一、填空题 · 集合
答案：
题目标签：相对补集
从 U 中删去 A
补集必须相对于题目指定的全集 U 计算。
详细展开：全集 ，集合 。A 从 2 开始并包含 2，但不包含 4；全集还一直延伸到 5 且包含 5。
本步核对：不能把实数全集当作 U，也不能把 4 误认为属于 A。
端点归属决定使用方括号还是圆括号。
详细展开：区间 已被 A 占据，剩余从 4 到 5 的所有点。4 不在 A 中而在 U 中，所以左端包含；5 也在 U 中，所以右端包含。
本步核对：补集左端 4 必须包含，因为 A 在 4 处是开端点。
一、填空题 · 不等式
答案：
题目标签：分式不等式
用临界点分区间判断符号
分式符号只会在分子零点或分母零点两侧发生变化。
详细展开：分子 在 时为 0，分母 在 时为 0。它们把实轴分成 、、 三段。
本步核对：x=3 永远不能进入解集；严格小于也不包含 x=1。
符号表能同时处理零点与分母禁点。
详细展开：取测试点可知： 时分子、分母都负，商为正； 时一正一负，商为负； 时都正，商为正。因此只有中间区间满足。
本步核对：答案是开区间 ，两个端点都不能取。
一、填空题 · 数列
答案：
题目标签：等差数列前 n 项和
先求第六项，再用首末项公式
前 n 项和公式需要首项和末项。
详细展开：等差数列通项为 。代入 ，得到 。
本步核对：第六项只增加 5 个公差，不是 6 个。
等差数列前 n 项和等于项数乘首末平均数。
详细展开：前 6 项共有 6 个数，首末平均数为 ，所以总和为 。
本步核对：不要把首末项之和除以 6；平均数只除以 2。
一、填空题 · 二项式定理
答案：
题目标签：二项式指定项系数
确定选取三个 2x 的组合
指定幂次由选取含 x 的因子个数决定。
详细展开：在五个因子中要得到 ，必须选出 3 个因子的 ，其余 2 个选 。选择位置有 种。
本步核对：常数项是 -1，剩余两个负号相乘为正。
题目只填写系数，不需要再写 x³。
详细展开：，，而 ，所以 项为 ，所求系数是 80。
本步核对：不要漏掉 2 的三次方。
一、填空题 · 三角函数
答案：
题目标签：余弦函数值域
检查单调段与关键点
值域要检查端点和区间内极值点 0。
详细展开：区间 包含 。余弦在 上从 0 增到 1，在 上从 1 减到 。
本步核对：只比较两个端点会漏掉内部最大值 1。
连续函数在区间上的像是完整区间。
详细展开：余弦函数连续，最小值 0 在左端点取得，最大值 1 在 x=0 取得，因此中间所有值也都取得。
本步核对：两个端点都能取得，所以值域两端使用方括号。
一、填空题 · 概率
答案：
题目标签：离散随机变量期望
各取值乘概率后求和
先确认概率和为 1 可避免误读表格上下行。
详细展开：概率 ，所以表格给出合法分布。数学期望按 计算。
本步核对：第一行是取值，第二行是对应概率。
期望是按概率加权的平均值。
详细展开：分别计算 、、，相加得到 。
本步核对：结果 6.3 位于最小取值 5 与最大取值 7 之间，可作合理性检查。
一、填空题 · 立体几何
答案：
题目标签：正四棱柱体积
由底面对角线求边长，由体对角线求高
正四棱柱底面是正方形，AC 是底面对角线。
详细展开：设底面正方形边长为 s，则对角线 ，故 ，底面积为 。
本步核对：4√2 不是边长，必须除以 √2。
侧棱垂直底面，空间对角线可用勾股定理。
详细展开：底面对角线 。在直角三角形 中，，所以高平方为 ，高为 7。体积等于底面积乘高。
本步核对：高取正值 7，不写正负号。
一、填空题 · 不等式
答案：
题目标签：正数式最小值
消去 b 后转为基本不等式
先消去一个变量可把二元最值化成一元。
详细展开：由 得 。因为 ，有 ，且 。
本步核对：1-a 必须为正，这决定 a 的范围。
正数倒数最小等价于分母乘积最大。
详细展开：目标为 。由 ，其倒数不小于 4；当 时等号成立。
