exams_raw/普通高考/2025/2025全国2(辽宁,重庆,海南,吉林,黑龙江,山西,云南,广西,甘肃,贵州,新疆,四川,内蒙古,陕西,青海,宁夏,西藏).pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
一、单选题 · 统计
答案：C；12
题目标签：样本数据的平均数
先求总和，再除以数据个数
平均数要同时使用全部数据，先数清共有几个数。
详细展开：题目给出的数据依次为 ，共有 个。把它们全部相加：，，，。
样本平均数等于样本数据总和除以样本容量。
详细展开：总和为 ，数据个数为 ，因此平均数为 。四个选项中与 对应的是 C。
一、单选题 · 复数
答案：A；-i
题目标签：复数倒数
先化简分母，再把商写成标准形式
把已知复数代入，分母会化成最简单的纯虚数。
详细展开：由 ，从中减去实数 时只消去实部，所以 。原式因此变为 。
利用 把 写成标准形式。
详细展开：分子、分母同乘 ，得到 。也可直接验证 ，所以 确实是 的倒数。
一、单选题 · 集合
答案：D；{0,1}
题目标签：方程解集与集合交集
先解方程写出 B，再筛选共同元素
集合 由方程 的全部实数解组成。
详细展开：把等式移到一边得 ，先提出公因式 ，再用平方差公式分解：。三个因式至少有一个为零，所以 。
交集中的元素必须同时属于两个集合。
详细展开：集合 中， 和 也在 中； 不在 中。反过来， 中的 不在 中。因此共同元素恰为 。
一、单选题 · 不等式
答案：C；[-2,1)
题目标签：一元分式不等式
移项通分后用临界点划分符号区间
先把右边的 2 移到左边，统一判断一个分式的符号。
详细展开：分母 不能为零，所以先记下 。通分时 ，于是分子为 。
分子零点是 ，分母零点是 ，它们把数轴分成三个区间。
详细展开：当 时分子、分母都负，商为正；当 时分子正、分母负，商为负；当 时二者都正，商为正。题目要求商小于等于零，所以取中间区间，并包含使分子为零的 ，排除分母为零的 。
一、单选题 · 解三角形
答案：A；45°
题目标签：余弦定理求角
确定角 A 的对边并计算 cos A
余弦定理中，角 A 的对边是 BC，邻边是 AB 与 AC。
详细展开：题设给出 、、。因此应使用 ，而不是把任意一条边放在等式左边。
把三个边长平方后代入，再与特殊角余弦值对应。
详细展开：，，。所以分子为 。将分子分母化简可得 。三角形内角在 内，故 。
一、单选题 · 抛物线
答案：C；5
题目标签：抛物线焦点与准线
先用直线 BF 确定 p，再定位 A 和 B
抛物线 的焦点是 ，准线是 。
详细展开：直线 的方程为 ，焦点 在这条直线上。把 代入得 ，所以 。
准线竖直，过 A 作准线的垂线是一条水平线，所以 A、B 纵坐标相同。
详细展开：准线是 ，故垂足 的横坐标为 。又 在 上，所以 。线段 水平，因此 的纵坐标也是 。把 代入抛物线 得 ，即 。
抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离。
详细展开：点 到准线 的垂直距离是横坐标差 。根据抛物线定义，这个距离正好等于 。直接用两点距离公式也得 。
一、单选题 · 数列
答案：B；-15
题目标签：等差数列前 n 项和
列出 S3、S5 方程后计算 S6
设等差数列首项为 ，公差为 ，使用 。
详细展开：由 得 ，即 ；由 得 ，即 。
用第二个简化方程减去第一个，先得到公差。
详细展开：，所以 。代回 得 。可检验前五项为 ，和确为 。
将求得的首项和公差代入同一个求和公式。
详细展开：。也可在 的基础上加第六项 ，同样得到 。
一、单选题 · 三角函数
答案：D；7sqrt(2)/10
题目标签：半角与两角差公式
先恢复 sin alpha、cos alpha，再用两角差公式
由 得 ，所以半角的正弦、余弦都为正。
详细展开：已知 ，故 。再用二倍角公式得到 。
整角余弦可由半角余弦平方与正弦平方之差得到。
