exams_raw/普通高考/2025/2025全国1(山东,广东,湖南,湖北,河北,江苏,福建,浙江,河南,江西,安徽).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、单选题 · 复数
答案：C
题目标签：复数乘法与虚部
把复数化为标准形式后确定虚部
先按乘法分配律展开，避免直接从未化简的式子中猜虚部。
详细展开：把右侧的 分别乘到 与 上，得到 。复数运算中最关键的基本关系是 ，所以第二项是实数而不是虚数。
标准形式中虚部是 的实系数。
详细展开：上一步得到 。这里实部是 ，虚部是 ；题目问的是虚部，不是实部，也不是整个虚数项 。因此应选择数值为 的选项 C。
一、单选题 · 集合
答案：C
题目标签：有限集补集的元素个数
列出全集并删除属于 A 的元素
把“小于 9 的正整数”逐个列出，先确定补集运算的范围。
详细展开：正整数从 开始，而“小于 ”不包含 ，所以全集恰为 ，共有 个元素。
补集 由属于 但不属于 的元素组成。
详细展开：从全集中删去 的三个元素，剩下 ，共 个。也可用 复核，因为题设明确 。
一、单选题 · 双曲线
答案：D
题目标签：双曲线的轴长与离心率
把轴长关系转化为 a、b、c 的关系
双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 。
详细展开：题设“虚轴长是实轴长的 倍”表示 。由于 ，约去 后得到 ，平方得 。
双曲线满足 ，离心率为 。
详细展开：代入 得 。因 ，所以 ，从而 ，对应选项 D。
一、单选题 · 三角函数
答案：B
题目标签：正切函数的对称中心
利用正切函数零点与周期求最小正横坐标
基本函数 的每个零点 都是图象的对称中心。
详细展开：令题中正切的自变量 等于 ，便得到所有中心的横坐标。外面的系数 只作纵向伸缩，不改变这些中心的位置。
在 中选择满足 的最小值。
详细展开：当 时 ；当 时 。相邻中心相差一个周期 ，因此不存在介于二者之间的其他中心，最小正值就是 ，选 B。
一、单选题 · 函数性质
答案：A
题目标签：偶函数与周期函数求值
把自变量移动到已知解析式所在区间
偶函数满足 ，因此负自变量可以先变为正自变量。
详细展开：取 ，由偶性直接得到 。但 不在已知公式适用的区间 ，所以还必须继续使用周期性。
周期为 ，所以给自变量加 不改变函数值。
详细展开：，而 ，现在可以使用 。代入后得到 ，选 A。
一、单选题 · 平面向量
答案：C
题目标签：速度向量的合成
读取图中向量并按风速定义合成
线段的起点和终点给出向量分量，先分别读取视风与船速。
详细展开：图中视风向量从 指向 ，所以它是 ；船速向量从 指向 ，所以它是 。向量分量始终按“终点减起点”计算。
船行风与船速大小相等、方向相反，因此视风等于真风减船速。
详细展开：由 得 。其大小为 ，落在图 1 的 到 区间，对应和风，选 C。
一、单选题 · 直线与圆
答案：B
题目标签：圆与等距平行线的交点数
把到直线距离为 1 的点转化为两条平行线
先把原直线写成一般式，并用平行线常数项的变化表示等距轨迹。
详细展开：原直线为 ，其法向量长度是 。与它距离为 的点位于 两条平行线上。圆心是 ；代入两条平行线的距离公式，得到圆心到它们的距离分别为 和 。
圆与一条直线的交点数由半径 和圆心到直线距离 比较决定。
详细展开：若 ，圆与距离为 的近线相交于两点，与距离为 的远线没有交点，总数恰为两个。端点不能取： 时近线相切只有一个点； 时近线有两个交点且远线相切再增加一个点。 时两线各有两个交点。因此 ，选 B。
一、单选题 · 指数与对数
答案：B
题目标签：指数函数比较与次序判断
引入公共值并利用比值随参数单调变化
三个式子相等时，设它们的公共值为 ，即可分别解出三个正数。
详细展开：由 得 ；同理 、。这样大小关系随同一个实参数 变化，原问题变成比较三个指数函数。