本步核对：必须给出等号点，才能说明 4 确实可取得。
一、填空题 · 计数原理
答案：
题目标签：限制排列
先安排首尾家长，再排列中间
首尾位置有顺序，所以使用排列而不是组合。
详细展开：首位置可从 4 名家长中选 1 人，有 4 种；尾位置再从剩下 3 名家长中选，有 3 种。因此首尾有 种有序安排。
本步核对：选出的两名家长互换首尾会产生不同队列。
中间位置没有额外限制，直接全排列。
详细展开：首尾确定后，还剩 2 名家长和 2 名儿童，共 4 个不同的人，可在中间四个位置任意排列，有 种。总数为 。
本步核对：不要再限制中间儿童位置，题目只要求首尾是家长。
一、填空题 · 复数
答案：2sqrt(2)
题目标签：复数轨迹最短距离
由平方相等确定两条线段，再比较最近点
复数平方相等可先用平方差因式分解。
详细展开：移项并因式分解得 ，所以 或 ，即 z 为实数或纯虚数。再结合 ，轨迹是实轴与虚轴上从 -1 到 1 的两条线段。
本步核对：轨迹不是整个实轴和虚轴，还受模长不超过 1 的限制。
目标模长是复平面中的欧氏距离。
详细展开：在实线段上，离点 最近的是 ，距离为 ；在虚线段上最近的是 ，距离为 。比较得 。
本步核对：必须分别检查两条线段，不能只看实轴。
一、填空题 · 三角函数应用
答案：12.58°
题目标签：斜面影长与坡角
在竖直截面中建立平行光比例
平行光把两处影子联系为同一个方向向量。
详细展开：杆高为 1 米，A 处水平影长为 0.4 米，所以一条阳光从杆顶落到影端时，竖直下降 1 米对应水平移动 0.4 米。所有阳光平行，因此 B 处使用同一方向比。
本步核对：0.4 是水平影长，不是光线本身长度。
沿斜面的长度要分解为水平和竖直两个方向。
详细展开：B 处影长 沿斜面向下，水平分量为 ，影端比杆脚低 。从杆顶到影端总竖直下降为 ，所以平行方向给出 。
本步核对：总下降量是杆高加斜面下降量，不是二者相减。
数值方程解出后要从弧度换成角度并按题意舍入。
详细展开：令 ，则左边为 。取符合坡角为锐角的解，得到 弧度，即 ，按要求保留两位小数。
本步核对：三角方程存在周期解，但实际坡角应取 0 到 90 度内的解。
二、选择题 · 平面向量
答案：[sqrt(2)-1,sqrt(2)+1]
题目标签：单位向量和的模
把符号条件转成一个直角和两个异号点积
三值符号和为零时先枚举符号组合。
详细展开：三个符号值都属于 ，和为 0。若三个都为 0，就要求平面内三个非零向量两两垂直，不可能。因此必有一个点积为 0、一个为正、一个为负。可不妨设 。
本步核对：平面中最多只有两个互相垂直的非零方向，排除三个零。
旋转坐标不改变向量模和点积关系，可固定一组标准正交基。
详细展开：取 、，写 。另外两个点积异号意味着 c 位于第二或第四象限。此时 的总体范围为 ，两个端点分别在 取得。
本步核对：必须限制在二、四象限；端点 ±√2 仍满足两个点积异号。
先求模平方的范围，再取非负平方根。
详细展开：三个向量都是单位向量，故 。代入 u 的范围，平方模位于 ，两端正好是 与 。
本步核对：取平方根时下端是 √2-1，不是 1-√2。
二、选择题 · 概率
答案：B；1/4
题目标签：独立事件交集概率
直接使用独立事件乘法公式
“相互独立”是使用乘法公式的直接信号。
详细展开：事件 A、B 相互独立，定义就是 。题目已给两个概率都为 。
本步核对：一般事件不能无条件把交集概率写成概率乘积。
计算后可用交集概率上界作快速复核。
详细展开：代入得到 ，对应选项 B。这个结果小于两个单事件概率，符合交集不超过任一事件的性质。
本步核对：不要把独立误解为互斥；互斥才会得到交集概率 0。
二、选择题 · 指数函数
答案：D
题目标签：指数不等式
按底数大于 1 或小于 1 判断指数单调性
指数函数单调方向取决于底数与 1 的大小。