详细展开：。负号也说明原角 位于第二象限，与 相容。
应用两角差公式并代入特殊角值。
详细展开：。因为两个特殊角值都为 ，结果等于 。
二、多选题 · 数列
答案：AD
题目标签：等比数列通项与前 n 项和
先解出公比和首项，再计算通项与前 n 项和
设首项为 。因为 且 ，可用 q 表示首项。
详细展开：由 ，前三项和为 。移项得 ，因式分解为 。
二次方程给出两个候选根，必须结合题设符号条件取舍。
详细展开：两个根是 与 。题设明确 ，所以只能取 ，选项 A 正确。此时 。
把数列写成具体前几项，可直接判断 B、C，并从公式判断 D。
详细展开：数列前五项为 ，所以 ，B 错；，C 错。一般地，，，故 ，D 对。
二、多选题 · 函数与导数
答案：ABD
题目标签：奇函数解析式与极值
先补全负半轴解析式，再研究函数值和极值
奇函数满足 ，把 代入即可得到原点函数值。
详细展开：，所以 ，从而 。因此 A 正确。这个结论来自奇函数定义，不需要把只对 有效的公式代入 。
当 时，，可以先用正半轴公式计算 。
详细展开：。再由奇性 ，得到 ，所以 B 正确。
命题 C 声称负半轴上没有 的点，只需找一个合法反例即可否定。
详细展开：取 ，使用负半轴公式得 。因为 ，所以 ，但 。因此“ 当且仅当 ”不成立，C 错。
在负半轴对解析式求导，并观察 -1 左右导数符号。
详细展开：对 求导，得 。当 时两个一次因式都负，导数为正；当 时 、，导数为负。因此函数在 -1 左侧递增、右侧递减， 是极大值点，D 对。
二、多选题 · 双曲线
答案：ACD
题目标签：双曲线渐近线构型
坐标化圆与渐近线交点，再用给定角确定参数比
双曲线焦点为 ，所以以 为直径的圆是 。
详细展开：取渐近线 。代入圆方程得 。又双曲线满足 ，所以 。可令 、，左右顶点为 。
在顶点 处写出两条射线的方向向量，并用点积表达余弦。
详细展开：，。因此 。由角等于 ，余弦为 ，平方并整理得到 。
利用 逐项计算前三个选项。
详细展开：在点 M 处，、，夹角余弦为 ，故角为 ，A 对。，，前者并非后者的 2 倍，B 错。离心率 ，C 对。
四边形顶点坐标已知，可分成两个三角形或使用鞋带公式。
详细展开：按 的顺序计算，面积为 。由 得面积 。当 时，面积为 ，所以 D 正确。综上选 A、C、D。
三、填空题 · 平面向量
答案：sqrt(2)
题目标签：向量垂直与模长
先计算差向量，再令点积为零
向量减法按对应坐标分别相减。
详细展开：，，所以第一坐标为 ，第二坐标为 。
两个非必为零的向量垂直，当且仅当它们的点积为零。
详细展开：。令它等于零，得到 。
求得 x 后，向量 a 的两个坐标都已确定。
详细展开：当 时，。二维向量模长为坐标平方和的算术平方根，所以 。
三、填空题 · 导数
答案：
题目标签：多项式极值点
先令导数在 x=2 处为零，再计算函数值
多项式在极值点处可导，因此导数必须为零。
详细展开：把 看成 ，其中 。由乘积求导，。题设说明 是极值点，所以 ，得到 。
代入 a 后观察函数在 2 附近的符号或导数变号。
详细展开：当 时，。在 附近，，而 ，且只在 等于零，所以 。因此 是局部极小值点，参数满足题意。
参数已经确定，将 x=0 代回原函数。
详细展开：。三个负因数的乘积为负，先乘前两个得到 2，再乘 -2 可减少符号错误。
三、填空题 · 立体几何
答案：5/2 cm
题目标签：圆柱内两球半径最值
把球心可移动范围缩小后比较最大球心距
半径为 r 的球不能让球面越过圆柱侧壁、顶面或底面。
详细展开：圆柱底面半径为 4，所以球心到圆柱轴线的距离最多为 ；圆柱高为 9，所以球心高度必须在 内，两个球心的最大竖直距离为 。
要容纳两个同半径球，球心距离至少为 2r；为了让 r 最大，应把球心尽量分开。
详细展开：水平方向上两个球心放在相反的径向端点，最大水平距离为 ；竖直方向分别贴近底、顶，最大竖直距离为 。由空间勾股定理，最大球心距平方为 。最大半径处两球恰好相切，所以它等于 。