用 作为同一比较基准，可以把两条必要不等式推向相反方向。
详细展开：比值 随 严格增大，而 时 ，故若 ，必有 。比值 也随 严格增大，而 时 ，故若 ，必有 。二者不能同时成立，所以 不可能。其余选项确实可出现： 时 ； 时 ； 时 。因此选 B。
二、多选题 · 立体几何
答案：BD
题目标签：正三棱柱中的线面关系
建立坐标系逐项检验垂直和平行
取等边三角形边长为 ，把 的中点放在原点，可使多个方向向量非常简单。
详细展开：设 ，，，；侧棱垂直底面，令棱柱高为 ，则 、、。坐标选择只固定形状与方向，不影响垂直、平行结论。
用点积检验线线垂直，用平面的方向向量检验线面关系。
详细展开：有 ，，点积为 ，故 A 错。平面 由方向 与 张成，正是平面 ； 是其法向量，故 B 对。 不与 共线，故 C 错。直线 方向为 ，平行于平面 且本身位于 ，不与该平面相交，故 D 对。
二、多选题 · 抛物线
答案：ACD
题目标签：抛物线焦点弦与距离
用参数方程统一表示 A、B、D、E
把 写成 ，得到 ，焦点与准线随即确定。
详细展开：抛物线上参数为 的点可写成 。设 、；过焦点的弦满足参数积 ，所以可令 ，其中 。
点 A 到竖直准线的垂足 D 与 A 具有相同纵坐标，因此 是水平距离。
详细展开： 的横坐标为 ，准线横坐标为 ，故 。抛物线定义说明点到焦点的距离等于点到准线的距离；也可直接计算 。所以 A 正确。
先写焦点弦斜率，再求过 F 的垂线与准线的交点。
详细展开：当 时，焦点弦 的斜率为 ，因此过 且垂直于 的直线斜率为 。从 走到 ，横坐标变化 ，故 。当 时， 是竖直线，过 的垂线是 ，直接与准线相交仍得到同一坐标公式。现在取合法参数 ，则 、、，于是 ，而 ，所以 B 不是恒真命题。
利用焦半径公式和基本不等式分别处理 C、D。
详细展开：焦点弦长为 ，故 C 对。由坐标计算可得 、；令 ，乘积化为 ，等号在 时成立，所以 D 对。综上选 A、C、D。
二、多选题 · 解三角形
答案：ABC
题目标签：三角恒等式与边角关系
先证明 C 为直角，再结合面积求边长
把二倍角余弦改写成正弦平方，可直接出现选项 A 的结构。
详细展开：由 、，原等式左边变为 。它等于 ，约去并除以 后恰得 ，所以 A 正确。
把角和、角差记号引入两个条件，并严谨排除 的可能。
详细展开：设 、、。由 ，上一步等式等价于 ；又 ，第二条件给出 。若 ，由 可知 ，与 矛盾。若 ，则 为钝角，，所以 ，从而 ；但 又给出 ，仍矛盾。因此只能 ，即 。此时第二条件化为 ，结合 得 。
在 后，把两直角边和斜边分别代入面积与三角函数。
详细展开：记 、、。面积条件给 ，即 。又 ，故 ，即 ，B 对。由已求角度，，C 对。勾股定理给 ，不是 3，所以 D 错。答案为 ABC。
三、填空题 · 导数
答案：
题目标签：导数的切线意义
先比较导数，再代入切点坐标
切线 的斜率为 ，它必须等于曲线在切点处的导数。
详细展开：曲线函数为 ，导数是 。设切点横坐标为 ，则 ，所以 ，由指数函数单调性得 。
切点不仅斜率相同，其坐标还必须同时满足曲线和直线方程。
详细展开：当 时，直线纵坐标为 ，曲线纵坐标为 。令二者相等得到 ，所以 。
三、填空题 · 数列
答案：
题目标签：等比数列前 n 项和
利用后四项是前四项的 q^4 倍
等比数列第 5 至第 8 项分别是第 1 至第 4 项的 倍。
详细展开：因此后四项之和为 ，从而 。这个关系对 也成立，不需要先套含分母的求和公式。
代入给定的两个和，先求 ，再利用各项为正筛选公比符号。
详细展开：由 得 ，所以 。等比数列各项均为正数，特别是相邻两项之比 必为正，因此 ，不能取 。
三、填空题 · 概率与统计
答案：61/25
题目标签：不同球数的数学期望
使用指示变量把不同种类数拆成五项
直接枚举三次抽取的重复类型较繁琐，改为逐个球统计是否至少出现一次。