详细展开：当 时， 随指数 x 递增，所以 等价于 。选项 A 只给 ，不足；B 给 ，反而必有 。
本步核对：s>0 不等于 s>1，例如 s=1/2 可否定 A。
底数在 0 与 1 之间时不等号随指数比较反向。
详细展开：当 时， 随指数 x 递减，故 等价于 。D 中 一定推出 ，所以 D 足够；C 的 可能大于 1，不能保证。
本步核对：题目问“能推出”，只需判断给定条件是否对所有情况充分。
二、选择题 · 解析几何
答案：A；有最大值，无最小值
题目标签：双曲线上三角形面积
把面积化为 x-y 的函数
原点不在三角形中，使用两个边向量行列式最直接。
详细展开：，，所以面积为 。在双曲线第一象限支上 ，故绝对值内为负，面积等于 。
本步核对：展开绝对值后要利用 x>y 确定符号。
把双曲线差平方结构因式分解后可直接看参数范围。
详细展开：由 ，有 。在给定支上 从 1 增至无穷，所以 ：最大 1 在 C=(1,0) 取得，0 只能趋近不能取得。于是面积范围为 。
本步核对：下确界 1/2 不取得，因此面积没有最小值。
最小值要求区间端点实际取到，不能把下确界当最小值。
详细展开：面积最大值为 1，在 时取得；面积只有下确界 而没有最小值。因此应选“有最大值，无最小值”的 A。
本步核对：括号 的左开右闭正对应“无最小、有最大”。
二、选择题 · 数列
答案：B；3个
题目标签：数列与三角形条件
把所有凸组合条件化为两端边长之比小于 2
凸组合遍历两个端值之间，最坏情况出现在较小端。
详细展开： 在 之间变化。三边中“较小两边之和大于最大边”在 c 取较小端点时最严格，因此对所有 成立等价于 。
本步核对：三角形不等式必须严格，等于 2 时是退化三角形。
线性数列与指数数列的相对大小只需在交叉附近重点检查。
详细展开：计算 与 ： 时为 31、16，满足 ； 时 41、32，满足； 时 51、64，满足。 的比值不在区间内， 时 ，不满足严格下界。
本步核对：n=7 时出现 2a_n< b_n，不能继续保留。
需要说明没有更大的 n 重新进入可行区间。
详细展开：对 ，若 ，则下一项有 ，所以不等式会持续失败。因此只有 3 个正整数，选 B。
本步核对：指数增长一旦在 n=7 超过两倍线性项，归纳比较保证差距继续扩大。
三、解答题 · 概率统计
答案：(1) 10.15，210.015；(2) 3/10；(3) 204.56秒
题目标签：统计量、抽样与回归
利用已经升序排列的数据
数据已升序排列，首尾就是最小值和最大值。
详细展开：极差等于最大值减最小值。数据首项为 ，末项为 ，所以极差为 秒。
本步核对：极差不是最大值与最小值的平均数。
偶数个有序数据没有单独一个正中央项。
详细展开：共有 10 个数据，中位数是第 5 个与第 6 个数据的平均数。它们分别为 与 ，故中位数为 秒。
本步核对：应取第 5、6 项，不是第 4、5 项。
用组合数计算超几何概率
先按阈值准确计数是组合概率的基础。
详细展开：大于 211 的数据有 ，共 4 个；其余不大于 211 的数据有 6 个。题目从 10 个数据中等可能任选 3 个。
本步核对：两个相同的 216.93 是两届不同数据，选择时应计作两个对象。
无放回等可能抽样使用组合数而不是三次独立概率。
详细展开：恰有 2 个大于 211，需要从 4 个高值中选 2 个，再从 6 个低值中选 1 个，有利数为 。总选法为 ，所以概率为 。
本步核对：“恰有 2 个”还必须选 1 个不大于 211 的数据。
先求样本均值确定截距，再代入年份
最小二乘回归直线经过样本均值点。
详细展开：10 个成绩总和为 ，所以平均成绩 。回归直线经过 ，故不必单独写出很大的截距，可用点斜式预测。
本步核对：年份平均数 2006 不是要预测的年份。
用年份差可避免先计算截距再代入造成大数运算。
详细展开：从 2006 到 2028 相差 22 年，预测值为 秒。按要求精确到 0.01 秒，得到 秒。
