典例分析 · 一次函数/斜率/截距
已知一次函数的图象经过 A(1,3)、B(-1,-1)，求它的表达式。
答案：
题目标签：由两点求一次函数
解题过程
由两点确定斜率和截距
求一次函数解析式
(1)
计算直线斜率
一次函数图象经过两个不同点，先用纵坐标差除以横坐标差计算斜率。两点的横坐标不同，因此斜率定义有效。
(2)
代入一点求截距
把 A(1,3) 代入 y=2x+b，解得 b=1；再代入 B 点复核也得到 -1，故解析式唯一。
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第七讲 一次函数和一次不等式
exams/lecture-07-linear-functions-inequalities/第七讲_一次函数和一次不等式.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
17 题17 个小问/题组
典例分析 · 参数/一次函数/象限
已知 abc≠0，且 (a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b=p，那么直线 y=px+p 一定通过哪两个象限？A. 一、二；B. 二、三；C. 三、四；D. 一、四。
答案：B；第二、第三象限
题目标签：比例条件与必过象限
解题过程
先求公比 p 的全部可能值
找出两种直线共同经过的象限
(1)
将三个比例式相加
由 a+b=pc、b+c=pa、c+a=pb，相加得到 (2-p)(a+b+c)=0。必须保留 a+b+c=0 这一分支，不能直接约去。
(2)
分别确定 p
若 a+b+c≠0，则 p=2；若 a+b+c=0，则 a+b=-c，且 abc≠0，故 p=-1。于是只需比较 y=2x+2 与 y=-x-1。
(3)
判断共同象限
p=2 时直线经过第一、二、三象限；p=-1 时经过第二、三、四象限。两种情形必定共同经过第二、第三象限，选择 B。
典例分析 · 一次函数/复合函数/比较系数
已知一次函数 f(x)=3x+2、g(x)=ax+b，且 f(g(x))=12x+11，求 a+b。
答案：
题目标签：一次函数复合
解题过程
展开复合函数并比较系数
确定 a、b 后求和
(1)
把 g(x) 代入 f
根据复合函数定义，f(g(x)) 是把 f 中的自变量替换为 ax+b。展开后仍是一次函数。
(2)
比较对应项系数
两个一次多项式对所有 x 相等，所以一次项系数和常数项分别相等。由 3a=12、3b+2=11 得 a=4、b=3。
典例分析 · 一次函数/区间最值/参数
当 1≤x≤2 时，函数 f(x)=kx+(1-3k) 恒为正值，求实数 k 的取值范围。
答案：k<1/2
题目标签：闭区间上恒正
解题过程
检查闭区间两个端点
求一次函数恒正的参数范围
(1)
把恒正转化为端点条件
f(x) 关于 x 是一次函数，在闭区间上的最小值必在某个端点取得；即使斜率随 k 变号，同时要求两个端点为正也能覆盖全部情形。
(2)
联立端点不等式
计算 f(1)=1-2k、f(2)=1-k。严格正值要求 k<1/2 且 k<1，交集为 k<1/2；端点 k=1/2 必须排除。
典例分析 · 线性约束/可行性审查
已知 x,y,z≥0，且 x+2y+3z=2、2x+y+z=10，求 T=x+y+z 的最大值和最小值。
答案：约束无可行解，最大值和最小值均不存在
题目标签：非负约束条件一致性
解题过程
先审查约束是否有可行点
判断最值问题是否有定义
(1)
由第一条等式给出上界
因为 x,y,z 都非负且 x+2y+3z=2，所以 x≤2、y≤1、z≤2/3。这一步只使用非负性，不会遗漏可行点。
(2)
与第二条等式矛盾
在上述范围内，2x+y+z≤2(x+2y+3z)=4，但原文要求它等于 10，直接矛盾。因此可行域为空。
(3)
说明最值不存在
最大值和最小值只能在非空可行集上定义。按原 PDF 条件没有任何三元组满足约束，所以 T 的最大值、最小值均不存在，应回查题源是否把 10 排错。
典例分析 · 一次不等式/同解/参数