详细展开：对第 个球定义 ：若三次中至少取到它一次则 ，否则 。被取到过的不同球数就是五个指示变量之和 。
固定一个球，先求三次都没有取到它的补事件概率。
详细展开：每次不取到该球的概率是 ，有放回使三次独立，所以三次均未取到的概率为 。因此 ，。由期望线性性，。
四、解答题 · 统计案例
答案：(1) 0.9；(2) 认为超声波检查结果与患病有关
题目标签：条件概率估计与独立性检验
在条件人群中用频率估计条件概率
题目问“检查结果不正常者患病”的概率，条件是检查结果不正常。
详细展开：因此样本空间应限制在列联表“不正常”这一列，而不是全部 人，也不是全部 名患者。该列合计有 人，其中患病者为 人。
用样本中的相对频率估计总体条件概率。
详细展开：在 名检查结果不正常者中有 人患病，所以 的估计值为 。这个数表示样本中检查不正常者约有 患病。
计算卡方统计量并与 0.001 临界值比较
独立性检验的原假设是“检查结果与是否患病相互独立”。
详细展开：按附表公式可取 、、、，样本量 。交换整行或整列不会改变统计量，但四个数必须保持同一张 表的相邻位置。
逐项计算差值与四个边际和，保留足够精度。
详细展开：；四个边际和依次为 。代入得到 ，远大于临界值，计算量虽大但可通过数量级检查防止漏零。
小概率值 对应附表临界值 。
详细展开：因为 ，在原假设成立时出现当前或更极端数据的概率小于 ，所以拒绝原假设。按题目语境，应认为超声波检查结果与是否患该疾病有关。统计检验给的是显著关联，而不是仅凭本表证明因果关系。
四、解答题 · 数列与导数
答案：(1) 公差为 1；(2) [7-(3m+7)(-2)^m]/9
题目标签：递推数列与多项式导数
整理递推式得到相邻两项差为常数
要研究 ，应把原式两边乘到恰好出现 与 。
详细展开：原式对正整数 成立，两边同乘 ，左边得到 ，右边依次得到 和 。因此递推式等价于 。
把 代入整理后的递推式。
详细展开：有 、，所以 ，与 无关。按等差数列定义， 是公差为 的等差数列；且首项 。
先求 a_n，再化简有限加权等比和
利用上一问的等差数列通项先得到 。
详细展开： 的首项为 、公差为 ，所以 。再除以 ，得到 。
逐项求导后， 正好变为已知的 。
详细展开：有限多项式可以逐项求导：。代入 后，问题成为求和 。
把和拆成 与 ，使用有限等比和的导数公式。
详细展开：对 ，有 ，且 。取 后，第一部分是 ，第二部分是 ，相加得到最终结果。代入 可复核为 。
解答题 · 立体几何
答案：(1) 见证明；(2) O=(0,1,0)，夹角余弦为 sqrt(2)/3
题目标签：四棱锥中的垂直、球心与线线角
证明一条直线垂直于其中一个平面
由 底面 ，PA 垂直于底面内所有经过垂足 A 的直线。
详细展开：直线 位于底面 内且经过点 A，所以 。题设另给 ，于是 AD 同时垂直于平面 内相交的两条直线 PA、AB。
一条直线若垂直平面内两条相交直线，就垂直该平面。
详细展开：由上一步得 平面 。又 平面 ，即平面 内含有一条垂直于平面 的直线，因此按面面垂直判定定理，平面 平面 。
建立空间直角坐标系并由等距条件求球心
以 A 为原点，沿 AB、AD、AP 分别建立互相垂直的坐标轴。
详细展开：取 ，，，。因 且 ，结合图中同向位置可取 。底面正是坐标平面 。
设球心 ，先比较坐标最简单的点对距离平方。
详细展开：由 ，展开并约去公共的 ，因 ，得到 。由 ，B、C 只在 y 坐标相差 2，展开即得 。
把 代入最后一组等距关系，求出 u，进而求出 w。
详细展开：；。二者相等给 ，再由 得 。故 ，其 z 坐标为 0，所以 O 在平面 内。
用方向向量点积计算异面直线夹角
异面直线所成角可由各自任意方向向量的夹角计算，并取锐角。
详细展开：由坐标得 。取 作为 PO 的方向向量。若反向取 ，最终点积只差符号，夹角余弦仍取绝对值。
分别计算分子和分母，避免在一个式子中漏项。