本步核对：最终按小数点后第三位 7 四舍五入。
三、解答题 · 立体几何
答案：(1) 2pi；(2) 见证明
题目标签：圆锥侧面积与线面平行
由线面角求高和母线
母线与底面的夹角在轴截面中就是母线与其射影的夹角。
详细展开：底面直径 ，所以半径 。直线 PA 在底面的射影是 AO，线面角为 。在直角三角形 PAO 中，。
本步核对：半径是 1，不是直径 2。
侧面积使用母线 l，不直接使用圆锥高 h。
详细展开：由勾股定理，母线 。圆锥侧面积为 ，因此等于 。
本步核对：题目只问侧面积，不要再加底面积 π。
证明平面 QOC 与平面 PBD 平行
底面构型只依赖半径和圆心角，可直接坐标化。
详细展开：取 、、。弧 AC 长为 且半径为 1，所以圆心角 AOC 为 ；结合 ，可取 、。设 。
本步核对：弧长除以半径才是圆心角；本题半径恰为 1。
证明两平面平行需要两组对应相交直线。
详细展开：Q 是 PA 中点，故 。于是 ；同时 。所以平面 QOC 内两条相交直线 QO、OC 分别平行于平面 PBD 内两条相交直线 PB、BD。
本步核对：只证明一组直线平行不足以推出两个平面平行。
QO\parallel PB,\qquad OC\parallel BD
先得到面面平行，再处理面内任意直线 QT。
详细展开：由两组相交直线对应平行，得到平面 平面 。点 T 在线段 OC 上，因此直线 QT 完全位于平面 QOC 内；两个平行平面没有公共点，所以 平面 PBD。
本步核对：T 可以是 OC 上任一点，证明不需要额外比例条件。
解答题 · 函数与导数
答案：(1) [1,+infinity)；(2) (0,2)并(2,+infinity)
题目标签：含参函数极值
先确定参数 m，再利用单调函数
参数条件给在固定点，直接代入最简洁。
详细展开：。题设 ，所以 。此时 ，定义域仍是 。
本步核对：ln1=0，不能漏掉常数项 1-(m+2)。
消去两边共同的 x² 后得到一个严格递增函数。
详细展开：不等式 等价于 。令 ，则 ，所以 h 在正半轴严格递增，且 。因此恰好在 时成立。
本步核对：必须保留原定义域 x>0；最终解集为 [1,+∞)。
因式分解导数并比较两个临界点次序
完全因式分解能直接看出导数符号随两个根变化。
详细展开：对 ，。通分后分子为 ，所以临界点可能是 与 。
本步核对：分母 x 在定义域恒正，不影响导数符号。
极大值要求导数从正变负，不只是导数等于零。
详细展开：若 ，正半轴只有临界点 1，导数由负变正，只产生极小值。若 ，有 ，导数符号依次为正、负、正，故 是极大值点。若 ，根次序变为 ，导数仍依次正、负、正，极大值点改为 1。
本步核对：m≤0 时 m/2 不在正半轴，不能当作定义域内临界点。
重根处导数可能不变号，必须单独检查。
详细展开：当 时两个临界点重合，，导数没有从正变负，因此不存在极大值。综上参数范围为 。
本步核对：答案要排除 m=2，而不是简单写 m>0。
解答题 · 解析几何
答案：(1) 2/3；(2) sqrt(10)；(3) sqrt(5)<a<sqrt(11)
题目标签：椭圆与钝角条件
由焦点坐标求 c，再用参数关系求 a
焦点在 x 轴说明标准式中的 a 是 x 方向半轴。
详细展开：椭圆方程分母给出 ，焦点 给出 。由于长轴在 x 轴上，满足 。
本步核对：焦点坐标 2 是 c，不是 a。
椭圆离心率定义为焦半距除以长半轴。
详细展开：，故 。离心率 ，结果小于 1，符合椭圆离心率范围。
本步核对：a 取正值 3，不取 -3。
先求 P 坐标，再代入椭圆
向量等式可直接按终点减起点展开。
详细展开：当 时，右顶点 ，且 。由 ，即 ，得到 ，所以 。
本步核对：PA 是 A-P，MP 是 P-M，方向不能写反。
点 P 存在于椭圆上意味着其坐标必须满足标准方程。