不等式 (x+5)/2-1<(2x+a)/2 与不等式 2x-4a>0 同解，求 a。
答案：
题目标签：两个一次不等式同解
解题过程
分别化成标准解集后比较边界
由同解条件求 a
(1)
化简第一个不等式
两边同乘正数 2 不改变不等号方向，移项后得到 x>3-a。
(2)
化简第二个不等式并比较
第二式等价于 x>2a。两个严格不等式同解，开区间的边界必须相同，所以 3-a=2a。
典例分析 · 一次不等式/参数分类
解关于 x 的不等式组：(m+1)x<m²-1；3(m+1)x>3mx+2。
答案：见分段解集
题目标签：含参数一次不等式组
解题过程
先化简固定的第二条不等式
按 m+1 的符号分类求交集
(1)
消去第二式中的参数
第二条不等式左右都有 3mx，移项后这些项完全抵消，恒等地化为 x>2/3。
(2)
处理第一式的三个参数分支
第一式可写为 (m+1)x<(m+1)(m-1)。当 m>-1 时除以正数得 x<m-1；m=-1 时变为 0<0，无解；m<-1 时除以负数得 x>m-1。
(3)
与 x>2/3 取交集
当 m<-1 时 m-1<2/3，交集就是 x>2/3；当 -1<m≤5/3 时上界不超过下界，无解；当 m>5/3 时得到 2/3<x<m-1。
典例分析 · 一次函数/符号区间/参数
对于一次函数 f(x)=(2a-b)x+(a-5b)，当且仅当 x<10/7 时 f(x)>0，求 b/a。
答案：b/a=3/5
题目标签：由函数正值区间反求参数比
解题过程
由正值半轴方向和零点确定参数比
求 b/a
(1)
识别斜率方向与零点
正值集合恰为 x<10/7，说明一次函数斜率 2a-b<0，且唯一零点就是 10/7。
(2)
解比例方程
交叉相乘得到 7(5b-a)=10(2a-b)，整理为 45b=27a。a 不能为零，否则 b 也为零而函数退化，故可以取比。
典例分析 · 一次不等式/参数消元
若不等式 (2a-b)x+(3a-4b)<0 的解是 x<4/9，求不等式 (a-4b)x+(2a-3b)>0 的解。
答案：x<-1/4
题目标签：由一个不等式解集迁移参数关系
解题过程
从已知解集反求 a、b 的比例
迁移到目标不等式
(1)
利用解集方向和边界
已知解集是 x<4/9，所以系数 2a-b 必为正，且零点等于 4/9。由零点方程可求出 a、b 的比例。
(2)
求出比例并记录符号
交叉相乘得 35a=40b，即 7a=8b。令 a=8t、b=7t，由 2a-b=9t>0 可知 t>0。
(3)
代入目标不等式
目标式化为 -20tx-5t>0。由于 t>0，除以 -5t 时不等号反向，最终得到 x<-1/4。
反馈练习 · 一次函数/象限/参数范围
一次函数 y=(3m-1)x-(m+5) 的图象不过第一象限，求实数 m 的取值范围。
答案：-5≤m<1/3
题目标签：一次函数不经过第一象限
解题过程
用斜率和截距排除第一象限
求 m 的参数范围
(1)
写出不过第一象限的充要条件
若直线在 x>0 时始终没有正函数值，需要斜率不大于 0 且纵截距不大于 0。题目称它为一次函数，所以还必须排除斜率为 0 的退化值。
(2)
联立并检查端点
第一式给 m<1/3，第二式给 m≥-5。m=-5 时直线 y=-16x 也不进入第一象限，可以保留。
反馈练习 · 一次函数/复合函数/系数比较
一次函数 f(x) 满足 f(f(f(x)))=-27x-21，求 f(x)。
答案：
题目标签：一次函数三次迭代
解题过程
计算一次函数的三次迭代
确定斜率和截距
(1)
设一般一次函数并迭代
设 f(x)=ax+b，a≠0。连续复合两次、三次后，一次项系数变为 a³，常数项形成等比式 b(a²+a+1)。
(2)
比较系数求 a、b
由 a³=-27 得实数 a=-3；此时 a²+a+1=7，再由 7b=-21 得 b=-3。
反馈练习 · 一次函数/区间最值/整数参数
函数 f(x)=3x+1+k-2kx 在 -1≤x≤1 时满足 f(x)≥k 恒成立，求整数 k。
答案：k=1 或 2