详细展开：；；。这些量均由坐标直接得到。
将上一步三个量代入直线夹角余弦公式。
详细展开：设所成角为 ，则 。结果位于 ，与锐角定义一致。
解答题 · 解析几何
答案：(1) x^2/9+y^2=1；(2) R 如式，最大值为 3(sqrt(2)+sqrt(3))
题目标签：椭圆、反演点与轨迹最值
由离心率和两顶点距离解出 a、b
椭圆满足 ，离心率为 。
详细展开：由 得 ，所以 ，即 。所有参数均为正，不存在符号分支。
下顶点为 ，右顶点为 ，所以距离平方是 。
详细展开：题给 ，故 。结合 得 ，从而 、。代回标准式得到 。
利用射线比例和长度乘积确定伸缩系数
R 在射线 AP 上，意味着从 A 出发沿向量 作非负倍伸缩。
详细展开：由第一问 ，而 ，所以 。设 ，其中 ，则 。
同向伸缩给出 ，可直接代入乘积条件。
详细展开：，且 ，所以 。代回坐标即得 R；分母不为零，因为乘积等于 3 已保证 。
由斜率条件求 P 的轨迹，再求两个封闭曲线间最大距离
设 ，先由上一问坐标写出 OR 的斜率。
详细展开：有 。因 P 不在 y 轴上，，于是 ，。条件 给 ，即 。代回 ，整理得 。因此 P 在以 为圆心、半径 的圆上，并排除 y 轴上的两个点。
固定 Q 时，P 在定圆上；先研究 Q 到该圆圆心 S 的距离。
详细展开：设 在椭圆上，则 且 。于是 ，所以 ，等号在 、 时取得。
P 在圆上意味着 恒定。
详细展开：对任意符合条件的 P、Q，三角不等式给 。这个上界同时使用了 P 轨迹半径和 Q 到 S 的最大距离。
要使 ，点 P、S、Q 必须共线且 S 位于 P、Q 之间。
详细展开：取 ，此时 。从 S 沿 Q 的反方向取圆上点 。它满足 且横坐标非零，故没有违反 P 不在 y 轴上的限制。此时 P、S、Q 共线，两个不等式同时取等，因此最大值确为 。
解答题 · 三角函数与证明
答案：(1) 3sqrt(3)；(2) 见证明；(3) 3sqrt(3)
题目标签：三角函数最值与相位覆盖
用五倍角公式化为 cosx 的多项式
原式同时含 和 ，使用五倍角公式可以统一为 。
详细展开：由 ，两端的 正好抵消。令 ，则目标函数化为 。当 时，。
对 求导，找出给定 u 区间内的唯一内部驻点。
详细展开：。区间内驻点为 ；当 时导数为正，当 时导数为负，所以该点是最大点。对应 ，确实位于原区间。
把驻点代入多项式，并用端点值作复核。
详细展开：；两个端点分别给 、。由于 ，最大值为 。
刻画 cos y>cosθ 的全部区间并反证
因为 ，在每个周期中余弦大于 的位置恰位于最高点附近。
详细展开：利用余弦的偶性、周期性以及它在 上严格递减，可得 当且仅当存在整数 使 。这些开区间两两分离，每个长度都恰为 。
假设结论不成立，则闭区间内每一点都满足严格反向不等式。
详细展开：若对所有 都有 ，由于该闭区间连通，它必须完全落在上一步某个开区间 内。但两者长度同为 ，一个包含两个端点的闭区间不可能被同长度的开区间严格包含，矛盾。因此至少存在一个 使 。
先用第二问建立下界，再构造相位达到该下界
固定任意 ，让 在 内变化，则相位 覆盖一个长度为 的区间。
详细展开：具体地，。把第二问中的 取为 、 取为 ，可找到该区间中的 满足 。令 ，便有 。
对上一步选出的 x，同时估计两项的方向。
详细展开：由 得 ；又有 。因此在这个 x 处，。所以无论怎样选 ，若不等式对所有 x 恒成立，都必须有 。
要证明下界就是最小值，还需找一个相位使函数对所有实数 x 都不超过 。
详细展开：取 。令 ，则函数仍为 。当 时，，所以 ；当 时，由第一问相同的导数分析，最大值在 处取得，等于 。因此该相位确实给出全体实数上的上界。
任意相位的必要下界与相位零时的可行上界相同。
详细展开：上两步分别证明了：所有可行 都满足 ；而当 时，取 已能使原不等式对所有 成立。因此下界可以取得， 的最小值就是 。