展开极限方程，取符合容器尺寸的根。
详细展开：展开得 ，整理为 ，解得 或 。球半径必须不超过底面半径 4，也不超过高的一半 ，所以 不可行，只能取 。把两个球心放在相反径向端点和上下极限高度即可达到该值。
四、解答题 · 三角函数
答案：(1) pi/3；(2) 值域 [-sqrt(3),sqrt(3)]，单调区间见解答
题目标签：三角函数相位、值域与单调性
把 x=0 代入并在规定范围内筛选角
函数在 x=0 处的自变量直接化为初相 phi。
详细展开：由 ，令 得 。题设 ，所以需要在 中解方程 。
的通解很多，但参数只允许位于半开区间 。
详细展开：在 内，余弦函数从 单调减到接近 ，并且 ，所以唯一解为 。其余周期解不在给定区间内。
先合并为单一余弦，再由振幅和导数分析
先代入已求出的初相，再处理平移后的自变量。
详细展开：。而 ，因为 。
两个余弦频率相同，和差化积可把它们合成一个余弦。
详细展开：使用 。取 、，平均角为 ，半差为 ，且 。
余弦函数的取值范围是 [-1,1]，外面的正系数只改变振幅。
详细展开：因为 ，两边乘正数 后得到 。当内部角分别为 、 时上下界都能取得。
对合成后的函数求导，并把正弦的正负区间换算成 x 区间。
详细展开：。导数为正时，内部角位于 ，解得 ；导数为负时，内部角位于 ，解得 。
四、解答题 · 解析几何
答案：(1) x^2/4+y^2/2=1；(2) sqrt(5)
题目标签：椭圆方程与面积弦长
依次确定 a、c、b
标准椭圆的长轴长为 2a，而不是 a。
详细展开：题设长轴长为 ，所以 ，由 得 ，从而 。这里的 表示从椭圆中心到长轴端点的距离，因此必须先把完整长轴长度除以 。
椭圆离心率 ，并满足 。
详细展开：由 与 得 。于是 。代入标准方程即可得到所求椭圆。
设直线斜率，联立后用根差同时表示面积和弦长
过点 的非竖直直线可设为 。
详细展开：若直线竖直，则它是 ，交点 A、B 与原点 O 共线，三角形面积为 0，不符合 。所以目标直线一定非竖直，设 不会遗漏解。
将直线纵坐标代入椭圆，A、B 的横坐标就是二次方程两根。
详细展开：代入 并乘以 4，得到 ，即 。设两根为 。有两个交点还要求判别式非负。
利用行列式面积公式，直线中的 k 项会自动消去。
详细展开：记 、。则 。题设面积为 ，故根差绝对值为 。另一方面根差为 。
面积方程只含 k 的平方，先令 化简。
详细展开：平方根差方程得 ，整理为 ，所以 。弦长等于横坐标差乘方向伸缩因子 ，故 。
四、解答题 · 立体几何
答案：(1) 见证明；(2) sqrt(10)/5
题目标签：翻折、线面平行与二面角
建立适配折痕 EF 的空间直角坐标系
角度和平行性不受整体缩放影响，令 简化坐标。
详细展开：在原平面内取 、、、，便有 、、 且 。F 是 CD 中点，所以 ；EF 平行 AD 且 E 在 AB 上，所以 。
折叠绕 EF 旋转，E、F 不动，A、D 到折痕的距离保持为 1。
详细展开：新旧两个面沿 EF 的二面角为 。向量 绕 y 方向折起 后可取 。同理 。因此 、。取 z 坐标相反的另一侧只会整体镜像，不影响结论。
平面 中三个不共线点的 y 坐标都等于 1。
详细展开：由坐标可知平面 就是 。而 与 B 的 y 坐标都为 0，所以直线 位于平面 内，其方向向量的 y 分量为 0，与平面 平行；并且直线不在该平面内。故 平面 。
分别求两平面的法向量，再用夹角公式
从同一点 E 取平面内两条不共线向量。
详细展开：，。与二者都垂直的向量可取 ；点积检查为 、。
从点 B 出发选取 BC 与 BD' 作为平面方向。
详细展开：，。叉积可取 ，整体乘 2 后得到更简洁的法向量 。
两个平面所成锐二面角的余弦等于法向量夹角余弦的绝对值。
详细展开：，，。所以夹角余弦为 。
二面角取值在 ，正弦取非负平方根。
详细展开：由 ，得到 。这就是两平面所成二面角的正弦值。
四、解答题 · 导数与证明