题目标签：区间恒成立与整数参数
解题过程
把区间恒成立化成绝对值条件
筛选整数 k
(1)
移去共同的 k
原条件 f(x)≥k 等价于 (3-2k)x+1≥0。对 x∈[-1,1]，线性项 cx 的最小值是 -|c|。
(2)
解参数不等式并取整数
恒成立要求 1-|3-2k|≥0，即 |3-2k|≤1，解得 1≤k≤2。结合 k 为整数，只有 1、2。
反馈练习 · 方程组/非负约束/线性最值
已知 x,y,z≥0，且 x+3y+2z=3、3x+3y+z=4，求 w=3x-2y+4z 的最大值和最小值。
答案：最小值 -1/6，最大值 7
题目标签：线性约束下目标最值
解题过程
消元后在闭区间求线性目标最值
求 w 的最大值与最小值
(1)
用 z 表示 x、y
联立两个等式消去 x、y，得到 x=(z+1)/2、y=5(1-z)/6。非负性进一步给出 0≤z≤1。
(2)
把目标化成 z 的一次函数
代入 w=3x-2y+4z 并合并同类项，得到 w=(43z-1)/6；系数 43/6 为正，所以 w 随 z 增大。
(3)
检查两个端点
z=0 时 w=-1/6，z=1 时 w=7；对应的 x、y 均非负，两个端点都是真正可行点。
反馈练习 · 一次不等式/整数解/端点
若不等式 5x-a≤0 的正整数解恰是 1、2、3、4，求 a 的取值范围。
答案：20≤a<25
题目标签：正整数解恰为四个
解题过程
用相邻整数卡住参数边界
使正整数解恰为 1 至 4
(1)
化为 x 的上界
不等式 5x-a≤0 等价于 x≤a/5。要让 1、2、3、4 都是解，至少需要 a/5≥4。
(2)
排除下一个正整数 5
正整数 5 不能成为解，因此必须有 a/5<5。合并两个边界，并注意左端允许取等而右端不允许。
反馈练习 · 一次不等式/参数分类
解关于 x 的不等式 a(x-a)>x-1。
答案：a<1 时 x<a+1；a=1 时无解；a>1 时 x>a+1
题目标签：含参数一次不等式
解题过程
提取参数因子后分类
完整处理 a=1 的退化情形
(1)
整理成乘积形式
移项并因式分解，原不等式等价于 (a-1)x>(a-1)(a+1)。此时不能直接约去 a-1，因为它可能为零或为负。
(2)
按 a-1 的符号求解
a>1 时除以正数得 x>a+1；a<1 时除以负数，不等号反向为 x<a+1；a=1 时原式成为 0>0，无解。
反馈练习 · 一次不等式/参数比例
若不等式 (m+n)x+(2m-3n)<0 的解是 x<-1/3，求不等式 (m-3n)x+(n-2m)>0 的解。
答案：
题目标签：由已知解集反求参数比例
解题过程
由解集边界确定 m:n
求目标一次不等式
(1)
从 x<-1/3 读取符号和零点
原不等式的解在零点左侧，故 m+n>0；同时它的零点为 -1/3。将这一边界代入原一次式即可求参数比例。
(2)
解比例并确定公共因子符号
整理得 5m=10n，即 m=2n。又 m+n=3n>0，所以 n>0。
(3)
代入并解目标式
目标不等式化为 -nx-3n>0。除以正数 n，再整理得到 x<-3。
反馈练习 · 一次不等式组/参数分类
解关于 x 的不等式组：a(x-2)>x-3；9(a+x)>9a+8。
答案：见分段解集
题目标签：含参数一次不等式组
解题过程
先固定第二条下界，再分类第一条
给出参数化的不等式组解集
(1)
化简第二条不等式
第二式中的 9a 在两边抵消，得到与参数无关的下界 x>8/9。
(2)
按 a-1 的符号解第一条
第一式整理为 (a-1)x>2a-3。若 a<1，得 x<(2a-3)/(a-1)；a=1 时成为 0>-1，恒成立；a>1 时得 x>(2a-3)/(a-1)。
(3)
比较两个边界
a<1 时 t(a)>2，故解为 8/9<x<t(a)；a=1 时为 x>8/9。a>1 时比较 t(a) 与 8/9，分界由 t(a)=8/9 解得 a=19/10。
(4)
汇总全部解集
在 1<a≤19/10 时第一条下界不强于 8/9；当 a>19/10 时第一条给出更大的下界。各分支端点均按严格不等式排除。