详细展开：将 P 代入 ，得 ，所以 ，即 。题设 ，故 。
本步核对：代数得到正负两根后，用 m>0 只保留正根。
写中垂线方程，联立后用根的对称式计算点积
垂直直线斜率乘积为 -1。
详细展开：线段 AM 的斜率为 ，中垂线斜率为其负倒数 ，故 。中点为 ，所以中垂线方程为 ，即 。
本步核对：AM 的斜率是 -m/a，负倒数才是 a/m。
角度只需要两交点坐标的对称式，无需求出两个根。
详细展开：把 代入 ，整理为 。设 C、D 横坐标为 ，由韦达定理可取得根的和与积。判别式为正，所以确有两个交点。
本步核对：常数项和根积都含分母 16，展开时不能漏掉。
夹角为钝角等价于两个方向向量点积严格小于 0。
详细展开：，交点向量为 。计算 并代入根的和积，化简得 。分母为正，钝角要求点积小于 0，所以 。结合原条件 ，得到 。
本步核对：端点 a=√11 时点积为 0，是直角而不是钝角。
解答题 · 函数新定义
答案：(1) 不属于；(2) [7/4,4)；(3) f(x)=x-1并见证明
题目标签：平移等值集合与零点计数
直接代入集合定义比较两个函数值
新定义问题先把待判断对象逐字代入定义。
详细展开： 的定义是 。本问 ，所以对 要比较 与 。
本步核对：Mπ 不是函数的周期集合，而是满足一次平移等值的 x 的集合。
两个角相差 π，正弦值互为相反数。
详细展开：，而 ，二者不相等。因此 不是 中的元素。
本步核对：结论应写“不属于”，不能因 sin 有周期就误认为平移 π 保持不变。
按 x、x+a 所在分段分类
两个分段内部都严格递增，平移正数后函数值必变大。
详细展开：因为 ，总有 。若 ，线性段 严格递增，不会相等；若 ，平方根段也严格递增，不会相等。因此只有 的跨段情形可能产生等值。
本步核对：不能漏掉跨过分界点 0 的情形。
换元把根式右侧直接设为非负变量，平方不会引入负值伪根。
详细展开：跨段时方程为 ，右边必须非负。令 ，则 ，平方后有 ，即 。又 给出 ，所以 。反过来每个这样的 u 都给出合法 x，且 。
本步核对：平方前必须记录 u≥0，并由 x<0 得到 u<2。
半开定义域会传递到值域右端点是否取得。
详细展开：，最小值 在 取得；当 时函数趋于 4，但 u=2 不允许，所以 4 不取得。连续性给出完整范围 。
本步核对：u=0 合法并给 a=2；最小值不是端点而在 u=1/2。
用偶函数产生短间距等值，再利用 M_a 包含关系传播 2 个单位
已知偶性先制造一对距离小于 2 的等值点，才能使用集合包含条件。
详细展开：任取 ，偶性给出 。两点 间距 ，所以 ，从而 。令 ，便得 。
本步核对：包含关系推出的是再向右平移 2 后等值，不是说 2 是全局周期。
再次应用包含条件把已知图形向右传播 2 个单位，再由偶性镜像。
详细展开：对 ，刚得到 ，两点间距 ，故 ，于是 。所以 上 。再用偶性得到负半轴对应三段。六个开区间上函数均严格单调，值域都是 。
本步核对：这些公式只用于开区间，整数点 -3 到 3 的函数值不能擅自由极限补上。
零点计数的额外约束来自两个相邻未知端点若等值就会传播到已知零点 -1。
详细展开：开区间外还需单独考虑 ；而 已知。由偶性，、。若某个 同时等于 和 ，则 ，会推出 ，与 矛盾。因此对非零 c，点对 与点对 至多有一对成为零点。
本步核对：只有 c≠0 时形成矛盾；c=0 需要另行计数。
严格单调保证每个开区间至多一个根，值域决定哪些 c 才可能出现。
详细展开：若 ，六个开区间各至多一个零点，共至多 6 个；五个未知整数点中，、 至多贡献一对，再加 x=0，至多 3 个，总计不超过 9。若 ，六个开区间无根，但已知 加五个未知整数点至多 7 个。若 或 ，六个开区间也无根，只有五个未知点可能为根，至多 5 个。故任意 c 都不超过 9 个零点。
本步核对：整数端点不能套用相邻开区间公式，必须单独计数并使用上一部约束。