例题讲解 · 圆/相似三角形/点幂逆定理
答案：P、Q、R、S 四点共圆
题目标签：直径、切线与四点共圆
证明从 A 引出的两条割线乘积相等
AB 是直径，所以角 APB 为直角；BR 是 B 点切线，所以角 ABR 也是直角。又因 A、P、R 共线，两三角形在 A 处的角相等，故三角形 APB 与 ABR 相似。
由相似三角形对应边成比例可得 AP/AB=AB/AR，所以 AP·AR=AB²。完全同理，AQ·AS 也等于 AB²。
直线 APR 与 AQS 相交于 A，且两线上四点满足 AP·AR=AQ·AS。由相交割线定理的逆命题，P、Q、R、S 四点共圆。
例题讲解 · 圆/切线长/圆内接四边形
答案：
题目标签：三边切半圆的内接四边形
把圆内接条件转化为半角关系
设半圆半径为 r，DA、DC、CB 与半圆的切点分别为 X、Y、Z。令 AX=x、BZ=y；同一点引圆的两条切线等长，所以 DX=DY、CY=CZ。
记 α=∠DAB、β=∠ABC。四边形 ABCD 内接，故 ∠BCD=180°-α、∠CDA=180°-β。对由两条切线构成的角，顶点到切点的长度为 r·cot(角/2)，于是 CY=r tan(α/2)，DY=r tan(β/2)。
在直角三角形 AOX 中，sinα=r/AO 且 cosα=x/AO，因此 r tan(α/2)=AO-x；同理 r tan(β/2)=BO-y。将 AD=x+DY、BC=y+CY 相加，所有切线段恰好消去。
例题讲解 · 圆/切线/共圆/题面校核
答案：按原文不成立；若 AO 改为 AQ，则结论成立
题目标签：原题交点条件冲突审查
区分排印错误与数学结论
AB、AC 是切线，所以 OB⊥AB、OC⊥AC，点 A、B、C、O 已经位于以 AO 为直径的同一个圆上。该圆与直线 AO 只有 A、O 两个交点，因此另一个位于 AO 上的点 M 不可能再与它们共圆。
同一讲课堂练习第2题把交点明确写成 CR 与 AQ 的交点；这也是能使结论成立的版本。下面对校正版用坐标法核验，避免凭图猜改。
令圆为 x²+y²=1，O=(0,0)，A=(a,0)，a>1，并记 s=√(a²-1)。两切点可写为 B=(1/a,s/a)、C=(1/a,-s/a)。设 AQ 的斜率为 k。
过 B 作斜率 k 的弦 BR，联立单位圆后取另一交点 R，再联立直线 CR 与 y=k(x-a)，可得 M=(ak²/(1+k²),-ak/(1+k²))。它满足 x_M²+y_M²=ax_M，正是以 AO 为直径的圆方程。
例题讲解 · 圆幂/坐标法/长度证明
答案：PA=PD，且 2BD²=AD·DE
题目标签：中点割线与弦交条件
先推出 PC=4PB，再完成两问
令 P=(0,0)，割线为 x 轴，B=(b,0)、D=(d,0)、C=(2d,0)，其中 0<b<d；D 是 PC 中点已被写入 C 的坐标。设 A=(u,v)，由切割线定理得 PA²=PB·PC=2bd。
记 q=AD²=(u-d)²+v²。D 的点幂给出 AD·DE=DB·DC=(d-b)d，因此 λ=DE/AD=(d-b)d/q，且 A、D、E 共线使 E=D+λ(D-A)。
将 E 的坐标代入 BE²=DE·EA 并约去非零公共因子，得到 (2b-d)(2u-b-2d)=0。后一因子若为零，会使 v²=-(b-2d)²/4<0，故只能 d=2b。
由 d=2b 得 PD=2PB、PC=4PB。于是 PA²=PB·PC=4PB²，长度为正给出 PA=2PB=PD；再由 D 的点幂 AD·DE=DB·DC=b·2b=2BD²。