答案：(1) 见证明；(2) g 递减，且 2x1>x2
题目标签：含参函数的极值点与零点
把导数因式分解，先证唯一极大值，再证唯一过零
对四项分别求导，再把结果化为能够直接判断符号的乘积。
详细展开： 的导数为 ，所以 。其中 ，再与 x 合并得 ，故 。
在 时 ，导数符号完全由 决定。
详细展开：令括号为零得 ，所以 。由 可知分子、分母都正，故 。又 在正半轴严格递减，这个方程只能有一个解。
比较 x 与 x1 时，函数 的大小随 x 增大而减小。
详细展开：当 时，，故 ；当 时相反，。所以 f 在 严格递增，在 严格递减， 是唯一的极大值点。
利用先增后减、边界函数值和无穷远极限定位过零位置。
详细展开：函数连续且 。由于它在 严格递增，所以该区间内 ，特别地 。当 时，最高次项 占主导，故 。连续性保证在 之后至少有一个零点；而 f 在 严格递减，所以至多有一个。故正半轴上零点唯一，记为 。
用极值点关系重写 f'，再比较对称两点
极值点条件给出 ，把它代回导数。
详细展开：。通分后分子为 ，因此 。这个形式同时显示了距 x1 的方向和大小。
对第二项使用链式法则时，内层 x1-t 的导数为 -1，两个负号相消。
详细展开：。代入上一式并提出公共正因子 ，得到 。在 中所有分母均为正。
定义辅助函数 ，括号就是 。
详细展开： 对 成立，所以 H 严格递增。由于 ，有 ，括号为负；外面的 ，故 。因此 g 在 严格递减。
把上一问的差函数取到端点，转化为 f(2x1) 的符号
g 在开区间严格递减，并且由连续性可延伸比较两个端点。
详细展开：。对任意 有 ；令 ，由 f 连续可得 ，实际上 。
直接代入 g 的定义，并使用 f(0)=0。
详细展开：。由上一部 ，所以 。
第一问已知 f 在 x1 后严格递减，并在 x2 处唯一过零。
详细展开：因为 ，且 f 在 严格递减，所以 对 成立， 对 成立。现在 且 ，故 必须位于零点右侧，即 。
四、解答题 · 概率
答案：(1) p3=p^3，p4=p^3(4-3p)；(2) p=2/3；(3) 见证明
题目标签：二项分布尾概率比较
把领先至少 2 分翻译成甲获胜球数阈值
打完 3 个球时，两人的分差与甲的胜球数直接对应。
详细展开：若甲胜 球，则乙胜 球，甲领先分数为 。要求至少领先 2 分，即 ，整数 X 只能取 3。因此三个球必须全部由甲获胜。
四球后甲至少领先 2 分，意味着甲胜 3 球或 4 球。
详细展开：甲胜 3 球时有 种胜负次序，每种概率为 ；甲胜 4 球的概率为 。两事件互斥，所以概率相加。
题目要求只用 p 表示，代入 后合并同类项。
详细展开：。因此 、。
分别计算甲、乙从三球到四球的概率增量
使用上一问的因式形式直接相减。
详细展开：。这个增量也可理解为前三球甲全胜的状态以外，第四球使某些边界情形进入领先事件。
交换甲乙角色，相同计算中只需交换 p 与 q。
详细展开：乙在每球获胜概率为 q，所以 ，。因此 。
p、q 都为正，可以安全约去公共因子。
详细展开：比值为 。由 得 ，不是正负 2。再与 联立，得到 、，所以 。
用二项分布边界项比较相邻规模
令 表示前 n 球中甲获胜的球数，则 ，甲乙分差为 。
详细展开：当 时，甲至少领先 2 分等价于 ，乙至少领先 2 分等价于 。当 时，两个阈值分别为 与 。
记 ，并令 。增加第 球后，只有临界层 或 会影响差值。
详细展开：有 ，因为在已有 m+1 胜时最后一球必须甲胜才能进入新阈值；同理 。因此 。
把两个边界概率写成二项分布概率质量函数。
详细展开：。故 ，。相减后得到组合数乘 。由 ，该量严格为正。
从 2m 球一次增加两球，保持偶数阈值结构，并只跟踪中央三层。
详细展开：仍令 。分类新增两球中甲胜 0、1、2 次，可得 ；同理 。两式相减后，边界项 与 恰好相等并抵消。
前两次比较已经分别给出奇数项在左、下一偶数项在右。
详细展开：由 得 ；由 得 。恢复 ，即得到题目要求的链式不等式，对任意正整数 m 都成立。