exams/lecture-05-famous-geometry-theorems/第五讲_几何中的著名定理.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
例题解析 · 三角形/内角平分线/比例
答案：AB/AC=BD/DC
题目标签：内角平分线定理
把边长比和底边分点比连接起来
三角形 ABD 与 ACD 在顶点 A 处的夹角相等，因为 AD 平分角 BAC。用两边及夹角的面积公式，公共边 AD 和相同的正弦因子会在面积比中消去。
两个小三角形从 A 到直线 BC 的高相同，所以它们的面积比又等于底边 BD 与 DC 的比。将两种面积比相等即可得到所证结论。
例题解析 · 三角形/外角平分线/比例
答案：BD/CD=AB/AC
题目标签：外角平分线定理
处理延长线上的有向角与长度比
分别考察三角形 ABD 和 ACD。正弦定理把延长线上的 BD、CD 与原三角形的 AB、AC 联系起来，且不需要额外作辅助线。
AD 平分 A 点的外角，因此角 BAD 与角 CAD 的正弦相等；B、C、D 共线又使角 ADB 与角 ADC 互补，它们的正弦也相等。两式相除后所有正弦因子消去。
例题解析 · 三角形/中线/长度恒等式
答案：AB²+AC²=2(AD²+BD²)
题目标签：中线长定理
证明阿波罗尼斯中线公式
作 AE 垂直 BC，设 BD=DC=m，并用有向长度记 DE=x。于是 BE=m+x、CE=m-x；三个含 A 的线段都可以放进直角三角形中使用勾股定理。
由勾股定理，AB² 与 AC² 的和中一次项 2mx 自动抵消；AD² 则等于 AE²+x²。这正是中线公式成立的代数原因。
把前两式相加并代入 AD²、BD²=m²，即可得到目标等式。最后检查 D 在 BC 中点这一条件已完整使用。
例题解析 · 三角形/共线/比例连乘
答案：(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1
题目标签：梅涅劳斯定理
让三个比例逐项约分
过 C 作 CG 平行 AB，并令它与直线 DEF 交于 G。这样原来分散在三边上的三个比值被转化为两组相似三角形的对应边比。
因为 DB 与 DC 共线、DF 与 DG 共线且 FB 平行 CG，三角形 DBF 与 DCG 相似，所以底边比可以改写成 BF 与 CG 的比。
三角形 EAF 与 ECG 也相似，从而 CE/EA=CG/AF。把两次替换代入原连乘式，BF、CG、AF 依次约去，结果为 1。
例题解析 · 三角形/共点/比例连乘
答案：(AM/MB)(BN/NC)(CP/PA)=1
题目标签：塞瓦定理
构造可循环消去的三个面积比
以经过 O 的三条线为公共底边，边上两点到这条线的高之比等于相应分点比。因此每一个边长比都可以写成两个含 O 小三角形的面积比。
注意 S_AOC 与 S_ACO 表示同一个三角形，S_BOC 与 S_BCO 也相同。三个面积比循环相乘后，分子分母中的每个面积各出现一次，故乘积恰为 1。
课堂练习 · 仿射向量/定比分点
答案：
题目标签：中点与三等分线的截比
确定 M、N 在 BP 上的参数位置
取 B 为原点，以 A、C 的位置向量作为基底。由 BD=DE=EC 可得 D=C/3、E=2C/3；P 是 AC 中点，所以 P=(A+C)/2。
设 M=tP，同时 M 在 AD 上。比较 A、C 两个基向量的系数，得到 t/2=1-s、t/2=s/3，解得 t=1/2。
设 N=uP 且 N 在 AE 上，同样比较系数得到 u=4/5。于是 B、M、N、P 在 BP 上的参数依次为 0、1/2、4/5、1，相邻差之比即为所求。
课堂练习 · 平行线/交点/中点
答案：
题目标签：平行截线构造中点
证明 M 是 BC 的中点
取 A 为原点，记 B、C 的位置向量为 b、c。DE 平行 BC 意味着 D、E 在两腰上具有同一分点参数，可写成 D=t b、E=t c，其中 0<t<1。
分别写出 BE、CD 上点的向量并比较 b、c 的系数。解得交点 S 的两个系数相等，所以 S 落在由 A 指向 b+c 的直线上。
BC 的中点向量为 (b+c)/2，而 A、S 与该点的向量都是 b+c 的倍数，因此 AS 必过 BC 中点。按原图 M=AS 与 BC 的交点，故 M 就是中点。
课堂练习 · 角平分线/点到两边距离
答案：三条内角平分线交于内心
题目标签：三条内角平分线共点
证明第三条角平分线也经过前两条的交点
设角 A、角 B 的内角平分线交于 I，并从 I 向 AB、BC、CA 分别作垂线，垂足记为 X、Y、Z。角平分线上的点到角的两边距离相等。
I 在角 A 的平分线上给出 IX=IZ；I 在角 B 的平分线上给出 IX=IY。因此 I 到 AC、BC 的距离也相等。
一个位于角内部且到角两边距离相等的点必在该角的平分线上，所以 I 也在角 C 的内角平分线上。三条内角平分线因而共点，此点就是内心。