例题讲解 · 圆/极线关系/长度计算
答案：DE=(√17-3)/2
题目标签：切点弦与割线的调和关系
由 PE、PC、PD 的关系求 DE
取圆心为原点、OP 为 x 轴，设 P=(p,0)，圆半径为 R。两切点的公共弦 AB 是 P 的极线 x=R²/p；任意过 P 的割线与圆交于 E、C，与 AB 交于 D。
沿割线取单位方向并以从 P 出发的距离为参数。圆方程的两个根是 PE、PC；韦达关系与 D 位于 x=R²/p 联立后得到 PD=2·PE·PC/(PE+PC)，等价于 2/PD=1/PE+1/PC。
图中点的顺序为 P-E-D-C。令 DE=x>0，则 PD=x+2、PC=x+3。代入倒数公式，整理成 x²+3x-2=0，只保留正根。
课堂练习 · 圆/切点弦/割线
答案：1/PC=(1/2)(1/PA+1/PB)
题目标签：切点弦截割线倒数公式
把切线结构转成割线距离关系
取 O 为原点并令 OP 为 x 轴，设 P=(p,0)、圆半径为 R。切点 S、T 的弦 ST 垂直 OP，且由切点坐标或相似三角形可得它的方程为 x=R²/p。
沿割线方向取单位向量 u，点写成 P+t u。与圆方程联立后，两个正根分别为 PA、PB，故 PA+PB=-2P·u、PA·PB=p²-R²。
设 PC=d。条件 C=P+d u 且 C 的 x 坐标为 R²/p。消去方向向量的 x 分量后得到 d=2PA·PB/(PA+PB)，取倒数即为题目所证公式。
课堂练习 · 圆/切线/坐标法/共圆
答案：A、B、C、O、M 五点共圆
题目标签：平行弦构造五点共圆
证明 M 在以 AO 为直径的圆上
令 O=(0,0)、A=(a,0)，a>1，并把原圆化为单位圆。记 s=√(a²-1)，则切点为 B=(1/a,s/a)、C=(1/a,-s/a)。A、B、C、O 所在圆以 AO 为直径，方程为 x²+y²=ax。
设割线 AQ 的斜率为 k，则它的方程是 y=k(x-a)。BR 与 AQ 平行，所以从 B 沿方向 (1,k) 与单位圆再次相交即可得到 R；二次方程的已知根对应 B，另一根直接由韦达关系给出。
联立 CR 与 AQ，化简时使用 s²=a²-1，可得 M=(ak²/(1+k²),-ak/(1+k²))。直接计算 x_M²+y_M²=ax_M，因此 M 也在以 AO 为直径的圆上。
B、C 已由切线垂直关系在该圆上，O、A 是直径端点，而 M 也满足同一圆方程。因此五点 A、B、C、O、M 共圆。
课堂练习 · 多圆/圆心三角形/角追踪
答案：P、Q、R、S 四点共圆
题目标签：三个两两外切圆的共圆结构
证明一组对角互补
设 α=∠O₂O₁O₃、β=∠O₁O₂O₃、γ=∠O₁O₃O₂，则 α+β+γ=180°。因为 P、R 都在圆 O₁ 上且 O₁P=O₁R，三角形 PO₁R 为等腰三角形。
O₁P 与 O₁O₂ 方向相反，所以 ∠PO₁R=180°-α，进而 ∠PRO₁=α/2。同理，O₂Q=O₂S 且 O₂Q 与 O₂O₁ 反向，得到 ∠PQS=∠O₂QS=β/2。
R、S 在圆 O₃ 上，所以 O₃R=O₃S，三角形 RO₃S 的两个底角均为 (180°-γ)/2=(α+β)/2。结合 R 处各射线的顺序，可得四边形内角 ∠PRS=180°-β/2。
现在 ∠PRS+∠PQS=180°，即四边形 PRSQ 的一组对角互补。由圆内接四边形的逆判定，P、Q、R、S 四点共圆。