exams/lecture-08-mean-inequalities/第八讲_均值不等式.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 基本不等式/柯西不等式
答案：两式均成立；等号分别在 a=b、a=b=c 时成立
题目标签：两个均值不等式证明
证明 b/a+a/b≥2
由 a,b>0 可知 b/a 与 a/b 都是正数，可以直接使用二元基本不等式；两项乘积恰为 1。
两正数之和不小于它们几何平均数的两倍，因此结论为 2。等号要求 b/a=a/b，结合正数条件得到 a=b。
证明三个倒数和的下界
把三个 1 分别写成 √a·1/√a 等乘积，柯西不等式会在左侧产生 (1+1+1)²=9，右侧产生所需的两个和。
a+b+c>0，所以可以同除而不改变不等号。柯西等号要求 a=b=c，这也与题设正数条件相容。
典例分析 · 定义域/最值/逐项判断
答案：1 个正确，只有（3）正确
题目标签：均值不等式使用条件辨析
检查定义域缺失是否影响最小值
原文没有给出 x>0，所以函数的自然定义域是 x≠0。基本不等式 x+4/x≥4 只能用于 x>0，不能覆盖负半轴。
当 x 从负侧趋近 0 时，4/x 趋向负无穷，函数也趋向负无穷，因此不存在最小值，命题（1）错误。
计算真实最小值
令 t=√(4+x²)，则 t≥2，原函数化为 t+1/t。必须保留 t≥2 这一取值限制。
对 t≥2，函数 t+1/t 单调递增，或直接作差 (t+1/t)-5/2=(2t-1)(t-2)/(2t)≥0。最小值为 5/2，不是 2。
用基本不等式求上界
x>0 时 2x 和 6/x 都为正，基本不等式给出它们的和至少为 2√12=4√3。
原函数是 1 减去该正数和，所以最大值为 1-4√3。等号条件 2x=6/x 给出 x=√3，属于定义域，命题（3）正确。
求出真正的等号点
为适配三元均值不等式，将 x 拆成 x/2+x/2。三项乘积与 x 无关，因此能给出常数下界。
等号要求 x/2=4/x²，解得 x³=8、x=2；此时最小值为 3。x=1 时函数值为 5，不是最小值，所以命题（4）错误。
汇总四项判断
按原文的自然定义域，（1）无最小值，（2）的最小值为 5/2，（3）正确，（4）应在 x=2 取最小值。
四个命题中只有第（3）个正确，因此空格中应填 1。
典例分析 · 柯西不等式/换元/最值
答案：（1）16；（2）3√2/4
题目标签：约束下的两个最值
求 x+y 的最小值
令 u=1/x、v=9/y，则 u,v>0 且 u+v=1，同时 x+y=1/u+9/v。
由柯西不等式 1/u+9/v≥(1+3)²/(u+v)=16。等号要求 u:v=1:3，得到 x=4、y=12，满足原约束。
求 x√(1+y²) 的最大值
目标为正，最大化它等价于最大化平方。令 u=x²、v=y²/2，则 u,v>0、u+v=1，且目标平方为 u(1+2v)。
代入 v=1-u 得 F²=u(3-2u)=-2(u-3/4)²+9/8。因此 u=3/4、v=1/4 时取得最大值 9/8。
F>0，所以 F_max=√(9/8)=3√2/4。等号点 x=√3/2、y=1/√2 满足正数和原等式。
典例分析 · 分式函数/基本不等式/最值
答案：（1）最小值 3；（2）最大值 1
题目标签：平移换元后的均值最值
求 x+1/(x-1) 的最小值
由 x>1，令 t=x-1>0。原式变为 1+t+1/t，定义域条件正好允许对 t 与 1/t 使用基本不等式。
t+1/t≥2，等号在 t=1 时成立，也就是 x=2。因此函数最小值为 3。
求 4x-2+1/(4x-5) 的最大值
x<5/4 使 4x-5<0。令 t=5-4x>0，则 4x-2=3-t、1/(4x-5)=-1/t。
由 t+1/t≥2，得到 y≤1；等号 t=1 对应 x=1，满足原定义域，所以最大值确为 1。
典例分析 · 基本不等式/最佳常数
答案：（1）成立；（2）k 的最大值为 4
题目标签：倒数和不等式及最佳常数
证明 1/a+1/b≥4/(a+b)
a,b>0，所以两边同乘 ab(a+b) 不改变不等号方向。整理后的差恰好是一个完全平方。
