把“偶数步后奇偶性相同”与两个具体坐标和对照。
找出 16 个角落点及其最多 12 个可能后继
令两个坐标都属于外层集合 B={1,2,7,8}。
详细展开：设 ，共有 个点。若从 S 中任一点按 K 规则走一步，两个坐标分别改变 3 和 4；由于原坐标位于外层，新坐标必落入中央集合 。
本步核对：这里要求 x、y 都在外层，所以是 16 个点，不是只限制一个坐标得到的 32 个点。
中央 4×4 方格的四个角点无法由外层点一步到达。
详细展开：若目标坐标是 3，它从外层数中只能由 7 改变 4 得到；若目标坐标是 6，它只能由 2 改变 4 得到。因此目标点 的两个坐标都要求变化量为 4，而 K 规则要求一个坐标变 3、另一个变 4，所以这四点都不可达。中央共有 16 点，故 S 的可能后继至多只有 个。
本步核对：K 规则不允许两个坐标同时相差 4。
假设 64 个不同点全按某个顺序组成 K 列，观察 16 个 S 点的下一项。
详细展开：在一个包含全部 64 点且不重复的序列中，S 的 16 个点中至多只有一个是最后一项，所以至少 15 个 S 点必须各有一个下一项。不同位置的下一项也互不相同，并且都必须属于 。这要求至少 15 个不同后继，但上一部证明可能后继至多 12 个，矛盾。因此 M 的全部元素不可能组成 K 列。
本步核对：需允许一个 S 点恰好位于序列末尾，因此下界写 15 已足够，而不是武断写 16。