分母为正且 (a-b)²≥0，所以差不小于 0。等号当且仅当 a=b。
求 k 的最大值
令 u=a-b>0、v=b-c>0，则 a-c=u+v。原不等式转化为 1/u+1/v≥k/(u+v)。
由刚证不等式，1/u+1/v≥4/(u+v)，所以 k=4 能对所有正 u,v 成立。
当 u=v，即 a-b=b-c 时左侧恰等于 4/(u+v)。若 k>4，这组合法取值就会违反不等式，因此最佳常数是 4。
典例分析 · 均值不等式/实际应用/费用最小
答案：每 10 天购买一次
题目标签：面粉采购周期优化
求最优采购间隔
设每 n 天采购一次，则每批购买 6n 吨。面粉货款折合每天固定为 6×1800=10800 元，运输费折合每天为 900/n 元。
每批的 6 吨分别要存放 1、2、…、n 天，故一个周期的吨·天数为 6(1+…+n)=3n(n+1)。乘每吨每天 3 元再除以 n，日均保管费为 9(n+1)。
日均总费用为 10809+9n+900/n。对 n>0，9n+900/n≥180，等号要求 9n=900/n，即 n=10；它是正整数，故可直接采用。
反馈练习 · 基本不等式/最值
答案：最小值 4，a=b=1/2
题目标签：定和倒数和最小值
求最小值及等号点
a,b>0，可直接使用 1/a+1/b≥4/(a+b)。题设给出 a+b=1，所以右侧为常数 4。
等号要求 a=b，与 a+b=1 联立得 a=b=1/2，确实属于正数范围，所以最小值能够取得。
反馈练习 · 二次函数/配方法/最值
答案：最大值 1/8，此时 x=1/4
题目标签：二次式的区间最大值
求最大值与取值点
把 y=x-2x² 写成顶点式，二次项系数为负，所以平方项越小函数值越大。
顶点 x=1/4 位于 0<x<1/2 内，因此开区间不会排除最大值点；平方项在此为 0。
反馈练习 · 基本不等式/参数/最值条件
答案：
题目标签：由最小值反求参数
由最小值 6 反求 a
x>0、a>0 时，将 ax 写成 ax/2+ax/2，与 2/x² 一起使用三元均值不等式，三项乘积不含 x。
三项相等时能够取等，条件为 ax/2=2/x²，即 ax³=4。因此上述下界就是实际最小值。令它等于 6，得 a²=16。
题设 a>0，所以从 a=±4 中只保留 a=4；此时等号点 x=1，确实存在，完成可达性验证。
反馈练习 · 基本不等式/代数变形/范围
答案：ab≥9
题目标签：乘积约束的取值范围
求 ab 的完整范围
由 ab=3+a+b 移项并配成乘积，得到 (a-1)(b-1)=4。若 a-1、b-1 同为负数且 a,b>0，则乘积小于 1，不可能等于 4，所以二者都为正。
令 u=a-1、v=b-1，则 uv=4，故 u+v≥4。又 ab=(u+1)(v+1)=5+u+v，所以 ab≥9。
u=v=2 时 a=b=3，取得 ab=9。随着 u>0 变化且 v=4/u，u+v 连续覆盖 [4,+∞)，所以 ab 的范围完整地是 [9,+∞)。
反馈练习 · 基本不等式/分式函数/最值
答案：最大值 1/6，此时 x=1
题目标签：有理函数最大值
求最大值与等号点
x>0 时 x²+1≥2x。分母 3(x²+1) 因而不小于 6x，且所有量为正，可以安全取倒数比较。
将正数 x 除以两边得到 y≤1/6。等号要求 x²=1，结合 x>0 得 x=1，因此上界可以取得。
反馈练习 · 实际应用/基本不等式/面积最小
答案：画面宽 55 cm、高 88 cm；纸张宽 65 cm、高 104 cm
题目标签：宣传画纸张面积优化
确定最省纸的画面尺寸
设画面宽为 w、高为 h。画面面积给出 wh=4840，纸张左右各留 5 cm、上下各留 8 cm，所以纸张宽 w+10、高 h+16。
展开并使用 wh=4840，得到 S=5000+16w+10h。因 h=4840/w，需最小化的只是 16w+48400/w。
w>0 时 16w+48400/w≥2√(16×48400)=1760。等号要求 16w=48400/w，解得 w²=3025，所以 w=55。
由 wh=4840 得 h=88，宽高比 l=55/88=5/8<1，满足题设。相应纸张宽 65 cm、高 104 cm，面积最小为 6760 cm²。